河南省郑州市2020年4月高三第二次质量预测文科数学试题word 带答案及评分参考

高三文科数学试题卷 第 1 页 （ 共 8 页 ） 2020 年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2, 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如， 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设函数 y= 的定义域为 A, 函数 y= ln( 3- x ) 的定义域为 队 则 A ∩B= A. (- ∞ , 3) B.(一8, -3) C. {3} D. [ - 3, 3) 2. 已知复数 z = a - i ( a ∈ R) , 若 z十 = 8, 则 复数 z = A. 4+i B. 4-i C. -4+i D. -4-i 3. 巳知命题 P: ∀ x >0,则 3x > 1 ;命题q : 若a高三文科数学试题卷 第 3 页 （ 共 8 页 ） X A. B. 10 C. 3 D. 9. 函数 的图象大致为 10. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过 分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图 所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等．劳伦茨 曲线为折线 OKL 时，表示收人完全不平等．记区域 A 为不平 等区域，a 表示其面积；S 为△OKL 的面积．将Gini＝ 푎 푆，称 为基尼系数．对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平； ②设劳伦茨曲线对应的函数为y=f(x),则对∀x∈(0,1), 均有f(x) x >1; ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y= (x∈[0,1]) , 则Gini = ; 其中正确的是： A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 在正方体 ABCD- A1B1 C1D1中，三棱锥 A1—B C1D 内切球的表面积为4π，则正方体外接 球的体积为 A. 8 6π B. 36π C. 32 3π D. 64 6π 12. 已知函数 f(x)＝− π 2x ，g ( x ) =x•cosx-sinx, 当x∈ [− 4π，4π],且x≠0时，方程 f (x ) = g ( x ) 根的个数是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分． 10 2 | |( ) 2 4x xf x = − 10 3 2 | |( ) 2 4x xf x = − 21 1 x− − 12 π −高三文科数学试题卷 第 4 页 （ 共 8 页 ） 13. 幂函数 f ( x ) = (m2-3m+3)xm的图象关于 y 轴对称，则实数 m = . 14. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a , b, 则直线 ax + by = 0 与圆(x - 2) 2 +y2 = 2 有公共点的概率为 ． . 15. 在△ABC中，内角A,B, C 所对的边分别为 a , b, c, 且 b= 3, 3 c= (sinA+ 3cosA)b, 则 △ABC的面积的最大值为 ． 16. 据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国 CPI(居民消费价格指数），高三文科数学试题卷 第 5 页 （ 共 8 页 ） 比上涨4. 5% , CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3. 27 个百分点．下图是 2019 年 11 月 CPI 一篮子商品权重，根据该图 ，下列四个结论 正 确的 有 ． 0.5% 生活用 服务6. ①CPI 一篮 子商 品中权重最大的是居住 ②CP I 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50% ③猪肉在 CPI 一篮子商品中权重为 2. 5% ④猪肉与其他禽肉在 CPI 一篮子商品中权重约为 0. 18 % 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. (1 2 分） 巳知数列{an}的前n 项和为 Sn，且Sn=n2+2n−1. (I) 求数列{ an} 的通项公式 ； ( II ) 若数列{ bn.}满足 , 求数列{bn}的前 n 项和Tn. 18. (1 2 分） 在改革开放40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 1 1 ( *)n n n b n Na a + = ∈高三文科数学试题卷 第 6 页 （ 共 8 页 ） 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6. 7 7 7. 1 7.2 7.4 ( I ) 根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程^y=^ bx+a ( II ) 根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量． 附 ：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)， … ，( xn,yn) , 其 回 归 直 线^y=^ bx+^ 푎的 斜 率 和截距 的最小二 乘估计分别为 6 （参考数据： , 计算结果保留到小数点后两位）高三文科数学试题卷 第 7 页 （ 共 8 页 ） 19. (1 2 分） 如图，三棱柱 ABC−A1B1C1中，平面 AA1B1B⊥平面 ABC , D 是 AC 的中点． (I) 求证:B1C//平面A1BD; ( II) 若∠ A1AB=∠ACB= 60°, AB=BB1, AC=2, BC=1, 求三棱锥 C− AA1 B 的体积． 20. (1 2 分） 已知椭圆 C: 的短轴长为2 2 , 离心率为 3 2 . ( I ) 求椭圆 C 的标准方程； ( II )直线 l 平行于直线y = 푏 푎x , 且与椭圆 C 交于A , B 两个不同的点，若∠AOB 为钝 角，求直线 l 在 x 轴上的截距m 的取值范围． 21. (12 分） 已知函数 f ( x ) = , 曲线 y = f (x ) 在点(e, f ( e) )处的切线方程为 y = 1 푒 . ( I ) 求实数 a 的值，并求 f (x )的单调区间； ( II ) 求证 ：当 x > 0时 ，f ( x )≤x − 1. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选 一题做答，如果多做，则按 所做的第 一题记分． 22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程] (10 分） 在极坐标系中，圆C 的 方程 为ρ = 2asinθ (a > 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正 半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方 程为 ( t 为参数）． (I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程， ( II )若直线 l 与圆C 交于A , B 两点 ，且 |AB| ≥ 3 a. 求实数 a 的取值范围． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ln ( )x ax a ∈+ R 3 1, 4 3 x t y t = +  = +高三文科数学试题卷 第 8 页 （ 共 8 页 ） 23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分） 已 知函数 f ( x) =| x + 1 | − a | x− 1 |. ( I )当 a =− 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值． 郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学 评分参考 一、选择题： 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.B; 7.B; 8.D; 9.D; 10.B; 11.B; 12.D. 二、填空题： 13.2; 14. 15. 16.1,2.3. 三、解答题： 17.解：（1）当 时， ………………………1分 当 时， …3分 而 ， 所以数列 的通项公式为 …………………………5分 （2）当 时， ， …………………………6分 ;12 7 3 3 ;4 1=n .211 == Sa 2≥n ( ) ( ) ( )[ ] .12112112 22 1 +=−−+−−−+=−= − nnnnnSSa nnn 11221 +×≠=a { }na    ≥+ == .2,12 ,1,2 nn nan 1=n 10 1 52 1 aa 1b 21 1 =×==高三文科数学试题卷 第 9 页 （ 共 8 页 ） 当 时， ， 所以 …………………………8分 当 时， ， …………………………9分 当 时， ……………………………10分 又 适合，所以 ……………………………12分 18.解：（1）由题意可知： ………………………………1 分 ， ………………………………2 分 …………4 分 所以 …………………………6 分 又 …………………………8 分 故 关于 的线性回归方程为 …………………………9 分 （2）由（1)可得，当年份为 2020 年时， 年份代码 ，此时 ， …………………………11 分 所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨. ………………12 分 19.解：（1）连结 交 于点 ，则 为 的中点， 2≥n ( )( )      +−+=++= 32 1 12 1 2 1 3212 1 nnnnbn       ≥     +−+ = = .232 1 12 1 2 1 ,1,10 1 nnn n bn ， 1=n 10 1 11 == bT 2≥n nn bbbbT +⋅⋅⋅+++= 321          +−++⋅⋅⋅+     −+     −+= 32 1 12 1 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 10 1 nn .3020 14 32 1 5 1 2 1 10 1 + +=     +−+= n n n 30120 114 10 1 1 +× +×==T .3020 14 + += n nTn ,5.36 654321 =+++++=x 76 4.72.71.777.66.6 =+++++=y ( ) ( ) ( ) ( ) ,5.175.25.15.05.05.15.2 222222 6 1 2 =+++−+−+−=−∑ =i i xx ( )( ) ( ) ，16.05.17 8.2ˆ 1 2 1 == − −− = ∑ ∑ = = n i i n i ii xx yyxx b ,44.65.316.07ˆˆ =×−=−= xbya y x .44.616.0ˆ += xy ,7=x .56.744.6716.0yˆ =+×= 1AB BA1 O O 1AB高三文科数学试题卷 第 10 页 （ 共 8 页 ） 因为 是 的中点，所以 ，…………………2 分 又 平面 ， 平面 , 所以 平面 . ………………………………5 分 （2） , ……………6 分 又 平面 平面 ABC，平面 平面 , 平面 . ………………………………8 分 , ……………………………10 分 ………………………12 分 20.解：（1）由题意可得 ，所以 ， ………………1 分 ，解得 ， ……………………………3 分 所以椭圆 的标准方程为 ……………………………5 分 （2）由于直线 平行于直线 ，即 ，设直线 在 轴上的截距为 ， 所以 的方程为 . ……………………………6 分 由 得 ， 因为直线 与椭圆 交于 ， 两个不同的点， 所以 ，解得 . ……………………………8分 D AC CBOD 1// ⊂OD BDA1 CB1 ⊄ BDA1 //1CB BDA1 ,60ACB,1BC,2AC  =∠== ,3ACBCOSBCAC2BCACAB 222 =∠⋅⋅−+=∴ .3AB =∴ .,222 BCABBCABAC ⊥∴+=∴  BBAA 11 ⊥ BBAA 11 ABABC = ∴ ⊥BC BBAA 11  601 =∠ ABA .3AA,AABBAB 111 =∴== .4 33ABAsinAAAB2 1S 11ABA1 =∠⋅⋅⋅=∴ ∆ .4 3 4 33 3 1BCS3 1V ABAABAC 11 =×=⋅=∴ ∆− 222 =b 2=b 2 31 2 2 =−== a b a ce 22=a C .128 22 =+ yx l xa by = xy 2 1= l y n l ( )02 1 ≠+= nnxy       =+ += 128 2 1 22 yx n,xy 0422 22 =−++ nnxx l C A B ( ) ( ) 04242 22 >−−=∆ nn 2n2  | 1 | ,| 1 | | 3 | x x x + − + + | 1 | | 1 | | 3 | x x x + − + +