2019~2020 学年度下学期高二期中能力测试【线上】
数学（文科）学科试题
▲请悉知：
1.出题人： 2.使用年级：高二下学期
3.考试形式：闭卷【120 分钟 满分 150 分】 4.考试范围：四月十五日前网课所学内容
◎请在答题卷上作答，拍照上传，自觉遵守考试纪律，诚信应考，本次考试不记录排名，最终成绩
只做参考。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若复数 与 互为共轭复数，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2．下列表述正确的是（ ▲ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理
②归纳推理是由一般到一般的推理
③演绎推理是由一般到特殊的推理
④类比推理是由特殊到一般的推理
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
3．已知回归方程 ，试验得到一组数据是 ， ， ，则残差平方和是
（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．下列四个命题中，真命题为（ ▲ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．在 中，已知 ：三个内角 ， ， 成等差数列， ，则 是 的（ ▲ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 是虚数单位，若 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．某次班委选举需要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一正一副两位班长，现有三条明确信息:①若甲
是班长，则丙不是班长；②若乙是班长，则丁也是班长；③若丙不是班长，则丁也不是班长，据此
可判断这次选举选出的班长是（ ▲ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．丙和丁
10．要证 成立， ， 应满足的条件是（ ▲ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． ， 或 ，
11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调
查的女生人数是男生人数的 ，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的人数占女生
人数的 ，若有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ▲ ）
参考公式：
A． 人 B． 人 C． 人 D． 人
12．直线 恒过定点 ，若点 是双曲线 的一条弦的中点，则此弦
所在的直线方程为（ ▲ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
i( , )a b a b+ ∈R 2 3i− a b− =
1 1− 7 7−
2 1y x= + (2,4.9) (3,7.1) (4,9.1)
0.01 0.02 0.03 0.04
x∀ ∈R 2 1 0x − = x∃ ∈Z 3 1 0x − =
x∀ ∈R 2 1 0x + > x∃ ∈Z 1 4 3x< <
2 2
14 10
x y
k k
+ =− − x k
(4,10) (7,10) (4,7) (4, )+∞
3 2 4y x x= − + (1,3)
30° 45° 60° 120°
ABC△ p A B C π: 3q B = p q
i 2018
2
4ii i(1 i) 2z = +− + z
3 3 3a b a b− < − a b
0ab < a b> 0ab < a b<
0ab > a b< 0ab > a b> 0ab < a b<
1
2
1
6
1
3 99%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
12 18 24 30
2 2 0kx y k− − + = A A
2 2
12 8
x y− =
4 10 0x y+ − = 2 2 0x y− − = 4 10 0x y+ − = 4 6 0x y− − =二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．为了对 ， 两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的相关指数为
，乙模型的相关指数为 ，则 ▲ （填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更
好．
14．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ▲ ，所以 是整数”，若推理是正确的，请填写
横线部分．
15．已知复数 ，则 ▲ ．
16 ．已 知函 数 ， 其 中 ，若 恒成 立， 则 实数 的 取 值范 围 为
▲ ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）在一段时间内，分 次调查，得到某种商品的价格 （万元）和需求量 之间的一
组数据为：
附： ， ， ， ．
（1）画出散点图；
（2）求出 关于 的线性回归方程；
（3）若价格定为 万元，预测需求量大约是多少？（精确到 ）．
18．（12 分）已知 ， ， ， ，且 ， ，求证： ， ， ，
中至少有一个是负数．
19．（12 分）已知复数 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 ， 的值．
20．（12 分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络
购物解决．小韩是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价，现对其近
年的 次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示：
（1）是否有 的把握认为商品好评与服务好评有关？请说明理由；
（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 次交易中取出 次交易，并从中选择两次
交易进行观察，求只有一次好评的概率．
附：临界值表
参考公式： ， ．
x y
2
1 0.845R = 2
2 0.82R =
2
(1 2i)(2 i)z = + − | |z =
2( ) 2lnaf x xx
= + 0a > ( ) 2f x ≥ a
5 x ( )y t
5
1
62i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
16.6i
i
x
=
=∑ 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
a y bx= −
y x
1.9 0.01t
a b c d ∈R 1a b c d+ = + = 1ac bd+ > a b c d
2(1 i) 2(5 i)
3 iz
+ + −= +
| |z
( ) iz z a b+ = + a b
200
99.9%
200 5
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +21．（12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线
交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的取值范围．
22．（12 分）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的值域．
x 3
2
(4,1)M
:l y x m= +
m
( ) cosxf x e x=
( )y f x= (0, (0))f
( )f x π[0, ]22019—2020 学年度下学期高二期中能力考
试
数学（文科）参考答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】∵ 与 互为共轭复数，∴ ， ，则 ．
2．【答案】C
【解析】归纳推理，就是从个别到一般，由部分到整体的推理，故①对②错，
演绎推理是由一般到特殊的推理，故③对，
类比推理是由特殊到特殊的推理，故④错⑤对．
3．【答案】C
【解析】因为残差 ，
所以残差的平方和为 ．
4．【答案】C
【解析】因为对于任意实数 ，总有 ，所以 对所有实数均成立．
5．【答案】B
【解析】由题意知 ，解得 ．
6．【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为 ，
因为 ，故有 ，所以 ，故选 B．
7．【答案】A
i( , )a b a b+ ∈R 2 3i− 2a = 3b = 1a b− = −
i i ie y y= −
2 2 2(4.9 5) (7.1 7) (9.1 9) 0.03− + − + − =
x 2 0x ≥ 2 1 0x + >
4 0
10 0
4 10
k
k
k k
− >
− >
− > −
7 10k< <
α
23 2y x′ = − 1| tan 1xy k α=′ = = = π
4
α =【解析】若 ， ， 成等差数列，则 ，
又 ，所以 ，
反之，若 ，则 ，则 ， ， 成等差数列，故选 A．
8．【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
9．【答案】D
【解析】若甲是班长，则由①可知，丙不是班长，再由③可知丁也不是班长，
∴乙是班长，与②矛盾；
若乙是班长，再由②可得丁也是班长，∴甲、丙不是班长，这与③矛盾．
综上可知，丙和丁是班长，故选 D．
10．【答案】D
【解析】要使 成立，只要 ，
只要 ，只要 ，
即只要 ，故只要 且 ，或 且 ．
11．【答案】B
【解析】设男生人数为 ，女生人数为 ，列联表如下：
A B C 2A C B+ =
πA B C+ + = π
3B =
π
3B = 2π 23A C B+ = = A B C
2018 2
2
4i 4i 2ii i i 1(1 i) 2 2 2i 1 iz = + = + = −− + − −
2
2 1 2(1 i) i 1 i i 1 2i1 i i (1 i)(1 i) iz
+= − = − = + + = +− − +
z (1,2)
3 3 3a b a b− < − 3 32 23 3a b ab a b a b− + ⋅ − ⋅ < −
3 32 2ab a b< 2 2ab a b<
( ) 0ab a b− > 0ab > a b> 0ab < a b<
x 2
x则 ，
因为人数为整数，故选 B．
12．【答案】D
【解析】∵ ，所以定点 为 ，
设这条弦与双曲线的两交点分别为 ， ，
则有 ， ，
两式相减得 ，得 ，
所以弦所在直线斜率 ，
利用点斜式可得弦所在的直线方程为 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】甲
【解析】相关指数越接近 1，表明拟合效果越好，
∵ ，∴甲模型拟合效果更好．
14．【答案】 是自然数
【解析】由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数， 是自然数，所以 是整数”．
15．【答案】
【解析】∵ ，∴ ．
16．【答案】
【解析】由 ，得 ，
2
2
2
3 5( )( ) 32 6 6 3 6 6.635 17.69( )( )( )( ) 8
2 2
x x x xxn ad bc xK xx xa b c d a c b d x x
⋅ ⋅ − ⋅−= = = ≥ ⇒ >+ + + + ⋅ ⋅ ⋅
2 2 ( 2) (2 ) 0kx y k k x y− − + = − + − = A (2,2)
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2
1 1 12 8
x y− =
2 2
2 2 12 8
x y− =
2 2 2 2
1 2 1 1 02 8
x x y y− −− = 1 2 2 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 02 8
x x x x y y y y− + − +− =
1 2
1 2 1 2
1 21 2 1 2
2 22 4 4 42 2
8
x x
y y x xk y yx x y y
+
− + ×= = = ⋅ = ⋅ =+− + ×
4 6 0x y− − =
2 2
1 20.845 0.82R R= > =
2
2 2
5
(1 2i)(2 i) 4 3iz = + − = + 2 2| | 4 3 5z = + =
[ , )e +∞
2( ) 2lnaf x xx
= +
2
3
2( )( ) x af x x
−′ =又函数 的定义域为 且 ，
当 时， ；当 时， ，
故 是函数 的极小值点，也是最小值点，且 ，
要使 恒成立，需 ，则 ，
∴ 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．【答案】（1）散点图见解析；（2） ；（3） ．
【解析】（1）散点图如图所示：
（2）因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
故 关于 的线性回归方程为 ．
（3）当 时， ．
18．【答案】证明见解析．
【解析】假设 ， ， ， 都是非负数，
∵ ，∴ ，
又 ，
∴ ，这与已知 矛盾，所以假设不成立，
∴ ， ， ， 中至少有一个是负数．
( )f x (0, )+∞ 0a >
0 x a< < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ >
x a= ( )f x ( ) ln 1f a a= +
( ) 2f x ≥ ln 1 2a + ≥ a e≥
a [ , )e +∞
11.5 28.1y x= − + 6.25( )t
1 9 1.85x = × = 1 37 7.45y = × = 5
1
62i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
16.6i
i
x
=
=∑
5
1
5 222
1
5 62 5 1.8 7.4 11.516.6 5 1.85
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
=
=
− − × ×= = = −− ×−
∑
∑
7.4 11.5 1.8 28.1a y bx= − = + × =
y x 11.5 28.1y x= − +
1.9x = 28.1 11.5 1.9 6.25( )y t= − × =
a b c d
1a b c d+ = + = ( )( ) 1a b c d+ + =
( )( )a b c d ac bc ad bd ac bd+ + = + + + ≥ +
1ax bd+ ≤ 1ac bd+ >
a b c d19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
20．【答案】（1）有 的把握认为；（2） ．
【解析】（1）由上表可得 ，
所以有 的把握认为商品好评与服务好评有关．
（2）由表格可知对商品的好评率为 ，若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这
次交易中取出 次交易，则好评的交易次数为 次，不满意的次数为 次．
令好评的交易为 ， ， ，不满意的交易 ， ，
从 次交易中，取出 次的所有取法为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， 共计 种情况，
其中只有一次好评的情况是 ， ， ， ， ， 共计 种情
况，
因此，只有一次好评的概率为 ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，∴ ，
依题意设椭圆方程为 ，把点 代入得 ，
| | 10z = 7
13
a
b
= −
= −
2i 10 2i 10 10(3 i) 3 i3 i 3 i 10z
+ − −= = = = −+ + | | 10z =
2(3 i)(3 i ) (3 i) (3 i) 8 3 ( 6)i ia a a a b− − + = − + − = + − + = +
8 3 7
( 6) 1 13
a b a
a b
+ = = − ⇒ − + = = −
99.9% 3
5
2
2 200 (80 10 40 70) 11.111 10.828150 50 120 80K
× × − ×= ≈ >× × ×
99.9%
3
5 200
5 3 2
A B C a b
5 2 ( , )A B ( , )A C ( , )A a ( , )A b ( , )B C ( , )B a
( , )B b ( , )C a ( , )C b ( , )a b 10
( , )A a ( , )A b ( , )B a ( , )B b ( , )C a ( , )C b 6
6 3
10 5
=
2 2
120 5
x y+ = ( 5,5)−
3
2
ce a
= =
2 2 2
2 2
3
4
c a b
a a
−= = 2 24a b=
2 2
2 2 14
x y
b b
+ = (4,1) 2 5b =∴椭圆方程为 ．
（2）联立 ，得 ，
由 ，解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以切点为 ，
又因为 ，所以 ，
即切线斜率 ，所以切线方程为 ，
即 在点 处的切线方程为 ．
（2）令 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
2 2
120 5
x y+ =
2 2
120 5
y x m
x y
= + + =
2 25 8 4 20 0x mx m+ + − =
2 2 264 20(4 20) 400 16 0Δ m m m= − − = − > 5 5m− < <
m ( 5,5)−
1 0x y− + =
π
42[0, ]2 e
0(0) cos0 1f e= = (0,1)
( ) cos sin (cos sin )x x xf x e x e x e x x′ = − = − (0) 1f ′ =
1k = 1y x= +
( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + =
( ) (cos sin ) 0xf x e x x′ = − =
π[0, ]2x∈ π
4x =
π[0, ]4x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x π π[ , ]4 2x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
π π
4 4
max
π π 2( ) ( ) cos4 4 2f x f e e= = =
(0) 1f = π( ) 02f = min( ) 0f x =
( )f x π[0, ]2
π
42[0, ]2 e
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