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2015-2016 学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学试卷
一、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=5cm，则∠A= ．
2．如图，在▱ABCD 中，AD=8，点 E、F 分别是 BD、CD 的中点，则 EF= ．
3．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 边形．
4．如图，BE，CD 是△ABC 的高，且 BD=EC，判定△BCD≌△CBE 的依据是“ ”．
5．点（﹣2，﹣1）在平面坐标系中所在的象限是 ．
6．若 Rt△ABC 的两边长分别为 3cm，4cm，则第三边长为 ．
7．如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，若 AC=6，BD=4，则菱形 ABCD 的周长
是 ．
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），
（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 ．
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二、选择题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
10．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
11．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
12．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
13．将一张长方形纸片 ABCD 按如图所示折叠，使顶点 C 落在点 F 处，已知 AB=2，∠
DEF=30°，则折痕 DE 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在四边形 ABCD 中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形 ABCD 是矩形．添
加的条件不能是（ ）
A．AB∥DC B．∠A=90° C．∠B=90° D．AC=BD
15．下列属于正多边形的特征的有（ ）
①各边相等；
②各个内角相等；
③各个外角相等；
④各条对角线相等；
⑤从一个顶点引出的对角线将 n 边形分成面积相等的（n﹣2）个三角形．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
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16．如图，将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，点 A1、A2、…、An 分别是正方
形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．（ ）ncm2
三、解答题（本题共 7 个小题，共 52 分）
17．如图，已知∠AOB=30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP∥OB，交 OA 于点 C，PD⊥OB，
垂足为点 D，且 PD=2，求 PC 的长．
18．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M，N 在对角线 AC
上，且 AM=CN，求证：BM∥DN．
19．如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边△ADE，AC、BE 相交于点 F，求∠BFC．
20．如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 10 米，为了使电线 CDE 不影响汽车的正常行驶，
电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起电线．已知两杆之间的距离是 8
米，电线 DE 的长度为 10 米，求水泥撑杆 BD 的高度（电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）．
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21．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点．求证：四
边形 AEDF 是菱形．
22．如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线且相交于点 O，BC=8，BC 边上的高为 4，
求阴影部分的面积．
23．如图所示，在 Rt△ABC 中，AB=CB，ED⊥CB，垂足为 D 点，且∠CED=60°，∠EAB=30°，
AE=2，求 CB 的长．
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2015-2016 学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=5cm，则∠A= 30° ．
【考点】含 30 度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB=10cm，BC=5cm，
∴AB=2BC，
又∵∠C=90°，
∴∠A=30°．
故答案为：30°．
2．如图，在▱ABCD 中，AD=8，点 E、F 分别是 BD、CD 的中点，则 EF= 4 ．
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得 BC=AD=8，又由
点 E、F 分别是 BD、CD 的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点 E、F 分别是 BD、CD 的中点，
∴EF= BC= ×8=4．
故答案为：4．
3．如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 三 边形．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】利用多边形外角和定理得出其内角和，进而求出即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和是其外角和的一半，由任意多边形外角和为 360°，
∴此多边形内角和为 180°，故这个多边形为三角形，
故答案为：三．
4．如图，BE，CD 是△ABC 的高，且 BD=EC，判定△BCD≌△CBE 的依据是“ HL ”．
【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】需证△BCD 和△CBE 是直角三角形，可证△BCD≌△CBE 的依据是 HL．
【解答】解：∵BE、CD 是△ABC 的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在 Rt△BCD 和 Rt△CBE 中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
5．点（﹣2，﹣1）在平面坐标系中所在的象限是 第三象限 ．
【考点】点的坐标．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（﹣2，﹣1）在第三象限．
故答案为：第三象限．
6．若 Rt△ABC 的两边长分别为 3cm，4cm，则第三边长为 5cm 或 cm ．
【考点】勾股定理．
【分析】分两种情况考虑：若4 为直角边，可得出 3 也为直角边，第三边为斜边，利用勾股
定理求出斜边，即为第三边；若 4 为斜边，可得 3 和第三边都为直角边，利用勾股定理即可
求出第三边．
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【解答】解：①若 4 为直角边，可得 3 为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为 =5（cm）；
②若 4 为斜边，3 和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为 = （cm），
则第三边长为 5cm 或 cm；
故答案为：5cm 或 cm．
7．如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，若 AC=6，BD=4，则菱形 ABCD 的周长是 4 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】在 Rt△AOD 中求出 AD 的长，再由菱形的四边形等，可得菱形 ABCD 的周长．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO= AC=3，DO= BD=2，AC⊥BD，
在 Rt△AOD 中，AD= = ，
∴菱形 ABCD 的周长为 4 ．
故答案为：4 ．
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），
（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 （5，4） ．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标．
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【解答】解：∵菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点 C 的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
二、选择题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个
是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故
正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选 A．
10．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形．
故选：C．
11．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
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A．30° B．40° C．45° D．60°
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据三角形的外角
性质求出求出即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠A=∠DCA=20°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．
故选 B．
12．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质
就是四个图形都具有的性质．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一
定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选 A．
13．将一张长方形纸片 ABCD 按如图所示折叠，使顶点 C 落在点 F 处，已知 AB=2，∠
DEF=30°，则折痕 DE 的长度为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由长方形的性质和翻折的性质可得到DF=2，然后依据含 30°直角三角形的性质求解
即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB=CD=2．
由翻折的性质可知：DF=DC=2，∠F=∠C=90°．
∵在 Rt△EFD 中，∠F=90°，∠DEF=30°，DF=2，
∴DE=2DF=2×2=4．
故选：D．
14．在四边形 ABCD 中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形 ABCD 是矩形．添
加的条件不能是（ ）
A．AB∥DC B．∠A=90° C．∠B=90° D．AC=BD
【考点】矩形的判定．
【分析】首先判断四边形 ABCD 是平行四边形，再根据矩形的判定方法即可判断．
【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴只要有一个角是 90°就是矩形，或者对角线相等就是矩形，
故 B、C、D 正确，A 错误．
故选 A．
15．下列属于正多边形的特征的有（ ）
①各边相等；
②各个内角相等；
③各个外角相等；
④各条对角线相等；
⑤从一个顶点引出的对角线将 n 边形分成面积相等的（n﹣2）个三角形．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】根据正多边形的定义，可得答案．
【解答】解：①各边相等是正确的；
②各个内角相等是正确的；
③各个外角相等是正确的；
④各条对角线不一定相等，原来的说法是错误的；
⑤从一个顶点引出的对角线将 n 边形分成面积不一定相等的（n﹣2）个三角形，原来的说
法是错误的．
故选：B．
16．如图，将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，点 A1、A2、…、An 分别是正方
形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．（ ）ncm2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个
阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部分即为 n﹣1 阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n﹣1）= cm2．
故选 C．
三、解答题（本题共 7 个小题，共 52 分）
17．如图，已知∠AOB=30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP∥OB，交 OA 于点 C，PD⊥OB，
垂足为点 D，且 PD=2，求 PC 的长．
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【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【分析】过点 P 作 PE⊥AO 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PE=PD，再
根据两直线平行，同位角相等求出∠ECP=∠AOB=30°，然后根据直角三角形 30°角所对的直
角边等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：如图，过点 P 作 PE⊥AO 于 E，
∵OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD=2，
∵CP∥OB，∠AOB=30°，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在 Rt△ECP 中，PC=2PE=2×2=4．
18．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，M，N 在对角线 AC
上，且 AM=CN，求证：BM∥DN．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出 OM=ON，由 SAS 证明△BOM≌△
DON，得出对应角相等∠OBM=∠ODN，再由内错角相等，两直线平行，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
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∵AM=CN，∴OM=ON，
在△BOM 和△DON 中， ，
∴△BOM≌△DON（SAS），
∴∠OBM=∠ODN，
∴BM∥DN．
19．如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边△ADE，AC、BE 相交于点 F，求∠BFC．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，AB=AE，由等腰三角形的性
质和内角和得出∠ABE=∠AEB=15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE 是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB= =15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°．
20．如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 10 米，为了使电线 CDE 不影响汽车的正常行驶，
电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起电线．已知两杆之间的距离是 8
米，电线 DE 的长度为 10 米，求水泥撑杆 BD 的高度（电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）．
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】作DF⊥AE 于 F，在 Rt△EFD 中，DF=AB=8，DE=10，由勾股定理求出 EF，即可得出
结果．
【解答】解：作 DF⊥AE 于 F，如图所示：
则在 Rt△EFD 中，DF=AB=8，DE=10，
∴EF= = =6，
∴BD=AF=AE﹣EF=10﹣6=4（米）；
答：水泥撑杆 BD 的高度为 4 米．
21．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点．求证：四
边形 AEDF 是菱形．
【考点】菱形的判定；三角形中位线定理．
【分析】首先判定四边形 AEDF 是平行四边形，然后证得 AE=AF，利用邻边相等的平行四边
形是菱形判定菱形即可．
【解答】证明：∵点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
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∴四边形 AEDF 是平行四边形，
又∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形 AEDF 是菱形．
22．如图，平行四边形 ABCD 中，AC、BD 为对角线且相交于点 O，BC=8，BC 边上的高为 4，
求阴影部分的面积．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行
四边形的面积得出答案即可．
【解答】解：由平行四边形的性质可知，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD 面积的一半，
即 ×8×4=16，
因此，阴影部分的面积为：16．
23．如图所示，在 Rt△ABC 中，AB=CB，ED⊥CB，垂足为 D 点，且∠CED=60°，∠EAB=30°，
AE=2，求 CB 的长．
【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出 DC 的长，进而得出 BC 的长．
【解答】解：过 E 点作 EF⊥AB，垂足为 F，
∵∠EAB=30°，AE=2，
第 16 页（共 17 页）
∴EF=BD=1，
又∵∠CED=60°，
∴∠ECD=30°，
而 AB=CB，
∴∠EAC=∠ECA=15°，
∴AE=CE=2，
在 Rt△CDE 中，∠ECD=30°，
∴ED=1，CD= = ，
∴CB=CD+BD=1+ ．
第 17 页（共 17 页）
2017 年 3 月 4 日
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