2019 学年
第二学期台州市书生中学 线上教学测试高一数学试卷
（满分：分 考试时间： 分钟） 2020.4
一、单选题
1．等差数列 中，已知 ，则 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
2．设向量 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知 ， ，若点 满足 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 的夹角为 ，且 ，则 ( )
A． B． C．2 D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则
A．35 B．42 C．49 D．63
6．在等腰梯形 中， ， ， ， 为 的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．7 C． D．5
8．在等差数列 中，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．5
9．在数列 中， ， ，则 （ ）
{ }na 1 9 10a a+ = 3 4 5 6 7a a a a a+ + + + =
(1, 1), (2, )a b x= − = / /a b x =
1− 2−
( )1,2A − ( )2, 1B − C 0AC AB+ = C
1 1,2 2
( )3,3− ( )3, 3− ( )4,5−
,a b 2
3
π ( )3, 4 , 2a b= − = 2a b+ =
2 3 2 21 84
{ }na n nS 5 7S = 10 21S = 15S =
ABCD / /AB DC 2AB DC= 60BAD∠ = ° E BC
3 1
4 2AE AB AD= + 3 1
2 2AE AB AD= +
1 1
4 2AE AB AD= + 3 1
4 4AE AB AD= +
ABC 60B = ° 3a = 5c = b =
4 3 19
{ }na 1 2a = 4 7a −＝ 5a
5− 10−
{ }na 1 0a = 1
3
1 3
n
n
n
aa
a+
+
−＝ 2020a =A．0 B．1 C． D．
10．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ， ， ， 为某三角形的三边长，且
该三角形有一个内角为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 （ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．在 中，角 所对边分别为 ，且 ， ，面积 ，则
_____； _____．
12．在 中， 分别是角 的对边，且 ， ， ，则
______， _________.
13． 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列，若 ， ，
则 的面积为__________．
14．已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为_______．
15． 中， 是 边上的一点，已知 ，
， ， ，则 __________．
16．设 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，
，则 的外接圆半径为________.
17．已知数列 为等差数列，其前 n 项和为 ，且 ，给出以下结论：
① ；② ；③ ；④数列 中的最大项为 ；⑤ 其中正确的有
______.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
18．已知 ， 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）求 为何值时， .
3− 3
{ }na 2− n nS 1a 2a 3a
120° n mS S≤ *n∈N m =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 4 2c = 45B = 2S = a =
b =
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 5a = 10c =
3B
π=
b = A =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c , ,A B C 3b = 1c =
ABC∆
{ }na n 22 1nS n n= − + { }na
ABC∆ D BC 6 2BD = −
30B∠ = ° 45ADC∠ = ° 2 2DC = AC =
ABC∆ ( )2 2 2 tan 3a c b B ac+ − =
2b = ABC∆
{ }na nS 6 7 5S S S> >
0d < 11 0S > 12 0S > { }nS 11S 6 7a a>19．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小：
（2）若 ， ．求 的面积．
20．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
21．在 中，设角 的对边分别为 ，已知
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
ABC△ A B C a b c sin cos 0a B b A− =
A
2 5a = 2b = ABC△
nS { }na n 1 7a = − 1 2 3 15a a a+ + = −
{ }na
nS nS
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2 2 2cos sin cos sin sinA B C A B= + +
C
3c = ABC∆22．已知数列{ }满足 ，且 .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列{ }的前 项和 .
高一数学参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由 可得 ，然后
【详解】
na 1
1 2 2 ( )n
n na a n R+ ∗
+ = + ∈ 1 1a =
2
n
n
a
na n nS
1 9 10a a+ = 5 5a = 3 4 5 6 7 55a a a a a a+ + + + =因为 ，所以
所以
故选：D
【点睛】
本题考查的是等差数列的性质，较简单.
2．D
【解析】
【分析】
根据向量 的坐标以及 即可得出 ，解出 即可．
【详解】
解： ，且
，解得 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行向量的坐标关系，向量平行的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
先设 ，由 得 ，再由坐标求解.
【详解】
设 ，由 得 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以点 坐标为 .
1 9 52 10a a a+ = = 5 5a =
3 4 5 6 7 55 25a a a a a a+ + + + = =
,a b //a b 2 0x + = x
(1, 1), (2, )a b x= − = //a b
1 ( 1) 2 0x∴ − − = 2x = −
( ),C x y 0AC AB+ = AC BA=
( ),C x y 0AC AB+ = AC BA=
( ) ( )1, 2 3,3x y+ − = −
1 3
2 3
x
y
+ = −
− =
4
5
x
y
= −
=
C ( )4,5−故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
4．B
【解析】
向量 的夹角为 ，且 ， ，又 ，
，
，故选 B.
5．B
【解析】
【分析】
运用等差数列 的性质， 、 、 依然等差数列来求解
【详解】
已知数列 为等差数列，则其前 项和性质有 、 、 也是等差，
由题意得 ， ，
则 ， ，
故选
【点睛】
本题在解答时运用了等差数列前 项和的性质，在运用性质时注意下标数字 、 、
，本题也可以转化为 和 的方程来求解．
6．A
【解析】
【分析】
由平面向量的线性运算可表示为 ， ，两式相加后化简，
即可由 表示 .
【详解】
,a b 2
3
π ( )3, 4a = − ( )223 4 5a∴ = + − = 2b =
( )2 2 2 2 222 4 4 4 5 4 5 2 cos 2 843a b a a b b
π∴ + = + ⋅ + = × + × × × + =
2 84 2 21a b∴ + = =
nS nS 2n nS S− 3 2n nS S−
{ }na n nS 2n nS S− 3 2n nS S−
5 7S = 10 5 14S S− =
15 10 21S S− = 15 21 21 42S = + =
B
n nS 2n nS S−
3 2n nS S− 1a d
AE AB BE= + AE AD DC CE= + +
,AB AD AE依题意得 ， ，
所以 ，
，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量在几何中的简单应用，平面向量加法的线性运算，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
用余弦定理即可求解
【详解】
， ，
故选：C.
【点睛】
利用余弦定理可以解决的两类问题：
(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．
(2)已知三边，求三个内角．
8．B
【解析】
【分析】
AE AB BE= + AE AD DC CE= + +
2AE AB AD DC= + +
1
2AB AD AB= + +
3
2 AB AD= +
3 1
4 2AE AB AD= +
60B = ° 3a = 5c =
∴ 2 2 2 2 cos 9 25 2 3 5 cos60b a c ac B= + - = + - ´ ´ ´
=34 15 19- =
19b\ =求出等差数列的通项公式，代入求解.
【详解】
设等差数列的公差为 .
， ,由 得
故选：B.
【点睛】
利用等差数列的通项公式 可求数列中任意一项.
9．A
【解析】
【分析】
写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解.
【详解】
，
时， ； 时， ；
时， ；
数列 的周期是 3
故选：A.
【点睛】
本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数
列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前 项的和.
10．C
【解析】
d
1 2a = 4 7a −＝ 1 ( 1)na a n d= + −
4 1 3 =2+3 7a a d d\ = + = -
3d∴ = − 5 1 4 10a a d\ = + = -
1 ( 1)na a n d= + −
1 0a = 1
3
1 3
n
n
n
aa
a+
+
−＝
1n = 1
2
1
3 = 3
1 3
aa
a
＝ +
− 2n = 2
3
2
3 = 3
1 3
aa
a
＝ + −
−
3n = 3
4
3
3 =0
1 3
aa
a
＝ +
−
∴ { }na
2020 673 3 1 1 0a a a× +∴ = = =
n【分析】
若 对任意的 恒成立，则 为 的最大值，所以由已知，只需求出 取得最
大值时的 n 即可.
【详解】
由已知， ，又三角形有一个内角为 ，所以 ，
，解得 或 （舍），
故 ，当 时， 取得最大值，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列前 n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
11．1 5．
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式可构造方程求得 ；利用余弦定理可求得 .
【详解】
由 得： .
由余弦定理得： ，
解得： .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用问题，考查公式的应用，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
根据余弦定理求得 ；再根据正弦定理求得 即可.
【详解】
n mS S≤ *n∈N mS nS nS
1a > 2a > 3 0a > 120° 2 2 2
1 2 3 2 3a a a a a= + +
2 2 2
1 1 1 1 1( 2) ( 4) ( 2)( 4)a a a a a= − + − + − − 1 7a = 1 2a =
2( 1)7 ( 2) 82n
n nS n n n
−= + × − = − + 4n = nS 4m =
a b
1 sin 2 2 sin 45 2 22S ac B a a= = = = 1a =
2 2 2 2 cos 1 32 8 2 cos45 33 8 25b a c ac B= + − = + − = − =
5b =
1 5
5 3 6
π
b A因为 ， ， ，
故可得 ；
根据正弦定理可得 ，
又因为 则 ，故可得 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题.
13． .
【解析】
【分析】
由 A，B，C 成等差数列得出 B＝60°，利用正弦定理得 进而得 代入三角形的面积公式
即可得出．
【详解】
∵A，B，C 成等差数列，∴A+C＝2B，
又 A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．
故由正弦定理 ，故
所以 S△ABC ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
5a = 10c =
3B
π=
2 2 2 75 5 3b a c accosB= + − = =
1
2
asinBsinA b
= =
b a> B A>
6A
π=
5 3 6
π
3
2
C 2A
π=
1sinsin sin 2 6
c b C c b CC B
π= ∴ = < ∴ = 2A
π=
1 3
2 2bc= =
3
2
4 3na n= −由 ，可得当 时的数列 的通项公式，验证 时是否符合即可.
【详解】
当 时， ,
当 时，
，
经验证当 时，上式也适合，
故此数列的通项公式为 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式与前 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前 项和，
求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系
或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公
式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的
关系求 的过程中，一定要注意 的情况.
15．2
【解析】
在三角形 ABD 中， = ，利用正弦定理得 ，在三角形
ADC 中， ，所以
AC=2.
故答案为 2.
16．
【解析】
【分析】
等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简求出 sinB 的值，从
1n n na S S −= − 2n ≥ { }na 1n =
1n = 2
1 1 2 1 1 1a S= = × − =
2n ≥ 1n n na S S −= −
( ) ( )222 2 1 1n n n n= − − − + −
4 3n= −
1n =
4 3na n= − 4 3na n= −
n n
1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
n
n
nS na
na 1n =
ADB∠ 15° 6 2 2sin15 sin30o o
AD AD
− = ∴ =
2 2 2 22 cos45 4 8 2 2 2 2 42
oAC AD DC AD DC= + − × × × = + − × × × =
2 33而求出 B 的度数，由正弦定理得出结果．
【详解】
在 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，
化简得： •tanB＝cosB•tanB＝sinB＝ ，∵ ，∴B＝ 或 B＝ ．
且 ，由正弦定理得 ， .
故答案为：
【点睛】
本题考查了余弦定理和正弦定理的应用，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
17．①②③⑤
【解析】
【分析】
由 可得 ， ， 即可判断①⑤； 可判断②；
可判断③；由 可判断④.
【详解】
由 可得 ， ， ，故公差 ，且 ，①⑤正确；
，故②正确； ，故③正确；
因 ，所以数列 中的最大项为 ，故④错误.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一道
中档题.
18．（1） （2）
【解析】
ABC∆ ( )2 2 2 tan 3a c b B ac+ − =
2 2 2
2
a c b
ac
+ − 3
2
( )0,B π∈
3
π 2
3
π
2b =
2 4 3 2sin 33
2
b RB
= = = 2 33R∴ =
2 33
6 7 5S S S> > 7 0a < 6 0a > 6 7 0a a+ > 11 611S a=
612 76( )aS a= + 1 2 6 70a a a a> > > > > >
6 7 5S S S> > 7 0a < 6 0a > 6 7 0a a+ > 0d < 6 7a a>
1 11 1 61
11( ) 11 02 a aS a= + = > 1 122 61 7
12 ( ) 6( ) 02 aS a a a= + = + >
1 2 6 70a a a a> > > > > > { }nS 6S（1） ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
解得 ．
考点：向量的运算．
19．（1） （2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据 求出 ，即可确
定出 A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把 a，b，cosA 的值代入求出 c 的值，再由 b，sinA 的值，利
用三角形面积公式求出即可．
详解：在 中，由正弦定理得 ．
即 ，又角 为三角形内角， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）在 中，由余弦定理得： ，
则 ． 即 ．
解得 （舍）或 ．
所以 ．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
4A
π=
sin 0B ≠ sin cos 0A A− =
ABC sin sin sin cos 0A B B A− =
( )sin sin cos 0B A A− = B sin 0B ≠
sin cos 0A A− = 2sin 04A
π − =
( )0,A π∈
4A
π=
ABC 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅
2 220 4 4 2c c
= + − ⋅
2 2 2 16 0c − − =
2 2c = − 4 2c =
1 22 4 2 42 2S = × × × =第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20．(1) ; (2) ，
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列基本量关系求通项.
（2）利用等差数列前 项和公式求出 ,再利用二次函数性质求最小值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为 .
, ， ,由 得
（2）
当 时 有最小值为 .
【点睛】
本题考查解决等差数列通项公式及前 项和 最值.
（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公
式 和前 项和公式 ，在两个公式中共涉及
五个量： ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余
的两个量．
（2）求等差数列前 项和 最值的方法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ，
通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
21．（1） ；（2）
2 9na n= − 2 8nS n n= − 16−
n nS
d
1 2 3 15a a a+ + = −
11 1 2 15a a ad d+ + = −++ 1 7a = − 1 2a = 4 7a −＝ 1 ( 1)na a n d= + −
2d∴ = 1 ( 1) 7 ( 1) 2 2 9na a n d n n\ = + - = - + - ´ = -
1( ) ( 7 2 9)
2 2
n
n
n a a n nS + - + -= =
2 28 =( 4) 16n n n= - - -
∴ 4n = nS 16−
n nS
1 ( 1)na a n d= + − n 1
1
( ) ( 1)
2 2
n
n
n a a n n dS na+ -= = +
1 n na d n a S， ， ， ，
n nS n 2
nS an bn= +
2
3
π (2 3,2 3+ 【解析】
【分析】
（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、
三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】
（1）由题意知 ，
即 ，
由正弦定理得
由余弦定理得 ，
又 .
（2） ，
则 的周长
.
，
，
周长的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调
性，属于中档题.
22．（I）见解析（II）
【解析】
【分析】
2 2 21 sin sin 1 sin sin sinA B C A B− = + − +
2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B+ − = −
2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
+ − −= = = −
20 , 3C C
ππ< < ∴ =
3 2, 2sin , 2sin2sin sin sin sin 3
a b c a A b BA B C π= = = = ∴ = =
ABC∆
( )2 sin sin 3 2 sin sin 3 2sin 33 3L a b c A B A A A
π π = + + = + + = + − + = + +
2 30 , , sin 13 3 3 3 2 3A A A
π π π π π < < ∴ < + < ∴ < + ≤
2 3 2sin 3 2 33A
π ∴ < + + ≤ +
ABC∴∆ (2 3,2 3+
(2 3) 2 3n
nS n= − × +（I）根据题意，对于 ，变形可得 ，根据等差数列的定义
分析可得结论；
（II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得 ，即可得出
，再根据错位相减法即可求解出结果。
【详解】
解：（I）由 ，
可得
所以得 为等差数列，公差为 1；
（II） ，
①
②
①-②得
【点睛】
本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前 项和 ，证明时采
用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比。
1
1 +2 2 ( )n
n na a n R+
+ = + ∈ 1
1 12 2
n n
n n
a a+
+ − =
1 1( 1)2 2 2
n
n
a n n= + − = −
1(2 1) 2n
na n −− ⋅=
1
1 2 2n
n na a +
+ = +
1
1 12 2
n n
n n
a a+
+ − =
2
n
n
a
1 1( 1) 12 2 2
n
n
a a n n= + − × = −
11 2 (2 1) 22
n n
na n n − = − ⋅ − ⋅
=
2 1=1 3 2 5 2 (2 1) 2n
nS n −+ × + × +…+ − ×
2 32 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2nS n= × + × + × + + − ×
2 11 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n
n
nS n−− = + × + × +…+ × − − ×
( )14 1 2
1 (2 1) 21 2
n
nn
−−
= + − − ×−
(2 3) 2 3n
nS n= − × +
n nS
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