2020届湖北省名师联盟高三下学期4月月考仿真卷理科数学试题（解析版）

页 1 第 2020 届湖北省名师联盟高三下学期 4 月月考仿真卷 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为（ ） A． B．2 C． D．4 3．某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001， 002，…，599，600，从中抽取 60 个样本，下面提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 5 个样本编号是（ ） A．522 B．324 C．535 D．578 4．在等差数列 中， ，则此数列的前 13 项的和等于（ ） A．16 B．26 C．8 D．13 5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古 算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、 { }2log 1A x x= ≥ { }2 6 0B x x x= − − < ( )A BR  { }2 1x x− < < { }2 2x x− < < { }2 3x x≤ < { }2x x < 2 2 2: 1( 0)xC y aa − = > 3 3y x= ± 2 2 2 { }na 3 5 102 4a a a+ + = 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 页 2 第 南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一 部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A． B． C． D． 6．函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ） A． B． C． D． 7．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知： ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9． 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 在边 上，且 ， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 10．设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，直线 l 过 交椭圆 C 于 A，B 两点， 交 y 轴于 C 点，若满足 且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3 5 7 10 4 5 9 10 ( ) ( ) πsin 0, 2f x xω ϕ ω ϕ = + > 0y > 2 1 1x y + = 22 2x y m m+ > + m ( )4,2− ( ] [ ), 4 2,−∞ − +∞ ( )2,4− ( ] [ ), 2 4,−∞ − ∪ +∞ ABC△ A B C a b c M AB 1 3AM AB= 2b = 2 7 3CM = 2sin sin sin 2 A B c B b − = ABCS =△ 3 3 4 3 2 3 8 3 3 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 1 1 3 2FC AF = 1 2 30CF F∠ = ° 3 3 3 6 1 3 1 6页 3 第 11．在三棱锥 中， ，且 ， ， ， 分别是棱 ， 的中点，下面四个结论： ① ； ② 平面 ； ③三棱锥 的体积的最大值为 ； ④ 与 一定不垂直． 其中所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 12．已知定义在 上的奇函数，满足 ，当 时， ， 若函数 ，在区间 上有 10 个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ______． 14．已知函数 （ ）．若存在 ，使得 成立，则实数 a 的取值范围是______． 15．函数 的部分图象如图所示，点 ， 是最高点，点 是最低点，若 是 直角三角形，则 __________． 16 ． 如 图 ， 多 面 体 ， ， ， 两 两 垂 直 ， ， ， ，则经过 ， ， ， 的外接球的表面积是_________． D ABC− 1AB BC CD DA= = = = AB BC⊥ CD DA⊥ M N BC CD AC BD⊥ MN∥ ABD A CMN− 2 12 AD BC R (2 ) ( ) 0f x f x− + = ( ]0,1x∈ 2( ) logf x x= − ( ) ( )( ) sin πF x f x x= − [ ]1,m− m [ )3.5,4 ( ]3.5,4 ( ]5,5.5 [ )5,5.5 a b 0⋅ =a b 2=a 3=b + =a b ( ) ( )2ln 2f x x x x x a= + − a ∈ R [ ]1,3x∈ ( ) ( )f x xf x′> ( ) ( )sin 0f x xω ω= > A B C ABC△ 1 2f   =   OABCD OA OB OC 2AB CD= = 2 3AD BC= = 10AC BD= = A B C D页 4 第 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知数列 满足： ， ， ． （1）证明：数列 是等比数列； （2）设 ， ，求数列 的前 项和 ． 18．（12 分）如图 1，在梯形 中， ， ， 为 中点， 是 与 { }na 1 1a = ( )1 2 2n n nn a a a+ − = *n∈N na n     3 5 n n nb an −= *n∈N { }nb n nS ABCD AD BC∥ 1 2AB BC AD= = E AD O AC BE页 5 第 的交点，将 沿 翻折到图 2 中 的位置得到四棱锥 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值． 19 ．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 两点，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 是椭圆 上的一个动点，且直线 与直线 分别交于 两点．是否存在点 使 得以 为直径的圆经过点 ？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，说明理由． ABE△ BE 1A BE△ 1A BCDE− 1CD AC⊥ 1 2 2AC AB= 3BE AB= 1B A E D− − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 C y ,A B 2AB = C P C ,PA PB 4x = ,M N P MN ( )2,0D P页 6 第 20．（12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人 民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了制定 提升农民年收入、实现 2020 年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2019 年 50 位农民的年收入并制成如下 频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间 的中点值表示）； x页 7 第 （2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中 近似为年平 均收入 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84．14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年 收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民．若每位农民的年 收入互相独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12．14 千元的人数最有可能是多少？ 附 参 考 数 据 ： ， 若 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 ， 则 ， ， ． ( )2,N µ σ µ x 2σ 2s 2 6.92s = 6.92 2.63≈ ( )2,N µ σ ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( )2 2 0.9545P Xµ σ µ σ− < < + = ( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + =页 8 第 21．（12 分）已知函数 ， ． （1）若 在 内单调递减，求实数 的取值范围； （2）若函数 有两个极值点分别为 ， ，证明： ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 ( ) 2ln 2f x x x ax x= − + a ∈ R ( )f x ( )0,+∞ a ( )f x 1x 2x 1 2 1 2x x a + >页 9 第 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （2）射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求 的取值范围． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知定义在 R 上的函数 ． 1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ O x 2C πsin( ) 14 ρ θ − = 1C 2C π: ( π )2OM θ α α= < < 1C M π 4:ON θ α= − 2C N 2 2 1 1 OM ON + ( ) | |f x x=页 10 第 （1）求 的最小值 ； （2）若 ， 且 ，求 的最小值． ( 1) (2 4)f x f x+ + − M a 0b > 2a b M+ = 2 2 1 1 4a b +- 11 - 2019-2020 学年下学期高三 4 月月考仿真卷 理 科 数 学答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由 ，则 ， 又 ，所以 ， 故选 B． 2．【答案】D 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ， 可得 ， ，则 ， 的焦距为 ． 故选 D． 3．【答案】A 【解析】第6 行第 6 列开始的数为 808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不 合），522， 则满足条件的 5 个样本编号为 436，535，577，348，522，则第 5 个编号为 522． 故选 A． 4．【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，故选 D． 5．【答案】B 【解析】由题意，5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期． 现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目， 基本事件总数 ， 所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数 ， { } { }2log 1 2A x x x x= ≥ = ≥ { }2A x x= 0y > ( ) 2 1 4 42 2 2 4 2 4 4 8x y x yx y x y y x y x  + + = + + + ≥ + ⋅ = + =   4x y y x = 4x = 2y = 22 2x y m m+ > + 2 2 8m m+ < 2 2 8 0m m+ − < 4 2m− < < ABC△ 2sin sin sin 2 A B c B b − = 2sin sin sin sin 2 sin A B C B B − = 2sin cos 2sin sinC B A B= − ( )2sin cos 2 sin cos cos sin sinC B B C B C B= + − 1cos 2C = ( )0,πC ∈ 60C = °- 13 - 又 ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，解得 或 （不合题意，舍去）， ∴ 的面积为 ， 故选 B． 10．【答案】A 【解析】因为 F1 是椭圆 的左焦点，直线 过 F1 交 y 轴于 C 点， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 在三角形 AF1F2 中， ， ， ， 根据余弦定理可得 ， 代入得 ，化简得 ， 1 3AM AB=  ( )1 1 3 3CM CA AM CA AB CA CB CA= + = + = + −        2 1 3 3CA CB= +  3 2CM CA CB= +   2 2 2 9 4 4CM CA CB CA CB= + + ⋅     228 16 4a a= + + 2a = 6a = − ABC△ 1 2 2sin 60 32ABCS = × × ° =△ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > l ( )1 ,0F c− 1OF c= 1 2 30CF F∠ = ° 1 2 3 3 cCF = 1 1 3 2FC AF = 1 4 3 9 cAF = 1 4 3 9 cAF = 1 2 2F F c= 2 4 32 9 cAF a= − 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 cos 2 AF F F AFAF F AF F F + −∠ = ( ) ( ) 2 2 24 3 4 32 29 93 2 4 32 29 c cc a c c   + − −   − =       3a c=- 14 - 所以离心率为 ， 所以选 A． 11．【答案】D 【解析】设 的中点为 ，连接 ，则 ， ， 又 ，所以 平面 ，所以 ，故①正确； 因为 ，所以 平面 ，故②正确； 当平面 与平面 垂直时， 最大，最大值为 ，故③错 误； 若 与 垂直， 又因为 ，所以 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ， 因为 ，所以显然 与 不可能垂直，故④正确， 故选 D． 12．【答案】A 【解析】由 可知函数 的图象关于点 成中心对称， 且 ，所以 ， 所以，函数 的周期为 ， 由于函数 为奇函数，则 ，则 ， 作出函数 与函数 的图象如下图所示： 3 3 ce a = = AC O ,OB OD AC OB⊥ AC OD⊥ OB OD O= AC ⊥ OBD AC BD⊥ / /MN BD MN∥ ABD DAC ABC A CMNV − 1 1 2 2 3 4 4 48A CMN N ACMV V− − = × × == AD BC AB BC⊥ BC ⊥ ABD BC BD⊥ BD AC⊥ BD ⊥ ABC BD OB⊥ OB OD= BD OB ( ) ( )2 0f x f x− + = ( )y f x= ( )1,0 ( ) ( ) ( )2f x f x f x− = − = − ( ) ( )2f x f x+ = ( )y f x= 2 ( )y f x= ( )0 0f = ( ) ( )2 4 0f f= = ( )y f x= ( )sin πy x=- 15 - ，则 ， 于是得出 ， ， 由图象可知，函数 与函数 在区间 上从左到右 个交点的横坐标分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，第 个交点的横坐标为 ， 因此，实数 的取值范围是 ，故选 A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】 【解析】因为平面向量 ， 满足 ， ， ， 所以 ， 故答案为 ． 14．【答案】 【解析】由 ，得 ， 设 ，则存在 ，使得 成立， 即 成立．所以 成立，所以 成立， 2 1 1log 12 2f   = − =   1 1 12 2f f   − = − = −       7 3 1 12 2 2f f f     = = − = −           5 1 12 2f f   = =       ( )y f x= ( )sin πy x= [ ]1,m− 10 1− 1 2 − 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 7 2 11 4 m [ )3.5,4 13 a b 0⋅ =a b 2=a 3=b ( )2 2 2 2 22 2 3 13+ = + = + ⋅ + = + =a b a b a a b b 13 5 ,4  +∞   ( ) ( )f x xf x′> ( ) 0f x x ′  + min 1 2a xx  > +  - 16 - 又令 ， ，所以 时， ， 单调递增， 当 时， 有最小值 ， 所以实数 a 的取值范围是 ，故答案为 ． 15．【答案】 【解析】由图可得 ， ， ， 根据对称性 ， 是直角三角形， 所以为等腰直角三角形 ，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半， ， ， ，所以 ，故答案为 ． 16．【答案】 【解析】根据 ， ， 两两垂直构造如图所示的长方体， 则经过 ， ， ， 的外接球即为长方体的外接球， 故球的直径为长方体的体对角线的长． 设 ， ， ， 由题意得 ，解得 ， 所以球半径为 ， 球的表面积为 ，答案 ． 1 4t xx = + ( )( ) 2 2 +1 2 1 4 x xt x −′ = [ ]1,3x∈ >0t′ t 1x = t 5 4 5 ,4  +∞   5 ,4  +∞   2 2 π ,12A ω      5π ,12B ω      3π , 12C ω  −   AC BC= ABC△ AC BC⊥ 4AB = 4π 42ω = π 2 ω = 21 πsin 22 4f   = =   2 2 13π OA OB OC A B C D OA x= OB y= OC z= 2 2 2 2 2 2 4 10 12 x y x z y z  + =  + =  + = 1 3 3 x y z =  =  = 2 2 21 13 2 2r x y z= + + = 2 2134π 4π ( ) 13π2S r= = × = 13π- 17 - 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ ， 则数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列． （2）由（1）知， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由图 1 可知，四边形 为菱形，则 ， 则在图（2）中， ， 所以 ， 又 ，所以 ， 又 ，故 ． （2）因为 ，所以 ， 设 ，则 ， 又 ，所以 ， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， 则面 的法向量为 ， ( )3 8 2 8n nS n= − ⋅ + ( )1 2 2n n nn a a a+ − = ( )1 2 1n nna n a+ = + 1 21 n na a n n + = ⋅+ na n     12nna n −= 12n na n −= ⋅ ( ) 13 5 2n nb n −= − ⋅ ( ) ( )0 1 2 2 12 2 1 2 4 2 3 8 2 3 5 2n n nS n n− −= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ ( ) ( )1 2 3 12 2 2 1 2 4 2 3 8 2 3 5 2n n nS n n−= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ ( ) ( )1 2 12 3 2 2 2 3 5 2n n nS n−− = − + + + + − − ⋅ ( ) ( ) ( ) 12 1 2 2 3 3 5 2 8 8 3 21 2 n n nn n −− = − + ⋅ − − ⋅ = − + − ⋅− ( )3 8 2 8n nS n= − ⋅ + 21 7 − ABCE AC BE= 1BE AO⊥ BE CO⊥ 1BE AOC⊥ 面 BE CD∥ 1CD A OC⊥ 面 1A C ⊂ 面 1AOC 1CD AC⊥ 3BE AB= 2 3 π∠ =BAE 2AB = 1 1A O OC= = 1 2 = 22AC AB= 1 π 2AOC∠ = (0,0,0)O ( 3,0,0)B (0,1,0)C 1(0,0,1)A ( 3,0,0)E − ( 2 3,1,0)D − ( 3,1,0)ED = − 1 ( 3,0,1)EA = 1A EB 1 (0,1,0)=n- 18 - 设面 的法向量为 ， 则 ，则 ， 令 ，则 ，则 ， 所以 ， 又由图可知二面角 为钝二面角， 故二面角 的余弦值为 ． 19．【答案】（1） ；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由已知 ，得知 ， ， 又因为离心率为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2）假设存在． 设 ， ， ， 由已知可得 ， ， 所以 的直线方程为 ， 1A ED 2 ( , , )x y z=n 2 2 1 0 0 ED EA  ⋅ = ⋅ =   n n 3 0 3 0 x y x z − + = + = 1x = 3, 3y z= = − 2 (1, 3, 3)= −n 1 2 1 2 1 2 21, 3 7 7cos ⋅〈 〉 = ==n nn n n n 1B A E D− − 1B A E D− − 21 7 − 2 2 14 x y+ = 2AB = 2 2b = 1b = 3 2 3 2 c a = 2 2 2a b c= + 2a = C 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y ( )4,M m ( )4,N n ( )0,1A ( )0, 1B − AP 0 0 1 1yy xx −= +- 19 - 的直线方程为 ， 令 ，分别可得 ， ， 所以 ， 线段 的中点 ， 若以 为直径的圆经过点 ，则 ， 因为点 在椭圆上，所以 ，代入化简得 ， 所以 ，而 ，矛盾， 所以这样的点 不存在． 20．【答案】（1） 千元；（2）①14．77 千元；②978 人． 【解析】（1） 千 元， 故估计 50 位农民的年平均收入 为 17．40 千元． （2）由题意知 ， ① ， 所以 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14．77 千元． ②由 ， 每个农民的年收入不少于 12．14 千元的事件的概率为 0．9773， 记 1000 个农民的年收入不少于 12．14 千元的人数为 ， 则 ，其中 ， BP 0 0 1 1yy xx += − 4x = ( )0 0 4 1 1ym x −= + ( )0 0 4 1 1yn x += − 0 82MN m n x = − = − MN 0 0 44, y x       MN ( )2,0D ( ) 2 2 2 0 0 0 4 44 2 0 1y x x    − + − = −        P 2 20 0 14 x y+ = 0 81 0x − = 0 8x = [ ]0 2,2x ∈ − P 17.40x = 12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 24 0.04 17.40x = × + × + × + × + × + × + × = x ( )17.40,6.92X N∼ ( ) 1 0.6827 0.84142 2P x µ σ> − = + ≈ 17.40 2.63 14.77µ σ− = − = ( ) ( ) 0.954512.14 2 0.5 0.97732P x P x µ σ≥ = ≥ − = + ≈ ξ ( )1000,B Pξ  0.9773P =- 20 - 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12．14 千元的事件概率为 ， 从而由 ，得 ， 而 ，所以，当 时， ； 当 时， ， 由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12．14 千元的人数最有可能是 978 人． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ，∴ 在 内单调递减， ∴ 在 内恒成立， 即 在 内恒成立． 令 ，则 ， ∴当 时， ，即 在 内为增函数； 当 时， ，即 在 内为减函数， ∴ 的最大值为 ，∴ ． （2）若函数 有两个极值点分别为 ， ， 则 在 内有两根 ， ， 由（1），知 ， 由 ，两式相减，得 ． 不妨设 ， ∴要证明 ，只需证明 ． ( ) ( ) 3 3 10 10C 1 kk kpP k pξ −= −= ( ) ( ) ( ) ( ) 1001 11 1 P k k p P k k p ξ ξ = − ×= >= − × − 1001k p< 1001 978.2773p = 0 978k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − < = 979 1000k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − > = ,4 e +∞  ( ) ln 2 4f x x ax+′ = − ( )f x ( )0,+∞ ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − ≤ ( )0,+∞ ln 24 xa x x ≥ + ( )0,+∞ ( ) ln 2xg x x x = + ( ) 2 1 ln xg x x − −′ = 10 x e < < ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1x e > ( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,e  +∞   ( )g x 1g ee   =   ,4 ea  ∈ +∞  ( )f x 1x 2x ( ) ln 2 4 0f x x ax= + − =′ ( )0,+∞ 1x 2x 0 4 ea< < 1 1 2 2 ln 2 4 0 ln 2 4 0 x ax x ax + − =  + − = ( )1 2 1 2ln ln 4x x a x x− = − 1 20 x x< < 1 2 1 2x x a + > ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 4 2 ln ln x x a x x a x x + −+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + ( ) ( )2 1 ln1 xh x xx −= −+ 0 1x< ≤ 2 2 ( 1)( ) 0( 1) xh x x x − −′ = ≤+ ( )h x ( ]0,1 ( )0,1x∈ ( ) ( )1 0h x h> = 2( 1) ln1 x xx − >+ 1 2 1 1 2 2 2 1 ln 1 x x x x x x  −    > + 1 2 1 2x x a + > 2 2 1 2cos 2 6:C ρ θ ρ+ = 2 2: 0x yC − + = 1 3,3 2      1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ 22 2 2cos sin 1 2 3 x yϕ ϕ   + = + =      1C 2 2 12 3 x y+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C 2 2 2 23 cos 2 sin 6ρ θ ρ θ+ = 2 2 2cos 2 6ρ θ ρ+ = 2C sin cos 2ρ θ ρ θ− = 2C 2 0x y− + = M N ( )1,ρ α 2 , 4 πρ α −   π π2 α< < 2 2 1 2 6 cos 2OM ρ α= = + 2 2 2 2 2 π 1 1 cossin 2 ON ρ αα = = = −   2 2 2 2 2 1 1 cos 2 7cos 2cos6 6OM ON α αα+ ++ = + =- 22 - 由 ，得 ， 故 的取值范围是 ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增， 故当 时，函数取得最小值 ． （2）若 ， 且 ， ，即 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立， 则 ， 令 ， ，而 的开口向上， 对称轴方程为 ，在 上单调递增， 当 ，取得最小值 ， 的最小值为 ． π π2 α< < 1 cos 0α− < < 2 2 1 1 OM ON + 1 3,3 2      3 8 9 ( ) | |f x x= ( 1) (2 4) | 1| | 2 4 |f x f x x x+ + − = + + − 1x ≤ − ( ) 3 3f x x= − 1 2x− < < ( ) 5f x x= − + 2x ≥ ( ) 3 3f x x= − 2x = 3M = a 0b > 2 3a b+ = 2 2 2a b ab∴ + ≥ 9 8ab ≤ 2a b= 3 2a = 3 4b = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 ( 2 ) 4 9 1 4 4 4 4( ) b a a b ab a b a b a b ab ab + + −+ = = = − 1t ab = 9 8 ≥t 29 4 ty t= − 2 9t = 8 ,9  +∞  8 9t = 8 9 2 2 1 1 4a b ∴ + 8 9- 23 -