2018—2019 学年第二学期高二第二次月考数学试题（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知全集 ，若 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意得到 ， = ，故得到 = .
故答案为 D.
2.在复平面内，复数 和 对应的点分别是 和 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由复数 和 对应的点分别是 和 得： ， ，故 ，故选 C.
3.设 p、q 是简单命题，则 为假是 为假的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复合命题的性质，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】若"p∧q"假，则 可以一真假，可得 不一定为假，即充分性不成立；
若 为假， 都为假，可得 一定为假，即必要性成立，
所以 为假是 为假的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是
{ }1,2,3,4U = { }1,3A = { }3B = ( ) ( )U UC A C B∩
{ }1,2 { }1,4 { }2,3 { }2,4
{ }2,4UC A = UC B { }1,2,4 ( ) ( )U UC A C B∩ { }2,4
1z 2z (2,1)A (0,1)B 1
2
z
z
=
1 2i− − 1 2i− + 1 2i− 1 2i+
1z 2z ( )A 2,1 ( )B 0,1 1 2z i= + 2z i= 1
2
2 1 2z i iz i
+= = −
" "p q∧ " "p q∨
,p q " "p q∨
" "p q∨ ,p q " "p q∨
" "p q∧ " "p q∨
p q q p p q p q的充分条件．
2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或
结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要
4.已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性，将 a，b，c 分别与 1 和 0 比较，得到结论.
【详解】因为
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，
属于基础题.
5.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择．
【详解】 为奇函数； 的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性； 是偶函数但在(0，＋
∞)上为减函数； 在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
故选 B
p q q p q p p q p q q p
A B A B B A A B A B
0.4 1.9
0.41.9 , 1 1.9, 0.4a b og c= =＝
a b c> > b c a> > a c b> > c a b> >
0.4 01.9 1.9 1,a > =＝
0.4 0.41 1.9 1 1 0,b og og= < =
1.9 00 0.4 0.4 1, 0 1c< < = ∴ < <
a c b> >
1y x
= 1y x= −
lgy x= 1
2
x
y =
1y x
= lgy x= 1
2
x
y =
1y x= −【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用．
6.某大型超市开业天数 与每天的销售额 的情况如下表所示：
开业天数 10 20 30 40 50
销售额/天(万元) 62 75 81 89
根据上表提供的数据，求得 关于 的线性回归方程为 ，由于表中有一个数据模糊看不清，
请你推断出该数据的值为（ ）
A. 67 B. 68
C. D. 71
【答案】B
【解析】
【分析】
设该数为 m，再求 ，然后根据点 在回归直线上求解.
【详解】设该数为 m， ，
因为点 在回归直线上，
所以 ，
解得：m=68.
故选：B
【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，还考查了理解辨析和数据处理的能力，属于基础题.
7.执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 ，输出 的值是 ，则 的取值范围是（ ）
x y
y x ˆ 0.67 54.9y x= +
68.3
,x y ( ),x y
( ) ( ) ( )1 1 110 20 30 40 50 30, 62 75 81 89 3075 5 5x y m m= + + + + = = + + + + = +
( ),x y
( )1 307 0.67 30 54.95 m+ = × +
n 13 S 46 aA. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出 ，即可得到
输出条件.
详解：输入 ，
第一次循环 ；
第二次循环 ；
第三次循环 ；
第四次循环 ，
输出 ，此时应满足退出循环的条件，
故 的取值范围是 ，故选 B.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)
不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结
构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）
在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即
可.
8.函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
9 10a≤ < 9 10a< ≤
10 11a< ≤ 8 9a< ≤
46S =
13, 0n S= =
13, 12S n= =
25, 11S n= =
36, 10S n= =
46, 9S n= =
46S =
a 9 0 10< ≤
( )
e 1( )
e 1
x
xf x
x
+=
− eA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对比函数和选项图像的定义域、奇偶性，即可排除错误答案，即可得解.
【详解】由题意得函数 的定义域为 ，可排除 B、C，
∵ ，
∴函数 为偶函数，可排除选项 A.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，属于基础题.
9.已知 为定义在 上周期为 2 的奇函数，当 时， ，若 ，则
（ ）
A. 6 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知条件，将函数的自变量变到 内，再求出函数值，由 求出 的值．
【详解】因为 是周期为 2 的奇函数，
所以 ，解得 ，
本题选择 A 选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的奇偶性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞
( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1 1
1x x x
x x x
e e ef x f x
x e x e x e
−
−
+ +− = = − = =
− −
+
− −
( )f x
( )f x R 1 0x− ≤ < ( ) ( )1f x x ax= + 5 12f = − a =
14
25
− 6−
[ )1,0− 5 12f = − a
( )f x
5 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2f f f a = = − − = − − − + = − 6a =10.已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 ，易知 是奇函数，且 在 R 上是增函数，再将 ，
转化为 ，利用单调性的定义求解.
【详解】令 ，
因为 ，
所以 是奇函数，且 在 R 上是增函数.
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： .
故选：D
【点睛】本题主要考函数奇偶性、单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档
题.
11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为 2，1， ，则此三棱锥外接球的表
面积为（ ）
( ) 2019 2019 3x xf x −= − + x ( )1 2 ( ) 6f x f x− + >
( )1,2 ( )1,4 ( )1,+∞ ( ),1−∞
( ) 2019 2019x xg x −= − ( )g x ( )g x ( )1 2 ( ) 6f x f x− + >
( )1 2 ( ) 0g x g x− + >
( ) 2019 2019x xg x −= −
( ) ( )( ) 2019 2019 2019 2019x x x xg x g x− −− = − = − − = −
( )g x ( )g x
( ) ( )1 2 ( ) 1 2 ( ) 6f x f x g x g x− + = − + +
( )1 2 ( ) 6f x f x− + >
( )1 2 ( ) 0g x g x− + >
( ) ( )1 2 ( )g x g x g x− > − = −
1 2x x− > −
1x <
1
2A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件及三视图，可知此三棱锥的四个顶点位于长、宽、高分别为 的长方体的四个顶点，所以此
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，从而可得结果.
【详解】
由已知条件及三视图得，
此三棱锥的四个顶点位于如图所示的长方体 的四个顶点，
即为三棱锥 ,且长方体 的长、宽、高分别为 ，
所以此三棱锥的外接球即为长方体 的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线长，
半径 ，
所以三棱锥外接球的表面积为 ，故选 B．
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图
问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关
键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不
同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧
视图，确定组合体的形状.
12.设 f(x)＝ 若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为( )
A. [－1，2] B. [－1，0]
17
4
π 21
4
π 4π 5π
12,1, 2
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1A CB D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 12,1, 2
1 1 1 1ABCD A B C D−
2
2 2 12 1 2 21
2 4R
+ + = =
2
2 21 214 4 4 4S R
π= π = π =
( )2 , 0
1 , 0
x a x
x a xx
− ≤ + + >C. [1，2] D. [0，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
由分段函数可得当 时， ，由于 是 的最小值，则 为减函数，即有 ，
当 时， 在 时取得最小值 ，则有 ，解不等式可得 的取值范围.
【详解】因为当 x≤0 时，f(x)＝ ，f(0)是 f(x)的最小值，
所以 a≥0.当 x＞0 时， ，当且仅当 x＝1 时取“＝”．
要满足 f(0)是 f(x)的最小值，
需 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建
立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填写在答题卷指定位置）
13.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值构成的集合是
________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简集合 ，再根据 ，且 ，利用子集定义求解.
【详解】因为集合 ， ，
又因为 ，
所以
所以实数 的取值构成的集合是 .
故答案为：
0x = 2(0)f a= (0)f ( )f x ( ,0]−∞ 0a ≥
0x > 1( )f x x ax
= + + 1x = 2 a+ 2 2a a≤ + a
( )2x a−
1( ) 2f x x a ax
= + + ≥ +
22 (0)a f a+ > = 2 2 0a a− − ≤ 1 2a− ≤ ≤
a 0 2a≤ ≤
*4 2 1{ | }6xA x x N≤ ≤ ∈＝ ， }2{B a＝ ， B A⊆ a
{ }3,4
*{ | } {2,3, }4 2 16 4xA x x N =≤ ≤ ∈＝ ， }2{B a＝ ， B A⊆
*{ | } {2,3, }4 2 16 4xA x x N =≤ ≤ ∈＝ ， }2{B a＝ ，
B A⊆
{ }, { }3 2 4 2B B＝ ， ＝ ，
a { }3,4
{ }3,4【点睛】本题主要考查集合的基本关系的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14.已知函数 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 ， 所 以 ， 解 得 ， 故 答 案 为
.
考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数解不等式.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考
查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次
清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到 的值；其次界关于 的不
等式.
15.设双曲线 的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为 ，则双曲
线的一个焦点到一条渐近线的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线 的两条渐近线互相垂直，得到两条渐近线方程为： ，再根
据顶点到一条渐近线的距离为 ，求得 a，b，c，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以两条渐近线方程为： ，
设一个顶点的坐标为 ，
因为顶点到一条渐近线的距离为 ，
所以 ，
2 2 , 2( ) {
2 1, 2x
x ax xf x
x
+ ≥=
+ <
2( (1)) 3f f a> a
( 1,3)−
( )1 2 1 3f = + = ( ) 2( (1)) 3 9 6 3f f f a a= = + > 1 3a− < <
( 1,3)−
( )1f ( (1))f f a
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1
2
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > y x= ±
1
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
y x= ±
( ),0a
1
1
2
a =所以 ，
所以 ，
所以焦点的坐标为 ，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16.若对于曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)的任意切线 l1，总存在曲线 g(x)＝ax＋2cosx 的切线 l2，使
得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求 f′（x）=﹣ex﹣1，令 ﹣ex﹣1，进一步得 ∈（0，1），再求 g′（x）=a﹣2sinx，令
=a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把 l1⊥l2 转化为集合间的包含关系求解即可．
【详解】由 f（x）=﹣ex﹣x，得 f′（x）=﹣ex﹣1，所以 ﹣ex﹣1
∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），
由 g（x）=ax+2cosx，得 g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，
∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，
要使过曲线 f（x）=﹣ex﹣x 上任意一点的切线为 l1，
总存在过曲线 g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，
则 ，解得﹣1≤a≤2．
故答案为：[－1,2]
【点睛】本题考查了两个函数在点的切线斜率间的关系，利用了导数的几何意义，把问题转化为集合间的
包含关系是解题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2a =
2, 2a b c= = =
( ) ( )2,0 , 2,0−
2 0 2
2
- =
2
[ ]1,2−
1k =
1
1- =k x
1
e +1 2k
1k =
1
1- =k x
1
e +1
-2+a 0
2+a 1
≤
≥17.选修 4-5：不等式选讲
设函数 ， .
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若存在 ，使 ，求 的取值范围.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）先解不等式 得到 ，再比较得 ，即得 a 的值.(2)先
求得 f(x)+x 最小值为 2a，再解不等式 即得 a 的取值范围.
详解：（1）由题意可得 可化为 ，
所以 ，解得 a=1.
（2）令 ,
所以函数 g(x)=f(x)+x 最小值为 2a,
根据题意可得 ，即 ，所以 a 的取值范围为 .
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知
识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第 2 问时，要先求 f(x)+x 最小值，不是最大值，因为它是存在性问
题，要理解清楚.
18.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案 A，B 进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案 A 和方案 B
进行治疗，统计结果如下：
有效 无效 合计
使用方案 A 组 96 120
使用方案 B 组 72
合计 32
( ) 2f x x a= − a R∈
( ) 1f x < { }3|1x x< < a
0x R∈ 0 0( ) 3f x x+ < a
1a =
3, 2
−∞
2 1x a− < 2 1 2 1a x a− < < + 2 1 1
2 1 3
a
a
− =
+ =
2 3a <
2 1x a− < 2 1 2 1a x a− < < +
2 1 1
2 1 3
a
a
− =
+ =
2 2 , 2( ) ( ) 2 2 , 2
x a x ag x f x x x a x a x a
− ≥= + = − + = { }3|B x a x a< 1F 2F 1F A B
AB 1
2AB a=
AB
3
2 2
2aAB a b
= +
3
2e = 2
2
AB x c= − 1
2AB a= AB
y x c= + 2 48a b∆ =
3
2 2
2aAB a b
= +
AB x c= −
22 1
2
bAB aa
= =
2 24a b=
2 2 2
2 2
31 2
c a b be a a a
−= = = − =
( )1 ,0F c− AB y x c= +
2 2
2 2 1
y x c
x y
a b
= + + =
( )2 2 2 2 2 2 2 22 0a b c a cx a c a b+ + + − =.
设 ， ，
则 ， .
∴
.
∴ ，∴ ，
∴ ，即椭圆的短轴与长轴之比为 .
点睛：本题考查了求解椭圆的离心率和定值问题，在解答离心率的问题时只需要按照条件结合椭圆性质即
可求解，在求比值时需要设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求出弦长并解
答，本题较为基础．
22.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 在 为增函数， 在 为减函数；当 时,
在 为增函数，在 为减函数；（2） .
【解析】
试题分析：（1）先求出函数 的导数，对 分类讨论，根据导数的正负即可得出函数 的单调性；
（2）法一：对任意 ，都有 恒成立等价于 在 上恒成立， 即
在 上恒成立，令 ，利用导数研究函数 的单调性，即
可求得 ，从而可得实数 的取值范围；法二：要使 恒成立，只需 ，对 进
( )( )4 2 2 2 2 2 2 2 44 4 8a b a a b c b a b∆ = − + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2 2
2a cx x a b
+ = − +
( )2 2 2
1 2 2 2
a c b
x x a b
−
= +
1 21 1AB x x= + −
( )2
1 2 1 22 4x x x x= ⋅ + −
2 2
2 2
82 a b
a b
= ⋅ +
2 2
2 2 2 2
4 2ab a
a b a b
= =+ +
2 22a b=
2
2
1
2
b
a
=
2
2
b
a
= 2
2
2( ) 4ln 1( )f x x mx m R= − + ∈
( )f x
[1,e]x∈ ( ) 0f x ≤ m
0m ≤ ( )f x 20 m
（ ， ） ( )f x 2( , )m
+∞ 0m > ( )f x
20 m
（ ， ） 2( , )m
+∞ 2 em e
≥
( )f x m ( )f x
[ ]1,x e∈ ( ) 0f x ≤ 24ln 1 0x mx− + ≤ [ ]1,x e∈
2
4ln 1xm x
+≥ [ ]1,x e∈ ( ) [ ]2
4ln 1, 1,xg x x ex
+= ∈ ( )g x
( )maxg x m ( ) 0f x ≤ ( )max 0f x ≤ m行 和 分类讨论，利用导数研究函数 的单调性，求出 ，即可实数 的取值范围.
试题解析：（1）由题知： ,
当 时, 在 时恒成立
∴ 在 上是增函数.
当 时, ,
令 ，得 ；令 得 .
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数.
（2）法一：由题知： 在 上恒成立， 即 在 上恒成立.
令 ，所以
令 得 ；令 得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ ,
∴ .
法二：要使 恒成立，只需
当 时， 在 上单调递增.
∴ ,即 ，这与 矛盾，此时不成立.
当 时,
,
,
0m ≤ 0m > ( )f x ( )maxf x m
( ) 24 4 22 ( 0)mxf x mx xx x
−=′ − = >
0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )0,x∈ +∞
( )f x ( )0,+∞
0m > ( ) 2
2 22
4 4 22 ( 0)
m x xm mmxf x mx xx x x
− + − − = − = = >′
( ) 0f x′ > 20 x m
< < ( ) 0f x′ < 2x m
>
( )f x 20, m
2 ,m
+∞
24ln 1 0x mx− + ≤ [ ]1,x e∈
2
4ln 1xm x
+≥ [ ]1,x e∈
( ) [ ]2
4ln 1, 1,xg x x ex
+= ∈ ( ) ( )
3
2 1 4ln ,xg x x
−′ =
( ) 0g x′ > 1
41 x e< < ( ) 0g x′ < 1
4e x e< <
( )g x
1
41,e
1
4 ,e e
( )
1
1 4
4
2max 1
4
4ln 1 2e eg x g e e
e
+= = =
2 em e
≥
( ) 0f x ≤ ( )max 0f x ≤
0m ≤ ( )f x [ ]1,e
( ) ( ) 2
max 4 1 0f x f e me= = − + ≤
2
5m e
≥ 0m ≤
0m >（i）若 即 时， 上单调递增，
∴ ，即 ，这与 矛盾，此时不成立.
（ii）若 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 .
∴ 即 ，解得 .
又∵
∴ ,
（iii） 即 时， 在 递减，则 ,
∴
又∵
∴ ；
综上所述可得： .
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若
恒成立，转化为 ;
（3）若 恒成立，可构造新函数 ，转化为 .
在2 em
≥ 2
20 m e
< ≤ ( )f x [ ]1,e
( ) ( ) 2
max 4 1 0f x f e me= = − + ≤
2
5m e
≥ 2
20 m e
< ≤
21 em
< < 2
2 2me
< < ( )f x 21, m
2 ,em
( )max
2 24ln 1 0f x f m m
= = − ≤
1
42 em
≤ 2 em e
≥
2
2 2me
< <
2 2e me
≤ <
2 1m
≤ 2m ≥ ( )f x [ ]1,e ( ) ( )max 1 1 0f x f m= = − + ≤
1m ≥
2m ≥
2m ≥
2 em e
≥
( ) 0f x > ( )min 0f x >
( ) 0f x < ( )max 0f x <
( ) ( )f x g x> ( ) ( )( )h x f x g x= − ( )min 0h x >
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