2020 年高考（文科）数学（3 月份）模拟试卷
一、选择题
1．已知集合 A＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则 A∩B＝（ ）
A．∅ B．{﹣1，2} C．{﹣1} D．{2}
2．设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．命题
B．命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac”的逆命题为真命题
C．命题“若（x﹣1）ex+1＝0，则 x＝0”的逆否命题为：“若 x≠0，则（x﹣1）ex+1≠
0”
D．“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件
4．若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1 的一个焦点，则 p＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
5．已知曲线 y＝ax﹣1+1（a＞0 且 a≠1）过定点（k，b），若 m+n＝b 且 m＞0，n＞0，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C．5 D．
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九
韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多
项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（ ）A．16 B．18 C．48 D．143
7．函数 图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A． B． C． D．2
9．已知函数 f（x）＝log2（x+2），若在[﹣2，5]上随机取一个实数 x0，则 f（x0）≥1 的概
率为（ ）
A． B． C． D．
10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的
范围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
11．设椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交
于 A，B 两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．12．已知函数 ，函数 g（x）＝x2，若函数 y＝f（x）﹣g（x）
有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（5，+∞） B． C． D．
二、填空题
13．曲线 y＝x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 ．
14．已知抛物线 y＝2px2（p＞0）的准线与圆 x2+y2﹣6x﹣7＝0 相切，则 p 的值为 ．
15．已知三棱锥 P﹣ABC 满足平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AB＝1， ，则
该三棱锥的外接球的体积为 ．
16．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：
lnt，且 ，有下列结论：
①2＜t＜8；
② ；
③当 时，△ABC 为钝角三角形；
④当 t＝4，a＝ln2 时，△ABC 的面积为 ．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题
17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝2，b3＝4，a1＝b1，a6＝b5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 cn＝an+bn，求数列{cn}}的前 n 项和 Sn．
18．在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△PAD 为
正三角形，O 为 AD 中点，且 AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：
（Ⅰ）平面 POB⊥平面 PAC；
（Ⅱ）求多面体 ABCDPQ 的体积．19．“微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内
有 600 位好友参与了“微信运动”．他随机选取了 40 位微信好友（女 20 人，男 20 人）
，统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0﹣2000 步）（说明：“0﹣2000”表示
大于等于 0，小于等于 2000．下同），B（2000﹣5000 步），C（5001﹣000 步），D（8001
﹣10000 步），E（10001 步及以 E），且 B，D，E 三种类别人数比例为 1：3：4，将统
计结果绘制如图所示的柱形图．
若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步
型”．
（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步
数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 600 名好友中，每天
走路步数在 5001﹣10000 步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的 2×2 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把
握认定“认定类型”与“性别”有关？
卫健型 进步型 总计
男 20
女 20
总计 40
（3）若从杨老师当天选取的步数大于 10000 的好友中按男女比例分层选取 5 人进行身
体状况调查，然后再从这 5 位好友中选取 2 人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率
附：K2＝ ，P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
20．在平面直角坐标系中，点 F1、F2 分别为双曲线 的左、
右焦点，双曲线 C 的离心率为 2，点 在双曲线 C 上，不在 x 轴上的动点 P 与动
点 Q 关于原点 O 对称，且四边形 PF1QF2 的周长为 ．
（1）求动点 P 的轨迹 W 的方程；
（2）过点 M（2，0）的直线交 P 的轨迹 W 于 A，B 两点，N 为 W 上一点，且满足
，其中 ，求|AB|的取值范围．
21．已知函数 ，
（1）讨论 f（x）在 上的单调性．
（2）当 a＞0 时，若 f（x）在 上的最大值为 π﹣1，讨论：函数 f（x）在（
0，π）内的零点个数．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 （其中 t 为参数）．以坐标原
点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＝3sinθ
．
（1）求 C1 和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P（0，2），直线 C1 交曲线 C2 于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2 的值．[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝﹣x2+ax+8，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当 a＝0 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求实数 a 的取值范围．参考答案
一、选择题
1．已知集合 A＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则 A∩B＝（ ）
A．∅ B．{﹣1，2} C．{﹣1} D．{2}
【分析】进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，
∴A∩B＝{﹣1，2}．
故选：B．
2．设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
解： ＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．命题
B．命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac”的逆命题为真命题
C．命题“若（x﹣1）ex+1＝0，则 x＝0”的逆否命题为：“若 x≠0，则（x﹣1）ex+1≠
0”
D．“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件
【分析】利用命题的否定判断 A，写出逆命题判断真假判断 B；逆否命题判断 C；充要
条件判断 D．
解：命题 ，不满足命题的否
定形式，A 不正确；
命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac”的逆命题为若 b2＝ac，则 a，b，c 成等比数
列，显然不正确；
命题“若（x﹣1）ex+1＝0，则 x＝0”的逆否命题为：“若 x≠0，则（x﹣1）ex+1≠0”，满足逆否命题的形式，正确；
“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件，所以 D 不正确；
故选：C．
4．若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1 的一个焦点，则 p＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】求出抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，椭圆的焦点，利用相等求出 p．
解：抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是（ ，0）， + ＝1 的一个焦点是（ ，0）
，
由 ，得 p＝12．
故选：D．
5．已知曲线 y＝ax﹣1+1（a＞0 且 a≠1）过定点（k，b），若 m+n＝b 且 m＞0，n＞0，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C．5 D．
【分析】令 x﹣1＝0，求出曲线 y＝ax﹣1+1（a＞0 且 a≠1）过定点为（1，2），所以 m+n
＝2，再利用乘 1 法即可得到 的最小值．
【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2
∴ ＝
当且仅当 ，即 m＝ ，n＝ 时取得最小值 ，
故选：A．
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九
韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多
项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（ ）A．16 B．18 C．48 D．143
【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i＝﹣1 时，
不满足条件 i≥0，跳出循环，输出 v 的值为 48．
解：初始值 n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：
v＝1
i＝2，v＝1×3+2＝5
i＝1，v＝5×3+1＝16
i＝0，v＝16×3+0＝48
i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出 v 的值为 48．
故选：C．
7．函数 图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用 f（1）的值的符号是否对应进行排除即可．
解： ＝ •sinx，
则 f（﹣x）＝ •sin（﹣x）＝ •（﹣sinx）＝ •sinx＝f（x），
则 f（x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B，D，
由 f（x）＝0，得 1﹣ex＝0 或 sinx＝0，
得 x＝kπ，k∈Z，即当 x＞0 时，第一个零点为 π，
当 x＝1 时，f（1）＝ •sin1＜0，排除 A，
故选：C．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为直角梯形，AD
⊥CD，PA⊥底面 ABCD，PA＝AD＝AB＝1，CD＝2．求解三角形分别求出未知边长得
答案．
解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为直角梯形，AD⊥CD，PA⊥底面 ABCD，
PA＝AD＝AB＝1，CD＝2．
由图求得 PD＝ ，BC＝ ，PB＝ ，PC＝ ．
∴则该几何体的最大边长为 ．
故选：B．9．已知函数 f（x）＝log2（x+2），若在[﹣2，5]上随机取一个实数 x0，则 f（x0）≥1 的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求解对数不等式得到满足 f（x0）≥1 的 x0 的范围，再由测度比是长度比得答
案．
解：由 f（x）＝log2（x+2）≥1，得 x+2≥2，即 x≥0．
∴在[﹣2，5]上随机取一个实数 x0，则 f（x0）≥1 的概率为 ＝ ．
故选：C．
10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的
范围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
【 分 析 】 设 三 个 角 分 别 为 ﹣ A ， ， +A ， 由 正 弦 定 理 可 得 m ＝ ＝
，利用两角和差的正弦公式化为
，利用单调性求出它的值域．
解：钝角三角形三内角 A、B、C 的度数成等差数列，则 B＝ ，A+C＝ ，
可设三个角分别为 ﹣A， ， +A．
故 m＝ ＝ ＝ ＝ ．又 ＜A＜ ，∴ ＜tanA＜ ．令 t＝tanA，且 ＜t＜ ，
则 m＝ 在[ ， ]上是增函数，∴m＞ ＝2，即 m＞2，
故选：B．
11．设椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交
于 A，B 两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得 A，B 的坐标，且知点 D 为 F1A 的中点，再由 BD⊥F1A，利用斜率
之积等于﹣1 列式求解．
解：由题意可得，A（c， ），B（c，﹣ ），
则点 D 为 F1A 的中点，∴D（0， ），
由 BD⊥F1A，得 ，
即 ，整理得 ，
∴ ，解得 e＝ ．
故选：B．
12．已知函数 ，函数 g（x）＝x2，若函数 y＝f（x）﹣g（x）
有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（5，+∞） B． C． D．
【分析】当 x＞0 时，y＝2x 与 g（x）＝x2 有两个交点（2，4），（4，16）．要使函数 y
＝f（x）﹣g（x）有 4 个零点，只需：x≤0 时，y＝a|x+ |﹣ 与 g（x）＝x2 有两个交
点即可，结合图象即可求解．
解：当 x＞0 时，y＝2x 与 g（x）＝x2 有两个交点（2，4），（4，16）．
要使函数 y＝f（x）﹣g（x）有 4 个零点，只需：x≤0 时，y＝a|x+ |﹣ 与 g（x）＝x2 有两个交点即可（如图）．
过点（﹣ ，﹣ ）作 g（x）＝x2（x＜0）的切线，设切点为（m，m2）
切线方程为 y﹣m2＝2m（x﹣m），把点（﹣ ，﹣ ）代入上式得 m＝﹣ ，
∴切线斜率为 2m＝﹣5．
a•（0+ ）﹣ ＜0，解得 a＜ ，
∴实数 a 的取值范围为（5， ）．
故选：B．
二、填空题
13．曲线 y＝x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 3x﹣y﹣2＝0 ．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方
程．
解：y＝x2+lnx 的导数为 y′＝2x+ ，
则在点（1，1）处的切线斜率为 k＝3，
即有在点（1，1）处的切线方程为 y﹣1＝3（x﹣1），
即为 3x﹣y﹣2＝0．
故答案为：3x﹣y﹣2＝0．
14．已知抛物线 y＝2px2（p＞0）的准线与圆 x2+y2﹣6x﹣7＝0 相切，则 p 的值为 ．
【分析】将圆化成标准方程，得到圆心为 C（3，0），半径 r＝4．再将抛物线化成标准
方程，得到抛物线的准线为 y＝﹣ ，根据准线与圆相切建立关于 p 的等式，解之即可
得到 p 的值．解：圆 x2+y2﹣6x﹣7＝0 化成标准方程，得（x﹣3）2+y2＝16，
∴圆心为 C（3，0），半径 r＝4，
又∵抛物线 y＝2px2（p＞0）化成标准方程得 x2＝ y，
∴抛物线的准线为 y＝﹣ ，
∵抛物线的准线与圆相切，
∴准线到圆心 C 的距离等于半径，得|﹣ |＝4，解之得 p＝ （舍负）．
故答案为： ．
15．已知三棱锥 P﹣ABC 满足平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AB＝1， ，则
该三棱锥的外接球的体积为 π． ．
【分析】由题意知底面三角形的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点，过底面外接圆的圆心
做垂直于底面的垂线，即球心在面 PAB 内，既是三角形 PAB 的外接圆的圆心，在三角
形 PAB 中，由正弦定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
解：因为 AC⊥BC，所以△ABC 的外心为斜边 AB 的中点，
又因为平面 PAB⊥平面 ABC，所以三棱锥 P﹣ABC 的外接球球心在平面 PAB 上，
即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理 ＝2R，
解得 R＝ ，
所以外接球的表面积为 π．
故答案为： π．
16．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：
lnt，且 ，有下列结论：
①2＜t＜8；
② ；
③当 时，△ABC 为钝角三角形；
④当 t＝4，a＝ln2 时，△ABC 的面积为 ．其中正确的是 ①②③ ．（填写所有正确结论的编号）
【分析】根据题意，由正弦定理和余弦定理依次分析 4 个结论是否正确，综合即可得答
案．
解：根据题意，依次分析 4 个结论：
对于①，根据题意，若 sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则 a：b：c＝ln2：ln4：lnt，
故可设 a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
则有 b﹣a＜c＜b+a，则 kln2＜c＜3kln2，变形可得 2＜t＜8，①正确；
对于②， ＝abcosC＝ab• ＝ ＝ ＝mc2，
∴m＝ ＝ ＝ ．
∵kln2＜c＜3kln2，
∴ ＜ ＜ ，即 ＜ ＜ ，
变形可得： ＜m＜2；②正确；
对于③，当 2 ＜t＜8 时，此时 a：b：c＝ln2：ln4：lnt，则有 a2+b2﹣c2＜0，故△ABC
为钝角三角形；③正确；
对于④，当 t＝4，a＝ln2 时，则 b＝ln4，c＝lnt＝ln4，则有 b＝c＝2a，此时△ABC 的
面积为 ，④不正确；
综合可得：四个结论中，①②③正确；
故答案为：①②③．
三、解答题
17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝2，b3＝4，a1＝b1，a6＝b5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 cn＝an+bn，求数列{cn}}的前 n 项和 Sn．
【分析】（Ⅰ）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式
可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；
（Ⅱ）直接利用数列的分组求和求解．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为 q，则 q＝ ，
∴b1＝1，则 ．
∴a1＝b1＝1，a6＝b5＝16，
∴等差数列公差 d＝ ．
∴an＝3n﹣2；
（Ⅱ）∵cn＝an+bn＝3n﹣2+2n﹣1，
∴
＝ ．
18．在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△PAD 为
正三角形，O 为 AD 中点，且 AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：
（Ⅰ）平面 POB⊥平面 PAC；
（Ⅱ）求多面体 ABCDPQ 的体积．
【分析】（Ⅰ）推导出 Rt△ADC≌Rt△BAO，∠DAC＝∠ABO．AC⊥BO．PO⊥AD．
从而 PO⊥平面 ABCD．进而 AC⊥PO．由此能证明 AC⊥平面 POB．从而平面 POB⊥平
面 PAC．
（Ⅱ）取 AB 中点为 E，连接 CE，QE．推导出 AB⊥平面 PAD．多面体 ABCDPQ 的体
积： ．
解：（Ⅰ）证明：在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，
AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△PAD 为正三角形，
O 为 AD 中点，且 AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1，
∴由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．
∴∠DAC+∠AOB＝∠ABO+∠AOB＝90°，∴AC⊥BO．∵PA＝PD，且 O 为 AD 中点，∴PO⊥AD．
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面 ABCD．
又∵AC⊂平面 ABCD，∴AC⊥PO．
又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面 POB．
∵AC⊂平面 PAC，∴平面 POB⊥平面 PAC．
解：（Ⅱ）取 AB 中点为 E，连接 CE，QE．
由（Ⅰ）可知，PO⊥平面 ABCD．又∵AB⊂平面 ABCD，∴PO⊥AB．
又∵AB⊥CD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面 PAD．
∴多面体 ABCDPQ 的体积：
＝ ．
19．“微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内
有 600 位好友参与了“微信运动”．他随机选取了 40 位微信好友（女 20 人，男 20 人）
，统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0﹣2000 步）（说明：“0﹣2000”表示
大于等于 0，小于等于 2000．下同），B（2000﹣5000 步），C（5001﹣000 步），D（8001
﹣10000 步），E（10001 步及以 E），且 B，D，E 三种类别人数比例为 1：3：4，将统
计结果绘制如图所示的柱形图．
若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步
型”．
（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步
数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 600 名好友中，每天走路步数在 5001﹣10000 步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的 2×2 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把
握认定“认定类型”与“性别”有关？
卫健型 进步型 总计
男 20
女 20
总计 40
（3）若从杨老师当天选取的步数大于 10000 的好友中按男女比例分层选取 5 人进行身
体状况调查，然后再从这 5 位好友中选取 2 人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率
附：K2＝ ，
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
【分析】（1）由条形统计图，以及对应的比例，得到男性各个类别的人数，从而得到频
率，再得到频率．
（2）根据题目所给的数据填写 2×2 列联表即可；计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表
格，得出统计结论．
（3）先列出所有选取基本事件，再从中选取符合要求的基本事件，得到概率．
解：（1）在样本数据中，男性朋友 B 类别设为 x 人，
则由题意可知 1+x+3+3x+4x＝20，
可知 x＝2，故 B 类别有 2 人，类 D 别有 6 人，
E 类别有 8 人，走路步数在 5000～10000 步的包括 C、D 两类别共计 9 人；女性朋友走路步数在 5000～10000 步共有 16 人．
用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则： ＝375 人．
（2）根据题意在抽取的 40 个样本数据的 2×2 列联表：
卫健型 进步型 总计
男 14 6 20
女 8 12 20
总计 22 18 40
得：K2＝ ＝ ＜3.841，
故没有 95%以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关
（3）在步数大于 10000 的好友中分层选取 5 位好友，
男性有： ＝4 人，记为 A、B、C、D，女性 1 人记为 e；
从这 5 中选取 2 人，基本事件是 AB，AC，AD，Ae、BC、BD、Be、CD、Ce、De 共 10
种，
这 2 人中至少有一位女性好友的事件是 Ae，Be、Ce，De 共 4 种，
故所求概 P＝ ＝ ．
20．在平面直角坐标系中，点 F1、F2 分别为双曲线 的左、
右焦点，双曲线 C 的离心率为 2，点 在双曲线 C 上，不在 x 轴上的动点 P 与动
点 Q 关于原点 O 对称，且四边形 PF1QF2 的周长为 ．
（1）求动点 P 的轨迹 W 的方程；
（2）过点 M（2，0）的直线交 P 的轨迹 W 于 A，B 两点，N 为 W 上一点，且满足
，其中 ，求|AB|的取值范围．
【分析】（1）根据双曲线的定义与性质求得 a、c 值，再由题意判断动点 P 的轨迹为椭
圆，
求出椭圆的标准方程即可；
（2）由题意设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的二次方程，
利用判别式和根与系数的关系，表示出向量和弦长|AB|，从而求出|AB|的取值范围．解：（1）设点 F1，F2 分别为（﹣c，0），（c，0）（c＞0），
由已知 ，所以 c＝2a，c2＝4a2，
所以 b2＝c2﹣a2＝3a2；
又因为点 在双曲线 C 上，所以 ，
则 ，
即 ，解得 ， ，所以 c＝1；
连接 PQ，因为 OF1＝OF2，OP＝OQ，
所以四边形 PF1QF2 为平行四边形，
又因为四边形 PF1QF2 的周长为 ，
所以 ，
所以动点 P 的轨迹是以点 F1、F2 分别为左、右焦点，长轴长为 的椭圆（除去左右
顶点），
所以动点 P 的轨迹方程为： ；
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为 y＝k（x﹣2）且 k≠0；
由 ，消去 y 得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，
∴△＝8（1﹣2k2）＞0，解得 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），
则 ，
由 ，得 ，
代入椭圆方程得 ，由 ，解得 ，
∴ ；
令 ，则 ，
∴ ，
即|AB|的取值范围是（0， ）．
21．已知函数 ，
（1）讨论 f（x）在 上的单调性．
（2）当 a＞0 时，若 f（x）在 上的最大值为 π﹣1，讨论：函数 f（x）在（
0，π）内的零点个数．
【分析】（1）对 a 分大于零和小于零两种情况讨论，利用导数即可求出函数 f（x）在
上的单调性；
（2）由（1）知 a＞0 时 f（x）的最大值为 ，从而求出 a＝2，又因为
f（x）在 上单调递增，且 f（0）＝﹣1＜0， ，所以 f（x）
在 内有且仅有 1 个零点．再讨论当 x 时，函数 f（x）存在一个
极值点 x0，利用导数得到 f（x）在 上无零点，f（x）在（x0，π）内有且
仅有 1 个零点，所以函数 f（x）在（0，π）内有 2 个零点．
解：（1）f'（x）＝a（sinx+xcosx），
当 a＜0， 时，sinx＞0，cosx＞0，
∴f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当 时，sinx＞0，cosx＞0，
∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上得：当 a＜0，f（x）在 单调递减；a＞0 时，f（x）在 单调递增
；（2）由（1）知 a＞0 时 f（x）的最大值为
由 得 a＝2，
∴f（x）＝2xsinx﹣1，又∵f（x）在 上单调递增；
且 f（0）＝﹣1＜0， ，
∴f（x）在 内有且仅有 1 个零点．
当 时，
令 g（x）＝f'（x）＝2（sinx+xcosx），g'（x）＝2（2cosx﹣xsinx）＜0，∴g（x）在
内单调递减，
且 ，g（π）＝﹣2π＜0，∴存在 ，使得 g（x0）＝0，
∴①当 时，f'（x）＞0，f（x）在 单调递增，
∴ 时， ，
∴f（x）在 上无零点，
②当 x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（x0，π）内单调递减，
又∵f（x0）＞0，f（π）＝﹣1＜0，
∴f（x）在（x0，π）内有且仅有 1 个零点，
综上所求：函数 f（x）在（0，π）内有 2 个零点．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 （其中 t 为参数）．以坐标原
点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＝3sinθ
．
（1）求 C1 和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P（0，2），直线 C1 交曲线 C2 于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2 的值．
【分析】（1）直接把直线 C1 的参数方程中的参数消去，可得 C1 的普通方程；把 ρcos2θ
＝3sinθ 两边同时乘以 ρ，代入 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线 C2 的直角坐标方程；（2）将直线 C1 的参数方程 代入 x2＝3y，化为关于 t 的一元二次方程，利用
根与系数的关系结合参数 t 的几何意义求解|PM|2+|PN|2 的值．
解：（1）直线 C1 的参数方程为 （其中 t 为参数），
消去 t 可得 ．
由 ρcos2θ＝3sinθ，得 ρ2cos2θ＝3ρsinθ，
代入 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＝3y；
（2）将直线 C1 的参数方程 代入 x2＝3y，得 ，
设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，
则 ，t1t2＝﹣18，
∴ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝﹣x2+ax+8，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当 a＝0 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）将 g（x）写为分段函数的形式，然后根据 a＝0 时，f（x）≥g（x）可得
或 或 ，解不等式组可得解集；
（2）由不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，可得﹣x2+ax+8≥2 在[﹣1，1]上恒
成立，然后求出 a 的范围即可．
解：（1）g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝ ，当 a＝0 时，f（x）＝﹣x2+8．
∵f（x）≥g（x），∴ 或 或 ，∴1＜x≤2 或﹣1≤x≤1 或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤2，
∴不等式的解集为[﹣2，2]；
（2）由（1）知，当﹣1≤x≤1 时，g（x）＝2．
∵不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，
∴﹣x2+ax+8≥2 在[﹣1，1]上恒成立，即 x2﹣ax﹣6≤0 在[﹣1，1]上恒成立，
∴ ，∴﹣5≤a≤5，
∴a 的取值范围为[﹣5，5]．
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