湖南2019-2020高一数学下学期入学考试试卷（附答案Word版）

2020 年上学期高一入学考试（数学）试题 一、选择题（以下各题只有一个答案正确，每题 5 分，共 60 分）. 1．若全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 2．下列函数中，既在定义域上是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3．函数 的零点所在的区间是（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4．已知直线 与直线 平行，则实数 m 的取值为（ ） A. B. C.2 D.-2 5. 已知向量 ， ， ，则 （ ） A． B． C.-2 D.2 6．圆 的圆心和半径分别为（ ） A． B． C． D． 7．若 则 （ ） A. B. C. D. 8．函数 的部分图像大致为（ ） 9．有以下四种变换方式： { }1)2(log|, 3 ≤−== xxBRU =BCU { }1| −>xx { }21| ≥−< xxx 或 { }1| −−≤ xxx 或 xy 3−= )11 2ln( −+= xy xy 3= xxy −+= 33 )3(23)( −+−= xxxf 012:1 =−+ yxl 03:2 =+− myxl 2 1- 2 1 ( )2,1a = ( )-1,b x= a b⊥  x = -1 1 2 2 6 8 11 0x y x y+ + − − = ( )-3,4 ,6 ( )2, 3 ,4− ( )2,3 ,4− ( )3, 4 ,6− ,3 2)2cos( =−απ =− )2cos( απ 9 2- 9 2 9 5- 9 5 sin2 1 cos xy x = −①向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ；②将横坐标变为原来的 ，再向左平移 ； ③将横坐标变为原来的 ，在向左平移 ；④向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ． 其中，能将正弦函数 的图象变为 的图象的是（ ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①② 10.已知函数 的部分图象如图所示． 则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 11.已知 三点都在以 为球心的球面上， 两两垂直，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为（ ） A． B． C． D． 12.已知定义在 上的函数 满足： ,当 时，有 ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 5 分，共 20 分）. 13.若函数 为偶函数，则 = . 14.已知 ，则 的值为 . 15.在函数① y=|cos2x|，②y=cos|x|，③ ，④ 中，最小正周期为 的函数 有 . 16.在正方形 ABCD 中，M,N 分别是 BC,CD 的中点，若 则实数 . 3 π 1 5 1 5 15 π 1 5 3 π 15 π 1 5 cosy x= cos 5 3y x π = +   )2||,0(),sin( πϕϕ += wwxAy )3sin(2 π−= xy )62sin(2 π−= xy )3sin(2 π+= xy )6sin(2 π+= xy , ,A B C O , ,OA OB OC O ABC− 27 6 O 16 3 π 16π 36 3 π 36π R ( )f x 1( 1) ( )f x f x + = (0,1]x∈ -( ) 2 xf x = 2(log 9)f 16 25 9 8 8 9 25 16 2( ) ln( )f x x x a x= + + a 3tan =a aa aa cossin cossin − + )62cos( π+= xy )42tan( π−= xy 2 π , →→→ += ANAMAC µλ =+ µλ三、解答题（17 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分） 17．已知 (1)若 ,求 ； (2)若 ,求 的取值范围. 18.已知函数 (1)求函数 的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合 19. 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2，1),B(-3，2),C(-2，3),求： (1)AC 边所在直线的方程； (2)AC 边所在直线关于点 B 对称的直线 的方程. 20.如图，已知四棱锥 的底面 是菱形, 平面 ABCD, ，点 为 的中点． （1）证明：PA//平面 BDF； （2）证明：平面 平面 ； （3）求三棱锥 的体积． { | 1 3 5}, { | 4 6}A x a x a B x x x= + ≤ ≤ − = ≤ >或 。 5a = A B A B⊆ a .|86|)( 2 +−= xxxf )(xf }.20)(|{ 个不相等的实根有使方程 =−= mxfmM ''CA P ABCD− ABCD 060 ,ABC PA∠ = ⊥ 2, 2AB PA= = F PC PAC ⊥ BDF P BDF−21．已知向量 记函数 （1）求函数 的最大值及取的最大值时 的取值范围； （2）求函数 的单调减区间. 22.以原点为圆心，半径为 的圆 与直线 相切. （1）若直线 过点 且 截圆 所得弦长为 ，求直线 的方程； （2）设圆 与 轴的正半轴的交点为 ，过点 作两条斜率分别为 的直线 交圆 于 两点，且 ，证明：直线 恒过一个定点，并求出该定点坐标. ),sin3,0()0,(cos xbxa ==  ， .2sin3)()( 2 xbaxf ++=  )(xf x )(xf r 2 2 2: ( 0)O x y r r+ = > 3 8 0x y− − = l ( 2, 6)− l O 4 3 l O x M M 1 2,k k O ,A B 1 2 3k k⋅ = − AB参考答案 一．选择题： 1. B; 2.C; 3.C; 4A; 5D; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.B; 11.D; 12.B. 二．填空题： 13. 1 ; 14. 2 ; 15. ①④ ; 16. ; 三．解答题. 17.解： （1）当 时， ， ． （2）①若 即 时， ，满足 ． ②若 即 时， 只须 或 ， 解得 或 ． 综上所述: 的取值范围为 ． 18.解： (1) 已知函数 ，可画出其图像（如右图所示）， 函数的增区间为 函数的减区间为 (2)在同一坐标系中作出 的图像，使两函数图像有两 个交点，可得： 5a = { | 6 10}A x x=   { | 4 6}B x x x= > 或 { | 6 10}A B x x∴ = − 3a < A = ∅ A B⊆ 1 3 5a a+ ≤ − 3a 4 3 3 5 a a − ≤    1 6 3 a a + >    5a > 3a = a { }| 3 5a a a≤ >或 |86|)( 2 +−= xxxf ∴ );,4[],3,2[ +∞ ];4,3[],1,(−∞ myxfy == 和)( ;01 => mm 或 }.10|{ >==∴ mmmM 或19.解： （1）由直线方程的两点式可知，设直线 AC 上任一点 (x,y),有 化简可得直线 AC 的一般方程： （2）设 为直线 上的任意一点，则 关于点 B(-3,2)的对称点 在直线 AC 上， 化简可得直线 的方程： . 20.解： (1)证：连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OF，又 F 为 PC 的中点， 线段 OF 为△PAC 的中位线， OF//PA.又 PA//平面 BDF. (2)证: 平面 平面 ， ， 点 为 的中点， ， ， 又 ABCD 是菱形， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . (3)由(2)可知 平面 ， ， ; ; 1P ,)2(2 31 )2( 3 −− −=−− − x y .042 =−+ yx ),( yxP ''CA ),( yxP )4,6(' yxP −−− ,04)4(2)6( =−−+−−∴ yx ''CA 022 =++ yx  ∴ ∴  ;, BDFPABDFOF 平面平面 ⊄⊂ ∴  PA ⊥ ,ABCD AC ⊂ ABCD ∴ PA AC⊥  F PC ∴ / /OF PA ∴ OF AC⊥  ∴ AC BD⊥  OF BD O∩ = ∴ AC ⊥ BDF  AC ⊂ PAC ∴ PAC ⊥ BDF PA ⊥ ABCD / /OF PA ∴ 1 1 31 33 3 3F BCD BCDV OF S− ∆= ⋅ ⋅ = × × = ∴ 1 1 2 32 33 3 3P ABD ABDV PA S− ∆= ⋅ ⋅ = × × = . 21.解： （1） 当且仅当 时， ，此时 的取值集合为 （2）由 得： 所以函数 的单调减区间为 ∴ 4 3 3 2 3 3 3 3 3 3P BDF P ABCD F BCD A BDPV V V V− − − −= − − = − − = ,2)62sin(222cos2sin32sin3)()( 2 +−=+−=++= π xxxxbaxf  ),(,2262 Zkkx ∈+=− πππ )(,3 Zkkx ∈+= ππ 4)( max =xf x .,3|   ∈+= Zkkxx ππ ),(,22 3 6222 Zkkxk ∈+≤−≤+ πππππ ),(,6 5 3 Zkkxk ∈+≤≤+ ππππ )(xf ).(,6 5 3 Zkkxk ∈    +≤≤+ ππππ22.解： (1)∵圆 与直线 相切， 而圆心 到直线的距离为 ， ∴圆 的方程为： ①若直线 的斜率不存在，直线 为 ， 此时直线 截圆所得弦长为 ，符合题意； ②若直线 的斜率存在，设直线 为 ， 由题意知，圆心到直线的距离为 ，解得： ， 此时直线 为 ， 则所求的直线 为 或 ； （2）由题意知 ，设直线 ， 与圆方程联立得: ， 消去 得: ， ∴ ∴ ， , 用 换掉 得到 B 点坐标，得: ， ， 2 2 2: ( 0)O x y r r+ = > 3 8 0x y− − = O 2 2 8 4 1 ( 3) d −= = + O 2 2 16x y+ = ， l l 2x = − l 4 3 l l ( )6 2y k x− = + 2d = 6 12k = − l 2 6 10 0x y+ − = l 2x = − 2 6 -10 0x y+ = ( )4,0M ( )1: 4MA y k x= − ( )1 2 2 4 16 y k x x y  = −  + = y ( )2 2 2 2 1 1 11 8 16 16 0k x k x k+ − + − = ( )2 1 2 1 16 1 1M A k x x k − = + ( )2 1 2 1 4 1 1A k x k − = + 1 2 1 8 1A ky k −= + 1 3 k − 1k 2 1 2 1 36 4 9B kx k −= + 1 2 1 24 9B ky k = +∴直线 AB 的方程为 整理得： ，则直线 AB 恒过定点为 . 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 8 4 4 4 1 3 1 k k ky xk k k  −+ = − + − +  ( )1 2 1 4 23 ky xk = −− ( )2,0