2020届福建省漳州市高三第二次教学质量检测数学（理）试题

漳州市 2020 届高中毕业班第二次教学质量检测 理科数学试题 本试卷共 6 页。满分 150 分。 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A= ， B= ， 则 A B= A.[-1， ) B. ) C.(0， ) D.R 2.已知复数 z 的共轭复数为 ，且满足 2z =3 2i，则 = A. B. C.3 D.5 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 n=3，则输出的 S= A.1 B.5 C.14 D.30 4.已知等比数列 的前 n 项和为 Sn，若 a3 = ，S3= ， 则 的公比为 A. 或 B. 或 C. 3 或 2 D.3 或 2 5. 的展开式中 的系数为 A.6 B.24 C.32 D.48 6.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。先作一个半径为 1 的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基 础上做出内接正 6× (n=1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率， 这种方法称为“刘徽割圆术”。现设单位圆 O 的内接正 n 边形的一边为 AC，点 B 为劣弧 AC 的中点，则 BC 是内接正 2n 边形的一边，现记 AC=Sn，AB=S2n，则 A. = B. = C. =2 D. = 7.已知正三棱柱的底面边长为 2 ，侧棱长为 2，A，B 分别为该正三棱柱内切球和外接球上 的动点，则 A，B 两点间的距离最大值为 A. 2 B. C. C. 8.若 a= ，b= 12，c= ，则 A. B.a C.a D. 9.已知双曲线 C： =1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的左、 右支分别交于 P、Q 两点，若 = 2 ， · = 0，则 C 的渐近线方程为 A.y= B.y= C.y= D.y= 10.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且(2b-c) cosA=a cosC， b=2 ，若边 BC的中线等于 3， 则△ABC 的面积为 A.9 B. C. 3 D. 11.已知函数 f(x) =sin[cosx] +cos[sinx] ，其中[x] 表示不超过实数 x 的最大整数， 关于 f(x) 有下述四个结论： ①f(x)的一个周期是 2π；②f(x)是非奇非偶函数； ③f(x)在(0，π)单调递减；④f(x)的最大值大于 。 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①③ D.①② 12.已知抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，准线与 y 轴相交于点 P，过 F 的直线与 C 交于 A、B 两点，若 =2 ，则 = A.5 B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若函数 f(x)= 则 f(f(2))= 。 14.若|a+b|= ，a=(1，1)，|b|=1，则 a 与 b 的夹角为 。 15.在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同。 现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取 4 个球，若抽出的 4 个球恰含两种颜色， 获得 2 元奖金；若抽出的 4 个球恰含四种颜色，获得 1 元奖金；其他情况游戏参与者交费 1 元。设某人参加一次这种游戏所获得奖金为 X，则 E(X)= 。 16.已知对任意 x (0，+00) ，都有 k( 1) (1 ) In x 0， 则实数 k 的取值范围 为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 已知数列 满足 =1， 0，(1+a1) (1+a2) (1+a3) …(1+an+1) =an+1，n N*。 (1)证明数列 是等差数列； (2)求数列 的前 n 项和 Tn。 18.(12 分)如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，A A1=AB=CC1， A A1C= ABC=90°。 (1) 证明：AC A1B； (2) 若 AB=2，A1B= ， ACB=30°，求二面角 A-CC1-B 的余弦值。 19.(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 是 x 轴上关于原点 O 对称的两定点，点 H 满足|HF1| |HF2|=2|F1F2|=4，点 H 的轨迹为曲线 E。 (1)求 E 的方程； (2)过 F2 的直线与 E 交于点 P，Q，线段 PQ 的中点为 G，PQ 的中垂线分别与 x 轴、y 轴交 于点 M，N，问△OMN △GMF2 是否成立?若成立，求出直线 PQ 的方程；若不成立，请说 明理由。 20.(12 分) 某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示。若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为 ①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体。若 其中圆台部分的体积为 52πcm3，且水瓶灌满水 后盖上瓶塞时水溢出 cm3。 记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为 V， (1)求 V； (2)该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热 水时，保温效果不同。为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最 大盛水量 V 的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温， 发现水温 y(单位：℃)与时刻 t 满足线性回归方程 y=ct d，通过计算得到下表： 注：表中倒出体积 x(单位：cm3)是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积。其中：令 w=lcl，wi=|cil，xi=30(i 1)，i=1，2，…，16。对于数据(x； ， w； ) (i=1，2，…，7)， 可求得回归直线为 L：w=Bx+a，对于数据(xi，wi)(i=8，9，…，16)，可求得回归直线为 L2： w=0.0009x 0.7。 (i)指出|c|的实际意义，并求出回归直线 L1 的方程(参考数据： 0.0032)； (ii)若 L1 与 L2 的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体积保 留整数，且 w 取 3.14)保温效果最佳? 附：对于一组数据( ， )，( ， )，…，( ， )，其回归直线 v=βu 中的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 = ， = · 。 21.(12 分) 已知函数 f(x) = ，g(x) =x+a lnx。 (1)讨论 g(x)的单调性； (2)若 a=1，直线 l 与曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都相切，切点分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，求 证： 。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个 题目计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分) 已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ，直线 I 过点 P(1，2) 且倾斜角为 (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； (2) 设 I 与 C 的两个交点为 A，B，求 + 。 23.[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)= 的最大值为 m。 (1)求 m 的值； (2)已知正实数 a，b 满足 4 =2 。是否存在 a，b，使得 =m。