2019~2020 学年度下学期高二期中能力测试【线上】
数学（理科）学科试题
▲请悉知：
1.出题人： 2.使用年级：高二下学期
3.考试形式：闭卷【120 分钟 满分 150 分】 4.考试范围：四月十五日前网课所学内容
◎请在答题卷上作答，拍照上传，自觉遵守考试纪律，诚信应考，本次考试不记录排名，最终成绩
只做参考。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知 ， 是虚数单位，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2．若函数 ，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
3．若复数 （ 为虚数单位），则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
4．三角形的面积为 ，其中 ， ， 为三角形的边长， 为三角形内切圆的半
径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ▲ ）
A．
B．
C． ，（ 为四面体的高）
D． ，（ ， ， ， 分别为四面体的四个面的面积， 为四面体内
切球的半径）
5．函数 的极值点为（ ▲ ）
A． B． C． 或 D．
6．定积分 （ ▲ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象如图所示(其中 是函数 的导函数)，则下面四个图象中，
的图象大致是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：
“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩
公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ▲ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．函数 的单调递增区间为（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．如图，阴影部分的面积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
11．若函数 在区间 内是减函数， ，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的可导函数 ，对于任意实数 都有 成立，且当
时，都有 成立，若 ，则实数 的取值范围
(1 i)(1 2i)z = − + i z =
1 i− 1 i+ 3 i+ 3 i−
2 1( )f x x x
= + ( 1)f ′ − =
1− 1 3− 3
2i( )1 iz = + i | |z =
2 1 1
2
2
2
1 ( )2S a b c r= + + ⋅ a b c r
1
3V abc=
1
3V Sh=
1 ( )3V ab bc ca h= + + h
1 2 3 4
1 ( )3V S S S S r= + + + 1S 2S 3S 4S r
4 3
( ) 4 3
x xf x = −
0 1 0 1 1−
1
0
(sin 2 )dx x x+ =∫
1 cos1+ cos1 1 cos1− 2 cos1−
( )y xf x′= ( )f x′ ( )f x
( )y f x=
( ) ( 2) xf x x e= −
(1, )+∞ (2 )+ ∞ (0,2) (1,2)
2 3 2 3− 35
3
32
3
3( ) 3 1f x x bx= − + (1,2] b∈R
4b ≤ 4b < 4b ≥ 4b >
R ( )f x x ( ) ( ) 2f x f x x− = −
( ,0]x∈ −∞ ( ) 2 1f x x′ < + (2 ) ( 1) 3 ( 1)f m f m m m< − + + m为（ ▲ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． ▲ ．
14．将正整数有规律地排列如下：
……………
则在此表中第 行第 列出现的数字是 ▲ ．
15．函数 在 上的最大值是 ▲ ．
16．已知函数 在 无极值，则 在
上的最小值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位， ， 为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 的值；
（2）若 ，求 ， 的值．
18．（12 分）已知函数 在 处的切线方程为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的单调区间与极值．
19．（12 分）设函数 在点 处有极值 ．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求曲线 与 轴所围成的图形的面积．
1( 1, )3
− ( 1,0)− ( , 1)−∞ − 1( , )3
− +∞
2| |1 2i
=+
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 1112 13 14 15 16
45 84
ln( ) xf x x
= 2(0, ]e
1( ) sin 2 ( 2)cos ( 1)2f x a x a x a x= − + − + π π[ , ]2 2
− ( )f x π π[ , ]2 2
−
1 2iz m= − 2 1 iz n= − i m n
1n = 1z 1 2| |z z+
2
1 2( )z z= m n
2( ) lnf x bx a x= − 1x = y x=
a b
( )f x
3 2( )f x x ax bx= + + 1x = 2−
a b
( )y f x= x20．（12 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）判断 在定义域上的单调性；
（2）若 在 上的最小值为 ，求 的值．
22．（12 分）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
2 2sin 30 cos 60 sin30 cos60°+ °+ ° °
2 2sin 15 cos 45 sin15 cos45°+ °+ ° °
2 2sin 20 cos 50 sin 20 cos50°+ °+ ° °
2 2sin ( 18 ) cos 12 sin( 18 )cos12− ° + °+ − ° °
2 2sin ( 25 ) cos 5 sin( 25 )cos5− ° + °+ − ° °
( ) ln ( )af x x ax
= − ∈R
( )f x
( )f x [1, ]e 2 a
2( ) 2 4x xf x e e x= − −
( )f x
0x > ( ) (4 1)xaf x e a x< − + a2019—2020 学年度下学期高二期中能力考
试
数学（理科）参考答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由 ，∴ ，故选 D．
2．【答案】C
【解析】由于 ，∴ ，故选 C．
3．【答案】C
【解析】复数 ，根据模长的公式得到 ，故选 C．
4．【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为 ，则球心 到四个面的距离都是 ，
根据三角形的面积的求解方法：
分割法，将 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以 为顶点，
分别以四个面为底面的 个三棱锥体积的和，∴ ，
故选 D．
5．【答案】B
【解析】 ，
函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
∴ 是函数的极小值点，故选 B．
6．【答案】D
(1 i)(1 2i) 3 iz = − + = + 3 iz = −
2
1( ) 2f x x x
′ = − ( 1) 2 1 3f ′ − = − − = −
2i 1 i( )1 i 2i 2z
−= = =+
21 1| | ( )2 2z = =
O O r
O O
4 1 2 3 4
1 ( )3V S S S S r= + + +
3 2 2( ) ( 1)f x x x x x′ = − = −
4 3
( ) 4 3
x xf x = − (1, )+∞ ( ,1)−∞
1x =【解析】 ，故选 D．
7．【答案】C
【解析】由 的图象可得：
当 时， ，∴ ，即函数 单调递增；
当 时， ，∴ ，即函数 单调递减；
当 时， ，∴ ，即函数 单调递减；
当 时， ，∴ ，即函数 单调递增，
观察选项，可得 C 选项图像符合题意，故选 C．
8．【答案】A
【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；
当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；
当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；
当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件，
故选 A．
9．【答案】A
【解析】 ，令 ，解得 ，
∴函数 的单调增区间是 ，故选 A．
10．【答案】D
【解析】 ，故选 D．
11．【答案】C
【解析】 ， ，
∵函数 在区间 内是减函数，
∴导函数 在区间 内小于等于 ，即 ，故选 C．
12．【答案】A
1
2 1
0
0
(sin 2 )d ( cos ) | cos1 1 cos0 0 2 cos1x x x x x+ = − + = − + + − = −∫
( )y xf x′=
1x > ( ) 0xf x′ > ( ) 0f x′ > ( )y f x=
0 1x< < ( ) 0xf x′ < ( ) 0f x′ < ( )y f x=
1 0x− < < ( ) 0xf x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x=
1x < − ( ) 0xf x′ < ( ) 0f x′ > ( )y f x=
( ) ( 2) ( 1)x x xf x e x e x e′ = + − = − ( ) 0f x′ > 1x >
( ) ( 2) xf x x e= − (1, )+∞
1
2 3 2 1
3
3
1 32(3 2 )d ( 3 )3 3S x x x x x x −
−
= − − = − − + =∫
3( ) 3 1f x x bx= − + 2( ) 3 3f x x b′ = −
3( ) 3 1f x x bx= − + (1,2]
2( ) 3 3f x x b′ = − (1,2] 0 4b ≥【解析】令 ，则 ，
∴ ，∴函数 为 上的偶函数．
∵当 时，都有 成立，∴ ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
，即 ，
∴ ，因此 ，
∴ ，化为 ，解得 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】
【解析】 ．
14．【答案】
【解析】依题意可知第 行有 个数字，
前 行的数字个数为 个，可得前 行共 个，
∵ ，即第 行最后一个数为 ，
∴第 行第 列出现的数字是 ，故答案为 ．
15．【答案】
【解析】函数 ， ，令 ，解得 ．
∵ ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 取得最大值， ，故答案为 ．
16．【答案】
2( ) ( )g x f x x x= − − 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0g x g x f x x x f x x x− − = − − + − + + =
( ) ( )g x g x− = ( )g x R
( ,0]x∈ −∞ ( ) 2 1f x x′ < + ( ) ( ) 2 1 0g x f x x′ ′= − − <
( )g x ( ,0]x∈ −∞ [0, )+∞
(2 ) ( 1) 3 ( 1)f m f m m m< − + + 2 2(2 ) 4 2 ( 1) ( 1) ( 1)f m m m f m m m− − < − − − − −
(2 ) ( 1)g m g m< − (| 2 |) (| 1|)g m g m< −
| 2 | | 1|m m< − 23 2 1 0m m+ − < 11 3m− < <
2 5
5
2 22 2(1 2i) 2 4i 2 4 2 5| | | | | | ( ) ( )1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5 5
− −= = = + − =+ + −
2020
n 2 1n −
n 21 3 5 (2 1)n n+ + + + − = 44 244
244 1936= 44 1936
45 84 1936 84 2020+ = 2020
1
e
ln( ) xf x x
= 2
1 ln( ) xf x x
−′ = ( ) 0f x′ = x e=
20 e e< < ( )f x (0, ]x e∈ 2[ , ]x e e∈
x e= ( )f x 1( )f e e
= 1
e
3π
2
−【解析】
，
∵ 时一定有根， ，即 ，
∴要使 无极值，则 ，此时 恒成立，
即 单调递减，故在区间 上， 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ， ．
【解析】（1）∵ 为纯虚数，∴ ，
又 ，∴ ， ，从而 ，
因此 ．
（2）∵ ，∴ ，即 ，
又 ， 为实数，∴ ，解得 ．
18．【答案】（1） ；（2） 的单增区间为 ， 的单减区间为 ，
， 无极大值．
【解析】（1） ，根据题设得方程组 ，解得 ．
（2）由（1）可知 ，令 ， （舍去），
当 时， ；当 时， ，
2( ) cos2 ( 2)sin 1 (1 2sin ) ( 2)sin 1f x a x a x a a x a x a′ = + + − − = − + + − −
22 sin ( 2)sin 1 (2sin 1)( sin 1)a x a x x a x= − + + − = − − −
( ) 0f x′ = 1sin 2x = π π π[ , ]6 2 2x = ∈ −
( )f x 2a = 2( ) (2sin 1) 0f x x′ = − − ≤
( )f x π π[ , ]2 2
− ( )f x π 3( ) π2 2f = −
1 2| | 10z z+ = 0m = 1n = −
1 2iz m= − 0m =
1n = 1 2iz = − 2 1 iz = − 1 2 1 3iz z+ = −
2 2
1 2| | 1 ( 3) 10z z+ = + − =
2
1 2( )z z= 22i (1 i)m n− = + 22i (1 ) 2 im n n− = − +
m n
21
2 2
m n
n
= −
− =
0
1
m
n
=
= −
1
1
a
b
=
= ( )f x 2( , )2
+∞ ( )f x 2(0, )2
( ) 1 2ln2 2f x = −
极小值 ( )f x
22( ) ( 0)bx af x xx
−′ = > 1
2 1
b
b a
=
− =
1
1
a
b
=
=
22 1( ) xf x x
−′ = 2( ) 0 2f x x′ = ⇒ = 2
2x = −
20 2x< < ( ) 0f x′ < 2
2x > ( ) 0f x′ >∴ 的单增区间为 ， 的单减区间为 ，
， 无极大值．
19．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）由题意知 ， 且 ，
即 ，解得 ， ．
（2）如图，由（1）问知 ．
作出曲线 的草图，所求面积为阴影部分的面积．
由 ，得曲线 与 轴的交点坐标是 ， 和 ，
而 是 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，
∴ 轴右侧阴影面积与 轴左侧阴影面积相等．
∴所求图形的面积为 ．
20．【答案】（1） ；（2） ，证明见解析．
【解析】（1） ．
（2）三角恒等式为： ，
( )f x 2( , )2
+∞ ( )f x 2(0, )2
( ) 2 1 2( ) ln2 2 2f x f= = −
极小值 ( )f x
0a = 3b = − 9
2
2( ) 3 2f x x ax b′ = + + (1) 2f = − (1) 0f ′ =
1 2
3 2 0
a b
a b
+ + = −
+ + = 0a = 3b = −
3( ) 3f x x x= −
3 3y x x= −
3 3 0x x− = 3 3y x x= − x ( 3,0)− (0,0) ( 3,0)
3 3y x x= − R
y y
3
3 4 2 3
0
0
1 3 92 [0 ( 3 )]d 2( ) |4 2 2S x x x x x= − − = − − =∫
3
4
2 2 π π 3sin cos ( ) sin cos( )6 6 4
α α α α+ + + + =
2 2 2 21 1 1 1 3sin 30 cos 60 sin30 cos60 ( ) ( )2 2 2 2 4
°+ °+ ° ° = + + × =
2 2 π π 3sin cos ( ) sin cos( )6 6 4
α α α α+ + + + =
2 2 π πsin cos ( ) sin cos( )6 6
α α α α+ + + +
2 23 1 3 1sin ( cos sin ) sin ( cos sin )2 2 2 2
α α α α α α= + − + −
2 2 2 23 3 1 3 1sin cos sin cos sin sin cos sin4 2 4 2 2
α α α α α α α α= + − + + −．
21．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ， ．
①当 时， ，故 在上 为增函数；
②当 时，由 ，得 ；由 ，得 ；
由 ，得 ，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数；
∴当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数．
（2）∵ ， ．
由（1）可知：
①当 时， 在 上为增函数， ，得 ，矛盾；
②当 时，即 时， 在 上也是增函数， ，
∴ （舍去）；
③当 时，即 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，
∴ ，得 （舍去）；
④当 时，即 时， 在 上是减函数，有 ，
∴ ，
综上可知： ．
22．【答案】（1）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；（2）
．
【解析】（1） ，令 ，解得 ，
2 23 (sin cos )4
α α= +
3
4
=
a e= −
( )f x (0, )+∞
2( ) x af x x
+′ =
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < ( ) 0f x′ = x a= − ( ) 0f x′ > x a> −
( ) 0f x′ < x a< −
( )f x (0, ]a− ( , )a− +∞
0a ≥ ( )f x (0, )+∞
0a < ( )f x (0, ]a− ( , )a− +∞
2( ) x af x x
+′ = 0x >
0a ≥ ( )f x (0, )+∞ min( ) (1) 2f x f a= = − = 2a = −
0 1a< − ≤ 1a ≥ − ( )f x (0, )+∞ min( ) (1) 2f x f a= = − =
2a = −
1 a e< − < 1e a− < < − ( )f x [1, ]a− ( , ]a e−
min( ) ( ) ln( ) 1 2f x f a a= − = − + = a e= −
a e− ≥ a e≤ − ( )f x [1, ]e min( ) ( ) 1 2af x f e e
= = − =
a e= −
a e= −
( )f x ( ,ln 2)−∞ (ln 2, )+∞
[ 1,0]−
2( ) 2 2 4 (2 2)( 2)x x x xf x e e e e′ = − − = + − ( ) 0f x′ = ln 2x =当 ， ，则函数 在 上单调递减；
当 ， ，则函数 在 上单调递增．
（2）令 ，
根据题意，当 时， 恒成立，
．
①当 ， 时， 恒成立，
∴ 在 上是增函数，且 ，∴不符合题意；
②当 ， 时， 恒成立，
∴ 在 上是增函数，且 ，∴不符合题意；
③当 时，∵ ，∴恒有 ，故 在 上是减函数，
于是“ 对任意 都成立”的充要条件是 ，
即 ，解得 ，故 ．
综上， 的取值范围是 ．
( ,ln 2)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,ln 2)−∞
(ln 2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (ln 2, )+∞
2( ) ( ) (4 1) (2 1)x x xg x af x e a x ae a e x= − + + = − + +
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x <
2( ) 2 (2 1) 1 (2 1)( 1)x x x xg x ae a e ae e′ = − + + = − −
10 2a< < ( ln 2 , )x a∈ − +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x ( ln 2 , )a− +∞ ( ) ( ( ln 2 ), )g x g a∈ − +∞
1
2a ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x (0, )+∞ ( ) ( (0), )g x g∈ +∞
0a ≤ (0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0, )+∞
( ) 0g x′ < (0, )x∈ +∞ (0) 0g ≤
(2 1) 0a a− + ≤ 1a ≥ − 1 0a− ≤ ≤
a [ 1,0]−
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