理科数学试卷
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是（ ）
A．（1，﹣5，6） B．（1，5，﹣6）
C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）
2．下列说法中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等 B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
3．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体
4．已知某圆锥的轴截面为一等腰 ，其中 ，则该圆锥的体积为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
6．如图，空间四边形 OABC 中，向量 ， ， ，且 ，
，则 等于( ) （题目 OA,OB,OC,a,b,c,上面的符号是向量符号，选项
a,b,c 上面的 r 是向量符号）
( )1,5,6P xoy Q
ABC 5, 4AB AC BC= = =
2 21
3
π
21π 4 21
3
π
2 21π
3
4
3
8
6
8
6
16
OA a= OB b= OC c= 2OM MA=
BN NC= MNA． B．
C． D．
7．设 是不同的直线， 是不同的平面，则（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
8．在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面直
线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，点 在直线 上运动，则当
取得最小值时，点 的坐标为（ ）（注 OA,OB,OP,QA,QB 上的符号是向量符号）
A． B． C． D．
10．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 的中点，
则点 E 到平面 ACD1 的距离为( )
A． B． C． D．
11．在正方体 中， 是棱 的中点，则对角线 与平面 所成的
角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外接
球的表面积为
2 2 1
3 3 2a b c+ + 1
2 2
1
2
1a b c+ −
1
2
2 1
3 2a b c− + + 1
2 3
1
2
2a b c− +
,m n ,α β
/ /m α n ⊂ α //m n mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥
/ /m α / /n β //m n / /α β m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥
1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC =
1AC 1 1A B
30° 45° 60° 90°
( ) ( ) ( )1,2,3 , 2,1,2 , 1,1,2OA OB OP= = = Q OP QA QB⋅
Q
1 3 1, ,2 4 3
1 3 3, ,2 2 4
4 4 8, ,3 3 3
4 4 7, ,3 3 3
1
2
2
2
1
3
1
6
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC 1BD BDE
6
3
3
3
2
3
1
3A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 ， ，且 ，则 ________.（注 a,b 上的符号是向
量符号）
14．如图，二面角 等于 ， 、 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、
内， ， ，且 ，则 的长等于______．
15．一个火柴盒长、宽、高分别为为 、 、 ，一只蚂蚁从火柴盒的一个角 处，
沿火柴盒表面爬到另一个角 处，所经过的最短路径长为__________ .
16．如图，二面角 的大小是 60°，线段 . ，
与 所成的角为 30°.则 与平面 所成的角的正弦值是 .
29π 34π 41π 50π
( )2,1,3a = ( )4,2,b x= − a b⊥ a b− =
lα β− − 120° A B l AC BD α
β AC l⊥ BD l⊥ 1AB AC BD= = = CD
3cm 2cm 1cm A
B cm
lα β− − AB α⊂ B l∈
AB l AB β三、解答题
17．（10 分）如图四边形 ABCD 为梯形， ，求图中阴影部分绕 AB 旋转
一周所形成的几何体的表面积和体积．
18．（12 分）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ，
分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 .
19．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱 的中点，平
面 平面 .
求证：
（1） ∥平面 ；
（2）平面 平面 .
/ / 90AD BC ABC∠ °， ＝
P ABC− ΔPAC ΔPBC 2 2AB =
,O D ,AB PB
/ /OD PAC OP ⊥ ABC
P ABC− PA AB= ,M N ,PB PC
PAB ⊥ PBC
BC AMN
AMN ⊥ PBC20．（12 分）如图，等腰梯形 MNCD 中，MD∥NC，MN＝ MD＝2，∠CDM＝60°，E 为线
段 MD 上一点，且 ME＝3，以 EC 为折痕将四边形 MNCE 折起，使 MN 到达 AB 的位置，且
AE⊥DC
(1)求证:DE⊥平面 ABCE;
(2)求点 A 到平面 DBE 的距离
21．（12 分）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 .
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
22．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ，
为 的中点．
1
2
90BAP CDP∠ = ∠ =
90APD∠ =
P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = =
O AC（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的
正弦值．
PO ⊥ ABC
M BC M PA C− − 30° PC PAM数学参考答案
一，选择题：1.B 2 .C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.C 10.C 11.C 12.B
1．B
【详解】
在空间直角坐标系中，
点 P（1，5，6）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（1，5，﹣6）．
故选：B．
2．C
【详解】
对于 A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故 A 正确；
对于 B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故 B 正确；
对于 C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故 C 错误；
对于 D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故 D 正确.
综上可知,错误的为 C
故选:C
3．B
【解析】
【分析】
根据旋转体的定义，即可得出结论.
【详解】
由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.
故选:B.
4．C
【详解】
根据题意作出圆锥的轴截面图形如下图所示：其中 为线段 的中点，设底面圆的半径为 ，
则 ，
故圆锥的体积 ，
故选：C.
5．D
【详解】
如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a，在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则
C′D′＝ O′C′＝ a.所以 S△A′B′C′＝ A′B′·C′D′＝ ×a× a＝ a2.
故选：D.
6．C
【详解】
解： ， ， ， ，
O BC r
2 2 25 4 21AO AB BO= − = − =
21 1 4 214 213 3 3V r h
ππ π= = × =
1
2
3
4
2
2
6
8
1
2
1
2
6
8
6
16
BN NC=
1 ( )2ON OB OC∴ = + 2OM MA=
2
3OM OA∴ = ，故选：C。
7．D
【详解】
对于 A，若 ， ，则直线 可以平行，也可以异面，所以 A 错误；
对于 B，因为 不一定能成立，所以当 ， ， 时， 不一定成
立，所以 B 错误；
对于 C，若 ， ， ，则 ，或平面 与平面 相交，所以 C 错误；
选项 D：若 ， ， ，则 成立，所以 D 正确.
故选:D.
8．C
【详解】
连接 ， ，如图：
又 ，则 为异面直线 与 所成的角.
因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选 C
【点睛】
21 2 1( )2 3 3 2
1
2MN ON OM OB OC OA a b c∴ = − = + +− = − +
/ /m α n ⊂ α ,m n
α β⊥ mα β = n β⊂ n m⊥ n α⊥
/ /m α / /n β //m n / /α β α β
m α⊥ n β⊥ n m⊥ α β⊥
1AC 1BC
1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B
AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B
1AB BC⊥
2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2
1 2 2 2 2 3BC = + =
1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = °9．C
【详解】
∵点 Q 在直线 OP 上运动，∴存在实数 λ 使得 （λ，λ，2λ），
∴ ， ．
∴ （1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）
＝6λ2﹣16λ+10＝6 ，
当且仅当 时，上式取得最小值，
∴Q ．
故选 C．
10．C
【详解】
以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，则 ， , ， ，
为 的中点，则
， ，
设平面 的法向量为 ，则
，即
可得
OQ OPλ= =
( )1 2 3 2QA λ λ λ= − − − ， ， ( )2 1 2 2QB λ λ λ= − − − ， ，
QA QB ⋅ =
24 74( )3 9
λ − +
4
3
λ =
4 4 8
3 3 3
，，
D 1DA DC DD， ， x y z， ，
AE x= ( )1 1 01A ，， ( )1 0 01D ，， ( )1 0E x， ， ( )1 0 0A ，， ( )0 2 0C ，，
E AB ( )11 0E ，，
( )1 11 1D E∴ = − ，， ( )1 2 0AC = − ，， ( )1 1 01AD = − ，，
1ACD ( )n a b c= ， ，
1
0
0
n AC
n AD
⋅ = ⋅ =
2 0
0
a b
a c
− + =
− + =
2a b
a c
=
=可取
点 到面 的距离为
故选
11．C
【详解】
如图,将正方体 放入空间直角坐标系中,设边长为 2,可得 为 ,
为 , 为 , 为 ,则 , , ,
设平面 的法向量 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,
所以 ,
则对角线 与平面 所成的角的正弦值为 ,
故选：C
12．B
【详解】
由三视图知（结合长方体）该几何体的实物图应为三棱锥 ，
故球心肯定在长方体上、下底面的中心连线 上（设上、下底面的中心分别为 .
记球心为点 ，设 ，则 ，
( )21 2n = ，，
∴ E 1ACD 1 2 1 2 1
3 3
D E n
d n
⋅ + −= = =
C
1 1 1 1ABCD A B C D− D ( )0,0,0 1D
( )0,0,2 B ( )2,2,0 E ( )0,2,1 ( )1 2, 2,2BD = − − ( )2,2,0DB = ( )2,0,1BE = −
BDE ( ), ,n x y z= 0
0
n DB
n BE
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 0
x y
x z
+ =
− + =
1x = ( )1, 1,2n = −
1
1
1
2 2 4 4 2cos , 31 1 4 4 4 4 6 2 3
n BDn BD
n BD
⋅ − + += = = =
+ + ⋅ + + ⋅⋅
1BD BDE 2
3
A BCD−
1 2O O )1 2,O O
O 2OO x= 2 2 2 22
2 2 1 1R OO O B OO O A= + = +结合三视图数据得 ，解得 ，则 ，
故该几何体的外接球的表面积为
故选 B.
13．
【详解】
由题,因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】
本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模
14．2
【详解】
∵A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面 α、β 内，AC⊥l，BD⊥l，
又∵二面角 α﹣l﹣β 的平面角 θ 等于 120°，且 AB＝AC＝BD＝1，
∴ ， 60°，
∴
故答案为 2．
2 2
2 25 3(4 )2 2x x + = − +
3
2x = 2 17
2R =
2 174 4 342Rπ π π= × =
38
a b⊥ 8 2 3 0a b x⋅ = − + + = 2x =
( )4,2,2b = − ( )6, 1,1a b− = −
( )226 1 1 38a b− = + − + =
38
0CA AB AB BD⋅ = ⋅ = CADB = ＜ ， ＞ 1 1 60CA BD cos⋅ = × × °
2 2( )CD CA AB BD= + +
2 2 2
2 42 2 =CA AB BD CA AB AB BD CA BD= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅
| | 2CD =【点睛】
本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用 ，
结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．
15．
【详解】
展开火柴盒所在长方体的表面，使 AB 在同一个矩形的对角线端点，
这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为：
这种情况对角线长为 ，
这种情况对角线长为 ，
这种情况对角线长为
所以最短路径 .
故答案为：
【点睛】
此题考查求物体表面的最短路径，常用办法是展开成平面图形，利用两点之间线段最短求最
短路径.
2 2( )CD CA AB BD= + +
3 2
4 16 2 5+ =
1 25 26+ =
9 9 3 2+ =
3 2
3 216．
【解析】
试题分析：过点 A 作平面 β 的垂线，垂足为 C，
在 β 内过 C 作 l 的垂线．垂足为 D，
连接 AD，有三垂线定理可知 AD⊥l，
故∠ADC 为二面角 α-l-β 的平面角，为 60°，
又由已知，∠ABD=30°，
连接 CB，则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角
设 AD=2，则 AC= ，CD=1
AB= =4
∴sin∠ABC= = ；
故答案为 ．
考点：本题主要考查二面角的计算．
点评：基础题，本解法反映了求二面角方法的“几何法”—“一作、二证、三计算”．
17． ；体积 ．
【解析】
【分析】
直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的
是半球，所以阴影部分绕 旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球， ，
.
【详解】
3
4
3
0
AD
sin30
AC
AB
3
4
3
4
68S π=表
140
3
π圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球
S 半球= ×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π
故所求几何体的表面积 S 表＝8π+35π+25π＝68π
V 圆台=
V 半球= .
故所求几何体的体积 V＝V 圆台－V 半球= .
18．（1）答案见解析； （2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）要证 平面 ，只需证 ，即可求得答案；
（2）要证 平面 ，只需证 ， ，即可求得答案.
【详解】
（1） 分别为 的中点，
.
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）∵ ， ，
为 中点， ，
， .
同理， ， .
/ /OD PAC / /OD PA
OP ⊥ ABC PO OC⊥ PO AB⊥
,O D ,AB PB
∴ / /OD PA
PA ⊂ PAC OD ⊄ PAC
∴ / /OD PAC
2AC BC= = 2AB =
∴ AC BC⊥
O AB 2AB =
∴ OC AB⊥ 1OC =
PO AB⊥ 1PO =又 ，
.
.
.
， ， ，
平面 .
【点睛】
本题主要考查了求证线面平行和线面垂直，解题关键是掌握线面平行判断定理和线面垂直判
断定理，考查了分析能力，属于中档题.
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）证得 MN∥BC，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得 平面 .
由面面垂直的判定定理证明即可
【详解】
（1）∵ 分别为棱 的中点，∴MN∥BC
又 平面 ，∴ ∥平面 .
（2）∵ ，点 为棱 的中点，
∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
【点睛】
本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题
20．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）等腰梯形中，MD＝4，CD＝MN＝2，利用余弦定理求出 ，由勾股定理得到 CE
2PC =
∴ 2 2 2 2PC OC PO= + =
∴ 90POC °∠ =
∴ PO OC⊥
PO OC⊥ PO AB⊥ AB OC O∩ =
∴ PO ⊥ ABC
AM ⊥ PBC
,M N ,PB PC
BC ⊄ AMN BC AMN
PA AB= M PB
AM PB⊥
PAB ⊥ PBC PAB ∩ PBC PB= AM ⊥ PBC
AM ⊂ AMN AMN ⊥ PBC
3 21
7
CE ⊥DE，然后得到 AE⊥平面 CED，所以 ，从而可以得到 DE⊥平面 ABCE.（2）
由（1）得到的 CE⊥AE，可求出 的面积，由 DE⊥平面 ABCE，求出三棱锥
的体积，利用勾股定理得到 的长，然后求出 的面积，利用等体积转化，求出点 A
到平面 DBE 的距离.
【详解】
(1)等腰梯形 MNCD 中，MD∥NC，CD＝ MD＝2
∴MD＝4，CD＝MN＝2，
△CED 中，∠CDE＝60°，ED＝MD-EM＝1，
则由余弦定理
∴CE ，∴CE2+ED2=CD2
∴CE DE，∴CE ME，CE AE
又 AE⊥DC，DC CE＝C，
∴AE⊥平面 CED
而 平面 CED
∴ ，又 ，AE CF＝E
∴DE⊥平面 ABCE
(2)由(1)因 CE⊥AE，则
因 DE⊥平面 ABCE，则
等腰梯形 MCD 中 MD∥NC，MD＝4，
CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1
则 NC=MD-2DE=2，故 BC＝2，
AE DE⊥
ABE△ D ABE−
BE BDE
1
2
2 2 2 2 cos60 3CE DE DC DE CD °= + − ⋅ ⋅ =
3=
⊥ ⊥ ⊥
DE ⊂
AE DE⊥ DE CE⊥
1 3 3
2 2ABES BE CE∆ = ⋅ =
1 3
3 2D ABE ABEV S DE− ∆= ⋅ =设点 A 到平面 DBE 的距离为 h，因 DE⊥平面 ABCE
则 ，得 h＝
所以点 A 到平面 DBE 的距离为
【点睛】
本题考查线面垂直的性质和判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题.
21．（1）见解析；（2） .
【解析】
【详解】
（1）由已知 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD．
由于 AB//CD ，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD．
又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD．
（2）在平面 内作 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
系 .
2 2 1 77, 2 2BDEBE EC BC S BE ED∆= + = = ⋅ =
1
3D ABE A DBE BDEV V S h− − ∆= = ⋅
3
3 2123 77
2
⋅ =
3 21
7
3
3
−
90BAP CDP∠ = ∠ = °
⊂
PAD PF AD⊥ F
AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD
F FA x AB
F xyz-由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
即
可取 .
设 是平面 的法向量，则
即 可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐
标是解题的关键.
22．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据
线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解
2 ,0,02A
20,0, 2P
2 ,1,02B
2 ,1,02C
−
2 2,1,2 2PC
= − −
( )2,0,0CB = 2 2,0,2 2PA
= −
( )0,1,0AB =
( ), ,n x y z= PCB
0,
0,
n PC
n CB
⋅ =
⋅ =
2 2 0,2 2
2 0,
x y z
x
− + − =
=
( )0, 1, 2n = − −
( ), ,m x y z = PAB
0,
0,
m PA
m AB
⋅ =
⋅ =
2 2 0,2 2
0.
x z
y
− =
=
( )1,0,1m =
3cos , 3
n mn m n m
⋅= = −
A PB C− − 3
3
−
3
4出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相
等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，
最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
【详解】
（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .
连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ， .
由 知 .
由 知 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
由已知得 取平面 的法向量
.
设 ，则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ，可取 ，
所以 .由已知得 .
所以 .解得 （舍去）， .
所以 .又 ，所以 .所以 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角
坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平
面的法向量；第四，破“应用公式关”.
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