四川省2019-2020学年高二上学期第三次质量检测数学试题（解析版）

仁寿一中南校区 2018 级高二上学期第三次质检 数学试题 一、选择题（每题 5 分，满分 60 分） 1.已知直线 ： 与直线 ： 平行，则实数 （ ） A. B. －2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件可得 ，解出即可 【详解】因为直线 ： 与直线 ： 平行 所以 ，即 ，经验证，符合题意 故选：A 【点睛】在处理两直线平行的问题时，要注意验证，排除重合的情况. 2.如果 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到 形式，要想表示焦点在 轴上的椭圆，必须要满足 ，解这个不等式就可求出实数 的取值范围． 【详解】 转化为椭圆的标准方程，得 ，因为 表示焦点在 轴上的椭 圆，所以 ，解得 .所以实数 的取值范围是 .选 A. 【点睛】本题考查了焦点在 轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式. 1l 1 0x ay+ − = 2l 2 1 0x y− + = a = 1 2 − 1 2 1 2 1 a= − 1l 1 0x ay+ − = 2l 2 1 0x y− + = 1 2 1 a= − 1 2a = − 2 2 2x ky+ = y k (0,1) (0,2) (1, )+∞ (0, )+∞ 2 2 1x y A B + = y 0B A> > k 2 2 2x ky+ = 2 2 122 x y k + = 2 2 2x ky+ = y 2 2k > 0 1k< < k ( )0,1 y3.若双曲线 （ ）的实轴长为 2，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 ，然后可得渐近线方程 【详解】因为双曲线 （ ）的实轴长为 2 所以 ，即 所以其渐近线方程为 故选：C 【点睛】本题考查的是双曲线的几何性质，较简单 4.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域即可 【详解】约束条件 的可行域为： 2 2 2 1x ya − = 0a > 1 2y x= ± 2 2y x= ± y x= ± 2y x= ± a 2 2 2 1x ya − = 0a > 2 2a = 1a = y x= ± x y 2 2 0 1 0 3 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  + − ≤ 2z x y= + 2 2 0 1 0 3 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  + − ≤由 得 所以由图象可得过点 时 最大，最大值为 故选：C 【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单. 5.设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，则实数 （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出圆心到直线 的距离，然后用距离公式即可建立方程求解 【详解】由于圆 的圆心为 ，半径为 2 且圆截直线所得的弦 的长为 所以圆心到直线 的距离为 即 ，解得 故选：A 【点睛】设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，弦长为 ，则有 6.已知在四面体 中， 分别是 的中点， ， 则 与 所成的角的度数为( ) A 0　 B. 0　　　 C. 0　　 D. 0 【答案】A 【解析】 略 7.设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下面四个命题： . 2z x y= + 2y x z= − + ( )4 1−, z 2 2 4 1 7z x y= + = × − = 3 0ax y− + = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = A B AB 2 3 a = 3 4 3 4 − 3 0ax y− + = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = ( )1,2 AB 2 3 3 0ax y− + = 4 3 1− = 2 2 3 1 1 a a − + = + 0a = r d AB 2 2 2 2 ABr d  = +     ABCD ,E F ,AC BD 2, 4,AB CD EF AB= = ⊥ EF CD 30 45 60 90 m n α β γ①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ， ，则 其中正确命题的序号是( ) A. ①④ B. ①② C. ④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系即可作出判断． 【详解】对于①，若 ， ，则 平行或相交，故错误； 对于②，若 ， ， ，则 平行、相交或异面，错误； 对于③，若 ， ，则 平行或异面，错误； 对于④，若 ， ， ，由面面平行性质定理可知 ，正确， 故选 C 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 8.设 ， 是椭圆 （ ）的左右焦点， ， 是椭圆的上下顶点，四边形 为一个正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得 ，然后可得 ，即可得出离心率 【详解】 α β⊥ β γ⊥ / /α γ α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ / /m α n ⊂ α //m n / /α β mγ α = nγ β = //m n α β⊥ β γ⊥ α γ与 α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n与 / /m α n α⊂ m n与 / /α β mγ α∩ = nγ β∩ = / /m n 1F 2F 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1B 2B 1 1 2 2F B F B 1 2 2 2 3 2 5 1 2 − b c= 2a c=因为四边形 为一个正方形 所以 ，因为在椭圆中有 所以可得 ，即 故选：B 【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法，较简单. 9.若椭圆 和双曲线 的共同焦点为 ， ， 是两曲线的一个交点，则 的 值为 ( ) A. B. 84 C. 3 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解． 【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下： 由椭圆方程 可得： ， 由椭圆定义可得： …（1）， 由双曲线方程 可得： ， ， 由双曲线定义可得： …（2） 联立方程（1）（2），解得： ， 1 1 2 2F B F B b c= 2 2 2a b c= + 2a c= 2 2 ce a = = 2 2 125 16 x y+ = 2 2 - 14 5 x y = 1F 2F P 1 2PF PF⋅ 21 2 2 2 125 16 x y+ = 2 1 25a = 1 5a = 1 2 12 10PF PF a+ = = 2 2 14 5 x y− = 2 2 4a = 2 2a = 1 2 22 4PF PF a− = = 1 27, 3PF PF= =所以 故选 D. 【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于 中档题． 10.圆 上到直线 的距离为 的点共有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆 可变为 ， 圆心为 ，半径为 ， 圆心到直线 的距离 ， 圆上到直线的距离为 的点共有 个. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题. 11.已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 A，B 两点，若 ，则该双曲线曲离心率为 　　 A. 8 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 试题分析：双曲线的一条渐近线方程为 ，∵圆心为 ，半径为 3，可知圆心到直线 AB 的距 离为 ，∴ ，解得 ，∴ ，∴ . 考点：双曲线的离心率. 12.已知正方体 的棱长为 2，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 在底面 1 2 3 7 21PF PF⋅ = × = 2 22 4 3 0x x y y+ + + − = 1 0x y+ + = 2 1 2 3 4 2 22 4 3 0x x y y+ + + − = ( ) ( )2 21 2 8x y+ + + = ∴ ( )1, 2− − 2 2 ∴ 1 0x y+ + = 1 2 1 2 2 d − − += = ∴ 2 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( )2 2x 3 9y− + = 2AB = ( ) 2 2 3 2 0bx ay− = (3,0) 2 2 2 2 3 2 2b a b = + 2 28b a= 2 2 3c a b a= + = 3ce a = = 1 1 1 1ABCD A B C D− M N BC 1 1C D P内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 详解】解：如图，取 B1C1 中点 O，则 MO⊥面 A1B1C1D1，即 MO⊥OP， ∵PM ，则 OP＝1，∴点 P 在以 O 为圆心，1 以半径的位于平面 A1B1C1D1 内的半圆上． 可得 O 到 A1N 的距离减去半径即为 PQ 长度的最小值， 作 OH⊥A1N 于 H， △A1ON 的面积为 2×2 ， ∴ ，可得 OH ，∴PQ 长度的最小值为 ． 故答案为;C . 点睛：这个题目考查了立体中面面垂直的性质的应用，线面垂直的应用，以及数形结合的应用，较好的考 查了学生的空间想像力．一般处理立体的小题，都会将空间中的位置关系转化为平面关系，或者建系来处 理． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程是　　　　　． 【 1111 DCBA Q 1A N 5PM = PQ 2 1− 2 3 5 15 − 3 5 5 5= 1 1 32 1 1 12 2 2 − × × − × × = 1 1 3 2 2A N OH× = 3 5 5 = 3 5 15 − 2 2 10x y+ = 2 2( 1) ( 3) 20x y− + − = A B， AB【答案】 【解析】 试题分析： 两圆为 ①， ②， 可得 ，所以公共弦 所在直线的方程为 ． 考点：相交弦所在直线的方程 14.椭圆 上一点 到左焦点 的距离为 2， 是 的中点，则 等于______ 【答案】 【解析】 试题分析：根据椭圆的定义： ,所以 , 是 中点， 是 的中点，所以 ． 考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义． 15.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 的中点， 为 上一点，当 平面 时， ______ 【答案】 【解析】 【分析】 连结 交 于点 ，连结 ，由线面平行的性质定理可得 ，即有 ，然后由 得 ，即可得出答案 3 0x y+ =  2 2 10x y+ = ( ) ( )2 21 3 20x y− + − = −② ① 3 0x y+ = AB 3 0x y+ = 2 2 125 9 x y+ = M 1F N 1MF ON 4 1MF P ABCD− ABCD E AD F PC //PA BEF PF FC = 1 2 AC BE G FG //FGPA PF AG FC GC = //BCAD AG AE GC BC =【详解】 如图，连结 交 于点 ，连结 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 所以 ，所以 因为 ， 为 的中点 所以 ，即 故答案为： 【点睛】本题考查的是线面平行的性质定理的应用，属于基础题. 16.过点 双曲线 的左右焦点为 ，过 作 轴的垂线与 相交于 两点， 与 轴相交于 .若 ，则双曲线 的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据垂直关系可得 ，根据数量积的坐标运算可构造关于 的齐次方程求得离心率 ，即可得 到 关系；利用双曲线过点 ， 可构造方程组求得结果. 【详解】 的 AC BE G FG //PA BEF PA ⊂ PAC PAC  EBF FG= //FGPA PF AG FC GC = //BCAD E AD 1 2 AG AE GC BC = = 1 2 PF FC = 1 2 ( )2,2 ( )2 2 2 2: 1 , 0x yC a ba b − = > 1,F 2F 2F x C ,A B 1F B y D 1AD F B⊥ C 2 2 12 4 x y− = 1 0AD F B⋅ =  ,a c e ,a c ( )2,2 2 2 2c a b= +令 ，代入双曲线方程得： ， ， 为 中点 为 中位线 ， ，即 ，解得： 或 （舍） ，即 又 ， 双曲线 的方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，关键是能够根据已知中的垂直关系得到两向量的数量积为 零，进而通过坐标运算构造方程求得离心率，即 之间的关系. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， ， ， 分别为线 段 ， 中点，求证： （1） 平面 ； （2） 平面 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）作 中点 ，连结 ， ，证明四边形 为平行四边形即可 x c= 2 , bA c a      2 , bB c a  −   //OD AB O 1 2F F OD∴ 1 2F BF∆ 2 2 1 2 2 bOD BF a ∴ = = 2 0, 2 bD a  ∴ −   23, 2 bAD c a  ∴ = − −    2 1 2 , bF B c a  = −    1AD F B⊥ 1 0AD F B∴ ⋅ =  ( )22 24 2 2 2 2 332 2 02 2 c abc ca a − − + = − + = 4 2 2 43 10 3 0c a c a∴ − + = 4 23 10 3 0e e∴ − + = 2 3e = 2 1 3e = 3e∴ = 3c a= 2 2 2 2 2 4 4 1a b c a b  − =  = + 2 2a∴ = 2 4b = ∴ C 2 2 12 4 x y− = 2 2 12 4 x y− = ,a c P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 60ABC∠ = ° E F BC PD //CF PAE BC ⊥ PAE PA O FO EO FOEC（2）分别证明 和 即可 【详解】（1）作 中点 ，连结 ， .∵ 为 中点∴ ∵菱形 ， 是 中点∴ .∴ ， ∴四边形 为平行四边形 ∴ ，∵ 面 ， 面 ， ∴ 面 . （2）∵ 为 中点，菱形 ，∴ ， ∵ ∴在 中 ， ∴ ，∵ 面 ， 面 ∴ ，∵ ∴ 面 . 【点睛】本题考查的是立体几何中线面平行和垂直的证明，要求我们要熟悉并掌握平行与垂直有关的判定 定理和性质定理，在证明的过程中要注意步骤的完整. 18.如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）证明 面 即可 AE BC⊥ BC PA⊥ PA O FO EO F PD 1// 2FO AD= ABCD E BC 1// 2CE AD= //FO CE= FOEC //FC DE ⊄FC PAE OE ⊂ PAE //CF PAE E BC ABCD 1 2BE BC AB= = 60ABC∠ = ° AEB∆ 90AEB = °∠ AE BC⊥ PA ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD BC PA⊥ PA AE A= BC ⊥ PAE C AB O PA O PAC ⊥ PBC 2 2PA AB AC= = = OP PAC 15sin 10 θ = BC ⊥ PAC（2）先利用 求出点 到平面 的距离 ，然后 【详解】（1）∵ 面 ， 面 ∴ ，∵ ∴ 面 . ∵ 面 ∴面 面 （2）设点 到平面 的距离 ，直线 与平面 所成角为 ∵ ， ∴在 中， . ∵ 面 面 ， 面 ， ∴ ， .∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . 【点睛】等体积法是求点到平面的距离的常用方法. 19.已知圆 圆心在 轴上，且过点 ， . （1）求圆 的标准方程. （2）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 分析】 （1）设圆的方程为 ，然后将点 ， 代入即可解出 （2）分两种情况讨论，算出圆心到直线的距离即可 【详解】（1）设圆的方程： ， 【 O PAC P AOCV V− −= O PAC h sin h PO θ = PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC PA BC⊥ AC BC⊥ AC PA A∩ = BC ⊥ PAC BC ⊂ PBC PAC ⊥ PBC O PAC h OP PAC θ 2 2PA AB AC= = = 90ACB∠ = ° ACB∆ 3BC = PA ⊥ BCA AC ⊂ BCA AB Ì BCA PA AC⊥ PA AB⊥ 5PO = O PAC P AOCV V− −= 1 1 3 3PAC AOCS h S PA∆ ∆⋅ = ⋅ 3 2h = 15sin 10 h PO θ = = H y (1,0)A (3,2)B H l B H l 2 2( 3) 10x y+ − = 3x = 4 3 6 0x y− − = 2 2 2( )x y b r+ − = (1,0)A (3,2)B 2 2 2( )x y b r+ − =∵过点 ， ，∴ ∴ ， ，∴圆 标准方程： （2）① 不存在时，∴直线 ： .符合题意. ② 存在时，设直线 ： ，即 ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴直线 ： 综上所述：直线 ： 或 . 【点睛】1.设直线的方程为点斜式时，要注意讨论斜率不存在的情况. 2. 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，弦长为 ，则有 20.已知椭圆 ： （ ），直线 ： （ ）与椭圆相交于 ， 两点，点 为 的中点，若直线 与直线 （ 为坐标原点）的斜率之积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 的左焦点且倾斜角为 60 的直线与椭圆相交于 ， 两点，求 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）设 ， ，利用点差法即可求出 （2）联立直线与椭圆的方程消元，用弦长公式求出 即可 【详解】（1）设 ， ，∴ ∴ ， (1,0)A (3,2)B 2 2 2 2 1 9 (2 ) b r b r  + =  + − = 3b = 10r = H 2 2( 3) 10x y+ − = k l 3x = k l 2 ( 3)y k x− = − 3 2 0kx y k− − + = 2 | 3 3 2 | 1 kd k − − += + 2 21d r+ = 6 1 9k + = 4 3k = l 4 3 6 0x y− − = l 3x = 4 3 6 0x y− − = r d AB 2 2 2 2 ABr d  = +     C 2 2 2 14 x y a + = 2a > l 1y kx= + 0k ≠ A B D AB l OD O 1 2 − C C M N | |MN 2 2 18 4 x y+ = 16 2 7 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2a | |MN ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y a b + − + −+ =∴ ∴ ，∵ ， ， ∴ ，∴椭圆方程： ； （2）.∵ ，∴ ，∴直线方程： ∴ ，∴ ，∴ ∴ 【点睛】1.点差法是解决椭圆的中点弦问题常用的方法 2. 涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入” 等解法. 21.已知三棱锥 中， ， ， ， 为等边三角形，平面 平面 ， 为 的中点 （1）求证： 平面 . （2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积. （3）（只理科做）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【解析】 【分析】 （1）由面面垂直的性质定理直接可得 （2）过 作 于 ，先证 平面 ，然后 ，其中 ， 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a − +⋅ = −− + 2 2AB OD bk k a ⋅ = − 2 4b = 1 2AB ODk k⋅ = − 2 8a = 2 2 18 4 x y+ = 2C = ( 2, )F D− 3 2 3y x= + 2 2 3 2 3 2 8 y x x y  = + + = 27 24 16 0x x+ + = 224 4 7 16 128∆ = − × × = 21MN k a ∆= + 1282 7 = × 16 2 7 = P ABC− 90ACB∠ = ° 2CB = 4AB = PAC∆ PAC ⊥ ABC D AB BC ⊥ PAC M PB M BCD− D AP C− − 3 2M BCDV − = 2 13 13 P PQ AC⊥ Q PQ ⊥ ABC 1 3M BCD BCDV S h− ∆= ⋅ ⋅ 1 2BCD ABCS S∆ ∆=（3）过 作 于 ，连结 ，然后可证得 为二面角 所成平面角，然后求出 即可 【详解】（1）.∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∵ ， 平面 ，∴ 平面 . （2）过 作 于 ， ∵平面 平面 ，平面 平面 平面 ，∴ 平面 ， ∵ ， ， ∴ ，∵ 为等边三角形，∴ ， ∵ 为 中点， 为 中点 ∴ ， ∴ ， ，∴ （3）过 作 于 ，连结 ， ∵ 平面 ， 面 ∴ ，∵ ，∴ 面 ，∵ 面 ∴ ，∴ 为二面角 所成平面角， ∵ ， . 为等边三角形， ∴ ，∵ 面 ，∴ ，∴ ∴ 【点睛】三垂线定理法是作二面角的平面角常用的方法. 1 2h PQ= C CN AP⊥ N BN BNC∠ D PA C− − PAC ⊥ ABC PAC  ABC AC= BC AC⊥ BC ⊂ ABC BC ⊥ PAC P PQ AC⊥ Q PAC ⊥ ABC PAC  ABC AC= PQ ⊂ PAC PQ ⊥ ABC 2CB = 4AB = 90ACB∠ = ° 2 3AC = PAC∆ 3PQ = D AB M PB 1 3M BCD BCDV S h− ∆= ⋅ ⋅ 1 2BCD ABCS S∆ ∆= 1 2h PQ= 3 2M BCDV − = C CN AP⊥ N BN BC ⊥ PAC AP ⊂ PAC BC AP⊥ CN BC C= AP ⊥ BCN BN ⊂ BCN AP BN⊥ BNC∠ D PA C− − 2 3AC = 2BC = ACP∆ 3CN = CN ⊂ PAC BC CN⊥ 13BN = 2 13sin 13 BCBNC BN ∠ = =22.已知椭圆 （ ）的离心率为 ，连接椭圆四个顶点得到的菱形的面积为 4. （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆的右顶点，过点 作两条互相垂直的直线 ， 分别与椭圆交于 ， 两点，求证： 直线 过定点； （3）（只理科做）过点 作两条互相垂直的直线 ， ， 与圆 ： 交于 ， 两点， 交椭圆于另一点 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）由条件可得 ， ，联立 解出即可 （2）设直线 ： ， ， ，联立直线与椭圆的方程消元可得 和 ，由 可得 ，从而得出 或 即可 （3）分 斜率为 0 和 斜率不为 0 两种情况讨论，当 斜率不为 0 时，设 ： ，则 ： ，然后用 分别表示出 和 即可 【详解】（1）由题意得 ， ， ∵ ，∴ ， ∴椭圆的方程为 （2）由题意得 ，设直线 ： ， ， . 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 3 2 A A AM AN M N MN (0, 1)Q − 1l 2l 1l O 2 2 4x y+ = B C 2l D BCD∆ 2 2 14 x y+ = max 3S∆ = 3 2 c a = 1 2 2 42 a b⋅ ⋅ = 2 2 2a b c= + MN y kx b= + ( )1 1,m x y ( )2 2, ,N x y 1 2 2 8 4 1 kbx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 4 1 bx x k −= + AM AN⊥ 1 2 1 2 12 2 y y x x ⋅ = −− − 5 6k b= − 1 2k b= − 1l 1l 1l 1l 1y kx= − 2l 1 1y xk = − − k BC QD 3 2 ce a = = 1 2 2 42 a b⋅ ⋅ = 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 1b = 2 2 14 x y+ = (2,0)A MN y kx b= + ( )1 1,m x y ( )2 2, ,N x y 2 2 14 y kx b x y = + + = ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kbx b⇒ + + + − =， ∵ ，∴ ∴ ，∴ 或 当 时， 过定点 ， 当 时， 过定点 （舍） ∴直线 过定点 （3）当 斜率为 0 时， ①当 斜率不为 0 时，设 ： 则 ： ， ， ∴ ， ， ∴ 令 ， ， ， ∴当 时， 综上： . 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体 1 2 2 0 8 4 1 kbx x k ∆ > − + = + 2 1 2 2 4 4 4 1 bx x k −= + 1AM ANAM AN k k⊥ ⇒ ⋅ = − 1 2 1 2 12 2 y y x x ⋅ = −− − 2 212 16 5 0k kb b+ + = 5 6k b= − 1 2k b= − 5 6k b= − MN 6 ,05      1 2k b= − MN (2,0) MN 6 ,05      1l 1 2BCDS BC QD∆ = 1 2 3 22 = × × 2 3= 1l 1l ( )1 0y kx k= − ≠ 2l 1 1y xk = − − 2 2 1 4 y kx x y = −  + = ( )2 21 2 3 0k x kx+ − − =⇒ 2 2 2 16 121 1 kBC k k += + ⋅ + 2 2 1 1 14 y xk x y  = − −  + = 2 2 4 81 0x xk k  ⇒ + + =   2 2 2 64 11 14 kQD k k = + ⋅ + 2 2 1 8 4 3 2 4BCD kS BC QD k∆ += ⋅ = + 24 k m+ = (4, )m∈ +∞ 2 13 48BCDS m m∆ −= + 13 2m = max 16 13 13BCDS∆ = max 2 3BCDS∆ =