安徽省2020年4月安徽省“江南十校高三高考”综合素质检测 文科数学 含解析

2020 年安徽省“江南十校”综合素质检测 文科数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|x + 3 > 1} ，B={x|2x - 1 < 1} ，则 A ∩ B= A.( -∞， - 1) B.(2， + ∞) C.( - 1，2) D.( - 2，1) 2.已知复数 x=i(2 + i + i2)(i 为虚数单位)，则 z = A. - 1 - I B.1 + I C.1 - I D. - 1 + i 3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120°，并在扇形弧上正面等距安装 7 个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形 的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为 A.58 厘米 B.63 厘米 C.69 厘米 D.76 厘米 4 函数 f(x)= x cos x 2x + 2-x在[ -2π，2π]上的图象大致为 5.在 2020 年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质 检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为1， 2，3，…，500，从中用系统抽样(等距抽样)的方法抽取 20 袋进行检测，如果编号为 69 的 食品被抽到，则下列 4 个编号的食品中被抽到的是 A.9 号 B.159 号 C.354 号 D.469 号 6.已知 cosπ 5=a， 则 sin3π 5 = A.a 1 - a2 B. - a 1 - a2 C.2a 1 - a2 D. - 2a 1 - a2 7.已知 a = log3 2，b=ln 3， c = 2-0.99， 则 a，b，c 的大小关系为 A.b > c > a B.a > b > c C.c > a > b D.c > b > a 8.执行下面的程序框图，则输出 S 的值为A. ― 1 12 B. 23 60 C. 11 20 D. 43 60 9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两 个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题。它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的， 我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。若将 6 拆 成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为 A. 1 5 B. 1 3 C. 3 5 D. 2 3 10.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若 a cos B+ b cos A = 2c cos C， c = 7， a + b = 5，则△ABC 的面积为 A. 3 2 B. 3 3 2 C.3 3 D.4 3 11.已知椭圆 C：x2 a2 + y2 b2=1(a > b > 0)的焦距为 2c，F 为右焦点，直线 x = 4c 3 与椭圆 C 相交于 Ａ，B 两点， △ABF 是等腰直角三角形。点 P 的坐标为(0，b 2) ，若记椭圆 C 上任一点 Q 到 点 P 的距离的最大值为 d，则 d c 的值为 A. 3 B. 2 C. 10 2 D.3 2 12.已知 f(x) =1 - 2cos2(ωx + π 3) (ω > 0) 。给出下列判断 ①若 f(x1) = 1，f(x2) = - 1，且|x1 - x2 |min = π，则 ω = 2； ②存在 ω ∈ (0，2)，使得 f(x)的图象右移 π 6 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称； ③若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则 ω 的取值范围为[41 24，47 24)； ④若 f(x)在{ - π 6，π 4}上单调递增，则 ω 的取值范围为(0，2 3]。 其中，判断正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已 知 函 数 f(x) = ln x + x2 ， 则 曲 线 y = f(x) 在 点 (1 ， f(1) ) 处 的 切 线 方 程 为 。 14.已知双曲线 C：x2 ― y2 b2=1(b > 0)的离心率为 2，则双曲线 C 的右顶点到双曲线的渐近线的 距离为 。 15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1) 和点 B( - 3，4) ，若点 C 在∠AOB 的平分线上， 且|OC| = 3 10，则向量 OC 的坐标为 。 16.已知在三棱锥 A-BCD 中， A，B，C，D 四点均在以 O 为球心的球面上，若 AB=AC=AD= 2 5，CD=2 3，∠CBD=60°，则球 O 的表面积为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an} 是递增的等比数列，Sn是其前 n 项和，a2=9，S3=39。 (1)求数列 {an} 的通项公式； (2)记bn= 2n ― 1 an ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn。 18.(本小题满分 12 分) 移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终 端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及。某 机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了 100 名市民，得到如下表格： (1)画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄； (2)完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用移动支付与年龄 有关系? 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，CD=2AB=4，AD= 2，△PAB 为等腰直角三角形，PA=PB，平面 PAB ⊥ 底面 ABCD，E 为 PD 的中 点。 (1) 求证：AE//平面 PBC； (2) 求三棱锥 P-EBC 的体积。 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) =x2 - (2 + a) x + a ln x(a ∈ R) 。 (1)当 a > 0 时，讨论 f(x)的单调区间；(2) 若对 x ∈ (0， + ∞) ，f(x) ≥ (a + 1) ln x - 2x 成立，求实数 a 的取值范围。 21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C：y2=2px(p > 0)，若圆 M：(x- 1)2+y2=3 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且|AB| =2 2。 (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 P(1，1)的直线 l1 与抛物线 C 相切，斜率为 ― 1 2 的直线 l2 与抛物线 C 相交于 D，E 两 点，直线 l1，l2 交于点 Q，求证：|PQ|2=|DQ||EQ|。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为{x = 1 ― m， y = k(m - 1) (m 为参数)，直线 l2 的参数方程 为{ x = n， y = 2 + n k (n 为参数)。若直线 l1，l2 的交点为 P，当 k 变化时，点 P 的轨迹是曲线 C。 (1)求曲线 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线 l3 的 极坐标方程为 θ = α(p ≥ 0) ，tan α = 4 3(0 < α < π 2) ，点 Q 为射线 l3 与曲线 C 的交点，求点 Q 的极径。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x)=|x - 1| + |x + 2|。 (1)求不等式 f(x) < x + 3 的解集； (2)若不等式 m - x2 - 2x ≤ f(x)在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围。