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理科数学
考试范围：高二下期 考试时间：120 分钟 命题人：高二数学组
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单项选择（每题 5 分）
1、已知 是虚数单位，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2、若 ，则正数 的值为( )
A．0 B．1 C．0 或 D．
3、函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4、设曲线 在 处的切线方程为 ，则 a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5、用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ）
A.72 B.144 C.150 D.180
6、设函数 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
7、用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于 ，因为 是实数，所以 ”你
认为这个推理（ ）．
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
8、若 且 2 =2，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
9、已知函数 同时有极大值和极小值、则实数 的取值范
围是( )
i i
i
+
−
2
21
i− i−
5
4 i5
3
5
4 − i
2
0
(2 3 ) 0k
x x dx− =∫ k
1 2
3( ) 2ln= − − −f x x x x
(0, )+∞ ( 3,1)− (0,1) (1, )+∞
ln( 1)axy e x= − + 0x = 2 1 0x y− + =
( ) 2 2cosf x x x= + [ ]1,1x∈ − ( ) ( )1 2f x f x− >
1 ,13
−
10, 3
1 1,3 2
10, 2
0 a 02 >a
0, 0,x y> > x y+ 1 1
x y
+
3
2 2 3 22
+
3 2( ) ( 6) 1f x x ax a x= + + + + a10、已知 为 的导函数，则 的图象大致
是（ ）
11、设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范
围为 ，则点 横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12 、 已 知 函 数 ， 若 正 实 数 互 不 相 等 ， 且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分）
13、安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不
同的安排方式共有______________.
14、 已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 且 ,则
_______．
15、 展开式中， 项的系数为________；所有项系数的和为________．
16、若函数 在区间 上是单调递增函数，则实数 的取值范围
是 ．
三、解答题（总分 70 分）
17、（12 分）实数 m 取什么值时，复平面内表示复数
.( 1, 2) .( , 3] [6, ) .( 3, 6) ( , 3) (6, )A B C D− − −∞ − ∪ +∞ − − −∞ − ∪ +∞
21( ) sin( ), '( )4 2f x x x f x
π= + + ( )f x '( )y f x=
P C 2 2 3y x x= + + C P
4 2
π π
，
P
1, 2
−∞ [ ]1 0− ， [ ]01，
1 ,2
− +∞
ln ,0( ) {
2 ln ,
x x ef x
x x e
< ≤=
− > , ,a b c
( ) ( ) ( )f a f b f c= = abc
2( , )e e 2(1, )e
1( , )ee
21( , )ee
X 2(4, )N σ (2 6) 0.98P X< ≤ = ( 2)P X < =
2
4( ) 1
xf x x
= + ( 2 1)m m +， m
( ) ( )2 28 15 5 14z m m m m i= − + + − −的点
(1)位于第四象限？
(2)位于第一、三象限 （3）位于直线 上？
18、（12 分）已知函数 f(x)＝xlnx＋(a－1)x＋2.
(1)当 a＝2 时，求 f(x)在 x＝1 处的切线方程；
(2)若 f(x)＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
19、（12 分）某市为调查外来务工人员春节买票回家是否需要交通部门提供帮助的情
况，用简单随机抽样方法从该市调查了 1000 位外来务工人员，结果如表：
男 女
需要帮助 80 60
不需要帮助 320 540
（1）估计该市外来务工人员中春节买票回家需要交通部门帮助的比例；
（2）能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为该市外来务工人员春节买票回
家是否需要交通部门提供帮助与性别有关？
参考公式及数据： ， ．
20、（12 分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统
计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
[50，60) 3 0.06
[60，70) m 0.10
2 16 0x y− + =[70，80) 13 n
[80，90) p q
[90，100] 9 0.18
总计 t 1
(1)求表中 t，q 及图中 a 的值；
(2)该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行谈话，设 X 表示所抽
取学生中成绩低于 60 分的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
21、（12 分）已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方.
（注意：22、23 选择其中一道，答题卷上边注明题号）
22、（10 分）已知直线 L 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 C 的参数方程为
( 为参数)．
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程；
(2)若直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点，求线段 AB 的长．
21( ) ln2f x x x= +
( )f x [ ]1,e
( )1,+∞ ( )f x
32( ) 3g x x=23、（10 分）已知函数
（1）若 恒成立，求实数 m 的最大值；
（2）记（1）中 m 的最大值为 M，正数 a,b 满足 ，证明： .理科数学答案
一、单项选择
1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】B6、【答案】B
7、【答案】A8、【答案】D9、【答案】D10、【答案】A11、【答案】D12、【答案】A
二、填空题
13、【答案】36 14、【答案】0.01 15、 【答案】 16、【答案】
三、解答题
17、【答案】（1）
（2）
（3）
18、【答案】（1）2x－y＋1＝0；（2）a＞－ln2.
试题分析：（1）将 a＝2 代入得 f(x)＝xlnx＋x＋2，求导并计算 f′(1)＝2，f(1)＝3，
用点斜式写出切线方程；（2）f(x)＞0 恒成立等价于函数 f(x)的最小值大于 0，利用导
数求函数的最小值，并建立方程即可求解。
【详解】
(1)当 a＝2 时，f(x)＝xlnx＋x＋2，
求导得，f′(x)＝lnx＋2，∴f′(1)＝2，f(1)＝3，
故 f(x)在 x＝1 处的切线是 2x－y＋1＝0.
(2)定义域为(0，＋∞)，导函数 f′(x)＝lnx＋a，
令 f′(x)＝0，得 x＝e－a，
分析可得 f(x)在(0，e－a)为减函数，在(e－a，＋∞)为增函数，
所以 fmin(x)＝f(e－a)＝e－a(－a)＋(a－1)e－a＋2＝－e－a＋2，
由题意可知 f(x)＞0 恒成立，需要－e－a＋2＞0，解得 a＞－ln2.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，曲线的切线方程，利用导数讨论函数的单调性及求函数的最
值，以及解决恒成立问题，综合性较强，属于中档题。
19、【答案】（1） ；（2）能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为该市外来务工
人员春节买票回家是否需要交通部门提供帮助与性别有关．
试题分析：（1）根据表中的数据得到需要提供帮助的人数为 人，作比后可得所求的比
例；（2）根据表中数据求出 的值，与临界值表对照后可得结论．
【详解】
（1）调查的 位外来务工人员中有 位需要交通部门提供帮助，
1 0m− < ≤
2 3 5 7m or m⇒ − < < < <
( )( )2 28 15 5 14 0m m m m− + − − > ( 3)( 5)( 2)( 7) 0m m m m⇒ − − + − >
2 3 5 7m or m or m⇒ < − < < >
( ) ( )2 28 15 2 5 14 16 0m m m m− + − − − + = 1 2 15m⇒ = ±因此需要帮助的比例估计值为 ．
（2）由题中数据可得 ，
所以能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为该市外来务工人员春节买票回家是否
需要交通部门提供帮助与性别有关．
【点睛】
由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，对独立性检验的考查多以解答
题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．
20、【答案】（1）t=50，q=0.4，a=0.026（2）详见解析
试题分析：（1）利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出；
（2）由表格可知：区间[50，60）中有 3 人，区间[60，70）中有 5 人．由题意可得：X＝
0，1，2，3.则 P（X＝k） ，即可得出随机变量 X 的分布列和数学期望．
【详解】
解：(1)由表格可知，全班总人数 t＝ ＝50，则 m＝50×0.10＝5，n＝ ＝0.26，所以
a＝ ＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，
即 p＝20，所以 q＝ ＝0.4.
(2)成绩在[50，60)内的有 3 人，[60，70)内的有 5 人．
由题意得 X 可能的取值为 0，1，2，3，P(X＝k)＝ ，所以 P(X＝0)＝ ，P(X＝1)＝
，P(X＝2)＝ ，P(X＝3)＝ .
随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
数学期望 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图的性质、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
21、【答案】（1） ， （2）证明见解析2
max
1( ) 12f x e= + min
1( ) 2f x =试题分析：（1）利用函数的导数可确定函数为增函数，即可求解（2）构造函数
，利用导数证明 在区间 上为减函数，故最大值
即可证明.
【详解】
（1）由 有 ，
当 时， ,
在区间 上为增函数，
， ，
（2）设 ，
则 ，
当 时， ，
且 故 时，
，得证.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，求函数最值，属于中档题.
22、【答案】（1）x2＋y2＝16.(2)
试题分析：(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2)将直线的参数方程代入曲线 方
程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.
【详解】
解：(1)由曲线 C： 得 x2＋y2＝16，
所以曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
(2)将直线的参数方程代入 x2＋y2＝16，
整理，得 t2＋3 t－9＝0.
设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则
t1＋t2＝－3 ，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝
2 31 2( ) ln2 3F x x x x= + − ( )F x ( )1,+∞
1(1) 06F = − <
21( ) ln2f x x x= + ( ) 1f x x x
′ = +
[ ]1,x e∈ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ [ ]1,e
2
max
1( ) ( ) 12f x f e e∴ = = + min
1( ) (1) 2f x f= =
2 31 2( ) ln2 3F x x x x= + −
( )2
2 (1 ) 1 21( ) 2
x x x
F x x xx x
− + +′ = + − =
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
1(1) 06F = − < (1, )x∈ +∞ ( ) 0F x <
2 31 2ln2 3x x x∴ +
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