江西南昌2019-2020高二数学（文）下学期线上测试试卷（附答案Word版）

文科数学试卷 （考试时间：120 分钟） 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，总分 60 分） 1. 以下四个命题既是特称命题又是真命题 是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数 x，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数 ，使 2.水平放置的 的斜二测直观图如图所示，若 ， 的面积为 ，则 的长为（ ） （A） （B） （C） （D） 3.以下命题中真命题的序号是（ ） ①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； ④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆 ． （A）①④ （B）②③④ （C）①②③ （D）①②③④ 4.若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是( ) A B. C. D. 或 5.已知双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的 离心率 e 为 ( ) A. 2 B. 3 C. D. 6.如图，平面 α∥平面 β，过平面 α，β 外一点 P 引直线 l1 分别交平面 α，平面 β 于 A、 B 两点，PA＝6，AB＝2，引直线 l2 分别交平面 α，平面 β 于 C，D 两点，已知 BD＝12，则 AC 的长等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．77.函数 在区间 上 最小值是（ ） A. B. C. D. 8．在三棱锥 P­ABC 中，已知 PC⊥BC，PC⊥AC，点 E、F、G 分别是所在棱的中点，则下面结论 中错误的是(　　) A．平面 EFG∥平面 PBC B．平面 EFG⊥平面 ABC C．∠BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角 D．∠FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角 9. 函数 的一个单调递增区间为 （ ） A. B. C. D. 10.已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 ．若点 到该 抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知 的三个顶点在以 为球心的球面上，且 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，总分 20 分） 13.设曲线 y=ax2 在点（1，a）处的切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行，则 a 的值 是 ． 14.动点 到点 距离比它到直线 的距离大 1，则动点的轨迹方程为 . 15.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 . 16.已知函数 ，现给出下列结论：① 有极小值，但无最小值 ② 有极大值，但无最大值 ③若方程 恰有一个实数根，则 ④若方程 恰有三个不同实数根，则 其中所有正确结论的序号为 三、 解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，其余各小题均 12 分） 17.设命题 : ，命题 :关于 的方程 有实根. （1）若 为真命题，求 的取值范围. （2）若“ ”为假命题，且“ ”为真命题，求 的取值范围. 18.如图，在四棱柱 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ， 为棱 的中点， ， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 19. 在直角坐标系 中，圆 的方程为 ． （Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 的参数方程是 （ 为参数）, 与 交于 两点， ， 求 的斜率． 20.已知椭圆 的离心率为 ，其中左焦点为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且线段 的中点 在圆 上，求 的值.21. 如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， ， , . 求：（Ⅰ）求三棱锥 的体积； （Ⅱ）求点 到平面 的距离. 22.已知：函数 ，其中 ． （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围文科数学答案 一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.C 11.D 12.C 二、13. 1 14. 15. 48 16. ②④ 【解析】 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ； 因此 有极小值 ，也有最小值 ，有极大值 ，但无最大值；若方程 恰有一个实数根，则 或 ; 若方程 恰有三个不同实数根， 则 ,即正确结论的序号为②④ 三、17.【答案】（1） （2） 18.【解析】（Ⅰ）证明：因为侧棱 底面 ， 底面 ， 所以 ， 因为底面 为正方形，所以 ， 因为 = ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ； （Ⅱ）因为侧棱 底面 于 ， 为棱 的中点，且 ， 所以 ，即三棱锥 的高为 ， 由底面正方形的边长为 ，得 ， 所以 ． 19.解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为 .由 ， 可 得圆 的极坐标方程 . （Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . 2 12y x= 2( ) ( 2 3) 0 1 3xf x x x e x= + − = ∴ = −′ 或 3x < − 3( ) 0, ( ) (0,6 )f x f x e−∈′ > 3 1x− < < 3( ) 0, ( ) ( 2 ,6 )f x f x e e−< ∈ −′ 1x > ( ) 0, ( ) ( 2 , )f x f x e∈ −′ > +∞ ( )f x ( )1f ( )1f ( )3f − ( )f x b= 36b e−> 2b e= − ( )f x b= 30 6b e−< < [ ]0,3a∈ ( )1 ,0 3,4a  ∈ − ∪  +∞ 1AA ⊥ ABCD BD ⊆ ABCD 1AA ⊥ BD ABCD AC ⊥ BD 1AA ∩ AC A BD ⊥ 11 AACC CA1 ⊆ 11 AACC CABD 1⊥ 1AA ⊥ ABCD A E 1AA 41 =AA 2=AE ABDE − 2 3 2 9332 1 =××=∆ABDS 33 1 =⋅⋅== ∆−− AESVV ABDABDEBDEA 2 2 12 11 0x y x+ + + = cosx ρ θ= siny ρ θ= C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = l ( )Rθ α ρ= ∈设 ， 所对应的极径分别为 ， ，将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 . 于是 ， . . 由 得 ， 所以 的斜率为 或 . 20.【详解】（1）由题意可得 ， ，则 ， 因此，椭圆 的方程为 ； （2）设点 、 ， 将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，得 ， ，解得 . 由韦达定理得 ，则 ， . 所以，点 的坐标为 ， 代入圆的方程得 ，解得 ，合乎题意. 综上所述， . 21.【解析】（Ⅰ）因为 ， ， 所以 ， ， ， A B 1 ρ 2 ρ l C 2 12 cos 11 0ρ ρ α+ + = 1 2 12cosρ ρ α+ = − 1 2 11ρ ρ = ( )2 2 1 2 1 2 1 24 144cos 44AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ α= − = + − = − 10AB = 2 3cos 8 α = 15tan 3 α = ± l 15 3 15 3 − 2 2 2a = 2 2a∴ = 2 22 2b a= − = C 2 2 18 4 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB C 2 2 18 4 y x m x y = + + = 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = ( )2 2 216 12 2 8 96 8 0m m m∆ = − − = − > 2 3 2 3m− < < 1 2 4 3 mx x+ = − 1 2 2 2 3 x x m+ = − 1 2 1 2 2 2 3 y y x x mm + += + = M 2 ,3 3 m m −   2 22 13 3 m m   − + =       3 5 5m = ± 3 5 5m = ± PDAP ⊥ 2== PDAP 22=AD 2=BD 32=AB所以 ，又因为 平面 ，所以 平面 ， 所以 = = ； （也可以直接取 中点和 点连接，即为三棱锥的高，底面积为三角形 的面积来算） （Ⅱ）由（1）得： 平面 ，所以 ， , 因为 ，即 ， 得 . 22.【解析】 （1）解： ． 当 时， ． 令 ，解得 ， ， ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数． （2）解：由条件 可知 ，从而 恒成立． ADBD ⊥ PAD ⊥ ABD ⊥BD PAD PADBABDP VV −− = BDS PAD ⋅⋅ ∆3 1 3 42222 1 3 1 =×××× AD P ABD ⊥BD PAD PABD ⊥ 2241222 =−=−= APABPB PADBPABD VV −− = 3 4 3 1 =⋅⋅ ∆ dS PAB 2 2222 1 44 = ×× == ∆APBSd 3 2 2( ) 4 3 4 (4 3 4)f x x ax x x x ax= + + = + +′ 10 3a = − 2( ) (4 10 4) 2 (2 1)( 2)f x x x x x x x= − +′ = − − ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 1 2x = 3 2x = x ( )f x′ ( )f x x ( 0)−∞， 0 10 2     ， 1 2 1 22     ， 2 (2 )，+ ∞ ( )f x′ − 0 + 0 − 0 + ( )f x ( )f x 10 2     ， (2 )，+ ∞ ( 0)−∞， 1 22     ， [ ]2 2a∈ − ， 29 64 0a∆ = − < 24 3 4 0x ax+ + >当 时， ；当 时， ． 因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者． 为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 即 在 上恒成立． 所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ． 0x < ( ) 0f x′ < 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x [ ]11− ， (1)f ( 1)f − [ ]2 2a∈ − ， ( ) 1f x ≤ [ ]11− ， (1) 1{ ( 1) 1 f f ≤ − ≤ ， ， 2{ 2 b a b a ≤ − − ≤ − + ， [ ]2 2a∈ − ， 4b ≤ − b ( ]4−∞ −，