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2015-2016 学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（下）期中数学试卷
一.选择题
1．下列式子：① ；② ；③﹣ ；④ ；⑤ ，是二次根式的有（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
2．使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4
3．下列计算：①（ ）2=a；② =a；③ = ；④ = ，其中正确的有（ ）
个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．以下列线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．6cm，12cm，14cm B． cm，1cm， cm
C．1.5cm，2cm，2.5cm D．2cm，3cm，5cm
5．△ABC 的三边满足|a+b﹣16|+ +（c﹣8）2=0，则△ABC 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点
D，然后点 D 做一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，以到点 C 的距离为
半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
7．在下述命题中，真命题有（ ）
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为 1：3：4 的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为 1： ：2 的三角形是直角三角形．
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A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．若平行四边形的两条对角线长为 6 cm 和 16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（
）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
9．已知：如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，那么∠BDC 等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
10．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最
小值时，BP 长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
二.填空题
11．如果 a、b 两个实数满足 a= + +2，则 ab 的值是 ．
12．已知 ，则 x2+2xy+y2= ．
13．若最简二次根式 与 是同类根式，则 b 的值是 ．
14．已知 a+ = ，则 a﹣ = ．
15．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，△ABC 的周长为 17cm，斜边上中线 BD 长为 ．则该三角
形的面积为 ．
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16．一根旗杆在离底部 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高为 ．
17．平行四边形两邻边的长分别为 16 和 20，两条长边间的距离为 8，则两条短边间的距离为 ．
18．已知菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，则菱形的周长是 cm．
19．如图，四边形 ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，计算四边形 ABCD 的面积 ．
20．在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点，且 PE⊥BD，PF
⊥AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF= ．
三.解答题（共 60 分）
21．计算：（1）3 ﹣9 +3
（2）（ + ）（2﹣2 ）﹣（ ﹣ ）2．
22．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB=2 ，AC=BC= ，求 AD 的长．
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23．已知 a= ，求代数式 ﹣ 的值．
24．如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE 分别交 BC，BD
于点 F，G，连接 BE．
（1）求证：△AFB≌△EFG；
（2）判断 CF 与 AD 的关系，并说明理由．
25．如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B
落在点 F 处，连接 FC，求证：AE∥CF．
26．如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF 的面积．
27．如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形
AnBnCnDn．
（1）求证：四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）四边形 A3B3C3D3 是 形；
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（3）四边形 A1B1C1D1 的周长为 ；
（4）四边形 AnBnCnDn 的面积为 ．
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2015-2016 学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下列式子：① ；② ；③﹣ ；④ ；⑤ ，是二次根式的有（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：是二次根式的有①③⑤；
②中被开方数小于 0 无意义，④是三次根式．
故选 B．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
2．使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，根据分式有意义条件可得 x﹣4≠0，再解不等式
即可．
【解答】解：由题意得：x﹣4≠0，且 x﹣3≥0，
解得：x≥3 且 x≠4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负
数，分式有意义的条件是分母不等于零．
3．下列计算：①（ ）2=a；② =a；③ = ；④ = ，其中正确的有（ ）
个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次根式的乘除法．
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【分析】直接利用二次根式的性质进而判断得出答案．
【解答】解：①（ ）2=a，正确；
② =|a|，故此选项错误；
③ = （a≥0，b≥0），故此选项错误；
④ = （a≥0，b≥0），故此选项错误，
故正确的有 1 个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确把握二次根式的性质是解题关键．
4．以下列线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．6cm，12cm，14cm B． cm，1cm， cm
C．1.5cm，2cm，2.5cm D．2cm，3cm，5cm
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
【解答】解：A、62+122≠142，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、 +12≠ ，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、1.52+22=2.52，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
D、22+32≠52，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选 C．
【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形 ABC
是直角三角形．
5．△ABC 的三边满足|a+b﹣16|+ +（c﹣8）2=0，则△ABC 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；勾股定理
的逆定理．
【分析】首先利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出 a，b，c 的值，进而利用勾股定
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理的逆定理求出答案．
【解答】解：∵|a+b﹣16|+ +（c﹣8）2=0，
∴ ，
解得： ，
∵a2=b2+c2，
∴△ABC 为直角三角形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质和勾股定理的逆定理，正确得
出 a，b，c 的值是解题关键．
6．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点
D，然后点 D 做一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，以到点 C 的距离为
半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
【考点】勾股定理；实数与数轴；估算无理数的大小．
【分析】利用勾股定理列式求出 OC，再根据无理数的大小判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OC= = ，
∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴该点位置大致在数轴上 3 和 4 之间．
故选 B．
【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出 OC 的长是解题的关键．
7．在下述命题中，真命题有（ ）
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（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为 1：3：4 的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为 1： ：2 的三角形是直角三角形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】矩形的判定；勾股定理的逆定理；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据矩形、菱形、直角三角形的判定定理对四个选项逐一分析．
【解答】解：（1）对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；
（2）180°÷8×4=90°，故正确；
（3）∵平行四边形的对角相等，又互补，
∴每一个角为 90°
∴这个平行四边形是矩形，故正确；
（4）设三边分别为 x， x：2x，
∵x2+（ x）2=（2x）2，
∴由勾股定理的逆定理得，
这个三角形是直角三角形，故正确；
真命题有 3 个，故选 C．
【点评】本题考查的知识点：矩形、菱形、直角三角形的判定
8．若平行四边形的两条对角线长为 6 cm 和 16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（
）
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，进行判断．
【解答】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即 5＜边长＜11．
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只有选项 B 在此范围内，故选 B．
【点评】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，
解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．
9．已知：如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，那么∠BDC 等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质得出∠ADC=90°，OA=OD，得出∠ADB=∠DAC，由已知条件得出∠ADE=∠
ACD=22.5°°，∠CDE=67.5°，求出∠ADB=∠DAC=67.5°，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，OA=OD，
∴∠ADB=∠DAC，
∵DE⊥AC，∠ADE= ∠CDE，
∴∠ADE=∠ACD=22.5°°，∠CDE=67.5°，
∴∠ADB=∠DAC=67.5°，
∴∠BDC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，弄清各角之间的数量
关系是解决问题的关键．
10．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最
小值时，BP 长为（ ）
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A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】过点 D 作 DE⊥BC 于 E，延长 AB 到 A′，使得 A′B=AB，连接 A′D 交 BC 于 P，此时 PA+PD
最小，利用已知条件可证明此时 BP 为△AA′D 的中位线，进而可求出 BP 的长．
【解答】解：过点 D 作 DE⊥BC 于 E，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形 ABED 是矩形，
∴BE=AD=2，
∵BC=CD=5，
∴EC=3，
∴AB=DE=4，
延长 AB 到 A′，使得 A′B=AB，连接 A′D 交 BC 于 P，此时 PA+PD 最小，即当 P 在 AD 的中垂线上，
PA+PD 取最小值，
∵B 为 AA′的中点，BP∥AD
∴此时 BP 为△AA′D 的中位线，
∴BP= AD=2，
故选 B．
【点评】本题考查了轴对称﹣线段最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质
定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点，证明 BP 为△AA′D
的中位线是解题本题的关键．
二.填空题
11．如果 a、b 两个实数满足 a= + +2，则 ab 的值是 8 ．
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【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出 a、b 的值，根据乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得，b﹣3≥0，3﹣b≥0，
解得，b=3，
则 a=2，
则 ab=23=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的
关键．
12．已知 ，则 x2+2xy+y2= 8 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】所求式子利用完全平方公式化简，由 x 与 y 的值求出 x+y 的值，代入计算即可得到结果．
【解答】解：∵x= +1，y= ﹣1，
∴x+y= +1+ ﹣1=2 ，
则 x2+2xy+y2=（x+y）2=（2 ）2=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．若最简二次根式 与 是同类根式，则 b 的值是 1 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】依据同类二次根式的定义可知 b2+2b+2=3+2b，从而可求得 b 的值．
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类根式，
∴b2+2b+2=3+2b．
整理得：b2=1．
解得：b1=1，b2=﹣1．
当 b=﹣1 时， =1， =1 不合题意．
故答案为；1．
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【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
14．已知 a+ = ，则 a﹣ = ±3 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先对 a+ = 进行平方求得 a2+ ，然后根据（a﹣ ）2=a2+ ﹣2 求解．
【解答】解：∵a+ = ，
∴（a+ ）2=13，即 a2+ =11，
∴（a﹣ ）2=a2+ ﹣2=11﹣2=9，
∴a﹣ =±3．
故答案是：±3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式，对所求的式子进行变形是关键．
15．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，△ABC 的周长为 17cm，斜边上中线 BD 长为 ．则该三角
形的面积为 ．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边的长，然后求得两边之和，然
后求得两边之积即可求得面积．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，斜边上中线 BD 长为 ，
∴斜边 AC=2BD=7，
∴两直角边的和为：AB+BC=17﹣7=10，
∵AB2+BC2=AC2=49，
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（AB+BC）2=AB2+BC2+2AB•BC=100，
∴2AB•BC=100﹣49=51，
∴△ABC 面积为： AB•BC= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是利用完全平
方公式求得两直角边的乘积的 2 倍的值．
16．一根旗杆在离底部 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高为 12
米 ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是 4.5 米和 6 米．利用勾股定理解题即
可．
【解答】解：如图所示，AC=6 米，BC=4.5 米，由勾股定理得，AB= =7.5（米）．
故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．
故答案是：12 米．
【点评】此题考查利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．平行四边形两邻边的长分别为 16 和 20，两条长边间的距离为 8，则两条短边间的距离为 10 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由于平行四边形的面积=16×两条短边间的距离=20×两条长边间的距离，由此可以求出两
条短边间的距离．
【解答】解：∵平行四边形的面积=两条长边间的距离×20=20×8=160，
而平行四边形的面积=两条短边间的距离×16，
∴160=两条短边间的距离×16，
∴两条短边间的距离=10．
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故填空答案：10．
【点评】解决本题的关键是利用平行四边形的面积的不同表示方法来求解．
18．已知菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，则菱形的周长是 20 cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得
其周长．
【解答】解：因为菱形的一条对角线长为 6cm，面积为 24cm2，可求得另一对角线长 8cm，根据勾股
定理，菱形的边长为 =5cm，则菱形的周长=5×4=20cm．
故答案为 20．
【点评】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
19．如图，四边形 ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠A=90°，计算四边形 ABCD 的面积 36 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出 BD，根据勾股定理的逆定理求出△ABD 是直角三角形，分别求出△ABD
和△BCD 的面积，即可得出答案．
【解答】解：在△ABD 中，
∵∠A=90°，AD=3，AB=4，
∴BD= =5，
S△ABD= AB•AD= ×4×3=6，
在△BCD 中，
∵BC=12，CD=13，BD=5，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△CBD 是直角三角形，
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∴S△CBD= BC•BD= ×12×5=30．
∴四边形 ABCD 的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABD 和△BCD 的
面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
20．在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点，且 PE⊥BD，PF
⊥AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF= ．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先过 A 作 AG⊥BD 于 G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高
，则 PE+PF=AG．利用勾股定理求得 BD 的长，再根据三角形的面积计算公式求得 AG 的长，即为 PE+PF
的长．
【解答】解：如图，过 A 作 AG⊥BD 于 G，
则 S△AOD= ×OD×AG，S△AOP+S△POD= ×AO×PF+ ×DO×PE= ×DO×（PE+PF），
∵S△AOD=S△AOP+S△POD，
∴PE+PF=AG，
∵AD=12，AB=5，
∴BD= =13，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
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【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是明白等
腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．
三.解答题（共 60 分）
21．计算：（1）3 ﹣9 +3
（2）（ + ）（2﹣2 ）﹣（ ﹣ ）2．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式=12 ﹣3 +6
=15 ；
（2）原式=（2+2 ）（2﹣2 ）﹣（3﹣2 +2）
=4﹣12﹣5+2
=﹣13+2 ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除
运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式
的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB=2 ，AC=BC= ，求 AD 的长．
【考点】勾股定理．
【分析】如图，设 AD=x，则在直角△ABD 和直角△ACD 中，利用勾股定理分别求得 BD、CD 的长度，
则易列出关于 x 的方程，通过解方程求得 x 的值即可．
【解答】解：如图，设 AD=x．依题意得
+ =BD+CD=BC．
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即 + = ，
解得 x=
即 AD= ．
【点评】本题考查了勾股定理．此题也可以设 CD=x，然后分别在直角△ABD 和直角△ACD 中，利用 x
来表示 AD 的长度，由此列出 AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，将相关线段的长度代入进行解答即可．
23．已知 a= ，求代数式 ﹣ 的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式化简约分后，通分并利用同分母分式的减法法则计算，将 a 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a= =2﹣ ，即 a+1＞0，
∴原式= ﹣ =a+2﹣ =2﹣2 ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．如图，已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE 分别交 BC，BD
于点 F，G，连接 BE．
（1）求证：△AFB≌△EFG；
（2）判断 CF 与 AD 的关系，并说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形性质推出 AB=CD=CE，AB∥CD，推出∠ABF=FCE，∠BAF=∠FEC，根据
全等三角形的判定证出即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
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【解答】（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，
∵AB=CD，CE=CD，
∴AB=CE，
在△AFB 和△EFC 中
，
∴△AFB≌△EFC．
（2）CF ，
理由如下：∵△AFB≌△EFC，
∴AF=EF，又 EC=CD，
∴CF ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是根据平行线的性质，全等三角形的判定进行推理，
题目比较典型，难度也适中．
25．如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B
落在点 F 处，连接 FC，求证：AE∥CF．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】只要证明 AE⊥BF，CF⊥BF 即可解决问题．
【解答】证明：连接 BF，
∵△AEF 是由△AEB 翻折得到，
∴BF⊥AE，BE=EF，
∵BE=CE，
∴BE=EC=EF，
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∴∠BFC=90°，
∴CF⊥BF，又 AE⊥BF，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的判定等知识，解题的关键是利用垂直于同一直线的两条
直线平行来证明，记住直角三角形的判定方法，属于中考常考题型．
26．如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF 的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）由四边形 ABCD 为正方形，得到 AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由 E、F 分别为 DC、BC
中点，得出 DE=BF，进而证明出两三角形全等；
（2）首先求出 DE 和 CE 的长度，再根据 S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF 得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，DC=CB，
∵E、F 为 DC、BC 中点，
∴DE= DC，BF= BC，
∴DE=BF，
在△ADE 和△ABF 中，
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，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF 均为直角三角形，
且 AB=AD=4，DE=BF= ×4=2，CE=CF= ×4=2，
∴S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF
=4×4﹣ ×4×2﹣ ×4×2﹣ ×2×2
=6．
【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性
质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．
27．如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形
AnBnCnDn．
（1）求证：四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）四边形 A3B3C3D3 是 矩 形；
（3）四边形 A1B1C1D1 的周长为 a+b ；
（4）四边形 AnBnCnDn 的面积为 ．
【考点】中点四边形．
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出 A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，进而得出四边
形 A1B1C1D1 是平行四边形，再利用矩形的判定得出答案；
（2）直接利用矩形的性质以及结合菱形的判定方法得出答案；
（3）利用三角形中位线定理得出四边形 A1B1C1D1 是的周长；
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（4）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，进而得出
答案．
【解答】（1）证明：∵在四边形 ABCD 中，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形；
∵AC 丄 BD，
∴四边形 A1B1C1D1 是矩形；
（2）解：∵四边形 A1B1C1D1 是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形 A2B2C2D2 是菱形；
∴四边形 A3B3C3D3 是矩形，
故答案为：矩；
（3）解：根据三角形中位线定理可得 D1C1=A1B1= AC= a，A1D1=B1C1= BC= b．故四边形 A1B1C1D1
是的周长为 a+b，
故答案为：a+b．
（4）解：∵四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC 丄 BD，
∴S 四边形 ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形 AnBnCnDn 的面积是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了中点四边形以及三角形中位线定理，正确掌握矩形以及菱形的判定方法是
解题关键．
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