2019 学年
第二学期台州市书生中学 线上教学检测高二数学试卷
（满分：120 分 考试时间：150 分钟） 2020.4
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 已知 ，则
A. e B. C. 0 D.
2. 若复数 ，则
A. i B. C. 1 D.
3. 将 5 个相同名额分给 3 个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是
A. 60 B. 50 C. 10 D. 6
4. 二项式 的展开式中的常数项为
A. B. 135 C. 270 D. 540
5. 已知函数 ，若曲线 与 x 轴有三个不同交点，则实数 a 的取值范
围为
A. B. C. D.
6. 利用数学归纳法证明不等式“ ”的过程中，由
“ ”变到“ ”时，左边增加的项数有
A. 1 项 B. 项 C. 项 D. 项
7. 从 1，2，3， 这 9 个整数中同时取出 4 个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有
A. 60 B. 66 C. 72 D. 126
8. 已知 ，则下列结论中错误的是A. 在 上单调递增 B.
C. 当 时， D.
9. ， 为 的导函数，则 的图象是
A. B.
C. D.
10. 已知定义在 R 上的可导函数 ，对于任意实数 x，都有 成立，且当
时，都有 成立，若 ，则实数 a 的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）
11. 杨辉在 详解九章算法 中给出了三角垛垛积公式：
其中 n 为正整数 据此公式，则
______； ______．
12. 已知复数 满足 ，那么 z 在复平面上对应的点 的轨迹方程为
______； ______．
13. 已知函数 为常数，若 为 的一个极值点，则 ______
______．
14. 若将函数 表示为 ，其中 ， 1，
2， ， ，则 ______； ______，15. 已知等差数列 中，若 ，则有等式
成立；类比上述性质，相应地：在等
比数列 中，若 ，则有等式______成立．
16. 将编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个小球放入编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个盒
中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法
种数为______．
17. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则
实数 m 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）
18. 已知函数 的极大值为 6，极小值为 求：
实数 a，b 的值；
求 在 上的单调区间．
19. 现有甲、乙等 5 人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：
甲、乙不能相邻；
甲、乙相邻且都不站在两端；
甲、乙之间仅相隔 1 人；
按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列．20. 设正数数列 的前 n 项和为 ，且 ，
（1）试求出数列 的前三项；
（2）试求 ，并用数学归纳法证明你的结论．
21. 已知 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
求 n；
求第三项的二项式系数及展开式中 x 的系数；
求展开式中系数最大的项．
22.已知函数 ， ．
当 ， 时，求函数 在 处的切线方程，并求函数 的最大值；
若函数 的两个零点分别为 ， ，且 ，求证： ．答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： ，
，
．
故选：B．
利用导数的运算法则即可得出．
本题主要考查导数的基本运算法则，属基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位 i 的性质求解．
【解答】
解： ，
．
故选 D．
3.【答案】D
【解析】解：将 5 个相同元素分成 3 组，用隔板法即可，
即每班至少得到一个名额的不同分法种数是 ，
故选：D．
由相同元素分组问题，采用隔板法即可得解．
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题．4. 【答案】B
【解析】解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得展开式中的常数项为 ，
故选：B．
在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础
题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数求函数的极值以及转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
根据曲线 与 x 轴有三个不同交点，可以转化为函数 的图象与直线
有三个不同交点，即可求出实数 a 的取值范围．
【解答】
解：依题意知，曲线 与 x 轴有三个不同交点，可以转化为函数 的图象
与直线 有三个不同交点．
因为 ，当 时， ，当 时 ，
当 时， ，
故 ， ，因为 ，解得 ．
故选 C．
6.【答案】C【解析】解：用数学归纳法证明 的过程中，假设 时不等式成立，左
边 ，
则当 时，左边 ，
由 递推到 时不等式左边增加了： ，共
项，
故选：C．
依题意，由 递推到 时，不等式左边 与
时不等式的左边比较即可得到答案
本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：从 1，2，3， 这 9 个整数中同时取出 4 个不同的数，其和为奇数，则所取 4
个数中奇数的个数为奇数个，
则不同取法种数有 ，
故选：A．
由排列组合及简单的计数问题得：其和为奇数，则不同取法种数有 ，得解．
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题．
8.【答案】D
【解析】解： ， ．
A.可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，因此正确；B. ， ， ，因此正确；
C.当 时， ，可得： ，因此 C 正确；
D.由 A 可得：函数 在 上单调递减，
， ，可得： ，可得：
，因此 D 不正确．
故选：D．
， 可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，进而判断出
结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解： ， ， 是奇函数，排除 B，D，
当 时， ，排除 C，
故选：A．
求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可．
本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查计算能力．
10.【答案】A【解析】解： ， ，
令 ， ，
函数 为奇函数． 时， ．
时， ，
故函数 在 上是增函数，函数 在 上也是增函数，
由 ，可得 在 R 上是增函数．
等价于 ，
即 ， ，解得 ．
故选：A．
构造函数 ，可判函数 为奇函数且在 R 上是增函数，由函数的性质可得 a 的
不等式，解不等式可得．
本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知条件构造出 是解决本题的关键，
属中档题．
11.【答案】84 385
【解析】解：由 ，
所以 ，
易得 ，所以 ，
故答案为：84 385．
由归纳推理得： ，易得
，所以 ，得
解．
本题考查了归纳推理，属中档题．
12.【答案】
【解析】解： 且 ，
，即 ，
整理得 ．
图象如图，
．
故答案为： ；．
把 代入 ，整理后可得 z 在复平面上对应的点 的轨迹方程，画出
图形，数形结合可得 ．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13. 【答案】0 1
【解析】解：函数 为常数，
．
为 的一个极值点，
，解得 ．
故答案为：0，1．
函数 为常数， 根据 为 的一个极值点，可得 ，
解得 a．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
14. 【答案】0 或
【解析】解：将函数 表示为 ，
其中 ， 1，2， ， ，
令 ，可得 ．
令 ，可得 ；
令 ，则 ，
多项式等价为 ，
则展开式的通项公式 ，则当 k 为奇数时， ，k 为偶数时，
，
则 ，
令 ，则 ，即； ，
故答案为：0，1024．
根据多项式的展开式，利用赋值法和换元法分别进行求解即可．
本题主要考查二项展开式式的应用，利用赋值法以及结合展开式的通项公式的特点，判断项
的系数的符号是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在等差数列 中，若 ，则有等式 成
立 ，
故相应的在等比数列 中，若 ，则有等式 成立．
故答案为：
根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律
得出结论即可．
本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数
列之间的共性，由此得出类比的结论即可．
16.【答案】315
【解析】解：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共 种不同取法，
再将剩下的 4 个小球放入到 4 个盒子中，且小球编号与放入的小球的编号不相同共
种不同放法，
即有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 ．
故答案为：315．
由排列组合及简单的计数问题得：有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不
同的放法种数为 得解．
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．17. 【答案】 ．
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
令 问题等价于 在 上恒成立，根据函数的单调性求出 a 的
范围即可．
【解答】
解：令 ，
问题等价于 在 上恒成立，
因为 时， ，
所以只需 在 上递减，
即 ， 恒成立，
即 ，
，
．
18.【答案】解： 函数 ，
可得：函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
时函数 取得极大值 6， 时函数 取得极小值 2．
， ，
联立解得： ， ．
由 可得： ．．
可得：函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
【解析】 函数 ， 进而得出单调
性、极值点．解得：a，b．
由 可得： 即可得出单调区间．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
19.【答案】解： 先排另外 3 人，再将甲、乙插空即可，即甲、乙不能相邻共 种
不同的排法；
将甲、乙捆绑，记为一个新的元素，则甲、乙相邻且都不站在两端共 种不同的
排法；
先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔 1 人共 种不同的排法；
按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列共 种不同的排法；
故答案为： ．
【解析】 甲、乙不能相邻共 种不同的排法；
甲、乙相邻且都不站在两端共 种不同的排法；
甲、乙之间仅相隔 1 人共 种不同的排法；
按高个子站中间，两侧依次变矮五人个子各不相同的顺序排列共 种不同的排法；
得解．
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．
20.【答案】解： ，
当 ，2，3 时，可得 ， ， ， ，猜想 ．下面利用数学归纳法证明．
当 时， 成立；
假设当 时， 成立．
， ，
，
化为 ．
则当 时， ，解得 ．
当 时， 成立．
综上 可得： ， 成立．
【解析】 ，分别令 ，2，3 时，可得 ， ， ，
，猜想 利用递推式可得 利用数学归纳法证明即可．
本题考查了数列递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解： 二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，
可得 ，求得 舍去，或 ；
．
展开式的第三项的二项式系数为 ．
展开式的通项为 ．取 ，得 ．
展开式中 x 的系数为 ；
由 可得， ，
r 为奇数时，系数为负，所以 r 为偶数，比较可得 ．
故展开式中系数最大的项为 ．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是
中档题．
等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得 n；
直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 1 求得 r，则展
开式中 x 的系数可求；
根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．
22.【答案】 解：当 ， 时，
则 ，切点为 ，
故函数 在 处的切线方程为 分
，
令 ，则 在 是减函数
又 ， ， ，
， ， ，在 上是增函数，在 是减函数，
分
证明： ， 是 的两个零点，不妨设 ，
， ，
， ，
相减得： ，
，
，
，
，
令 ，即证 时， ， ，
令 ， ，
在 上是增函数，
又 ，
， ，命题得证 分
【解析】 代入 a，b 的值，求出函数的导数，求出切点坐标，求出切线方程，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；
根据函数的单调性求出 令 ，即证 ，
，令 ，根据函数的
单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一
道综合题．
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