江西省濂溪一中2019-2020高二数学（文）下学期期中考试试卷（附答案Word版）

2020 年高二下学期期中阶段性评价考试 数 学 文 科 试 卷 卷首语： 因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班 级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上 传。 注意：考试时间 120 分，试卷总分 150 分，本卷由高二数学教研组命题，考试范围为选修 1—2 全部内容。 第Ⅰ卷 （选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设复数 满足 ，则复数 （ ） A． B． C． D． 2．已知两个变量 ， 之间具有相关关系，现选用 ， ， ， 四个模型得到相应的回归方程， 并计算得到了相应的 值分别为 ， ， ， ，那么拟合效 果最好的模型为（ ） A． B． C． D． 3．下列说法中运用了类比推理的是（ ） A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为 B．在平面内，若两个正三角形的边长的比为 ，则它们的面积比为 ．从而推出：在空间中， 若两个正四面体的棱长的比为 ，则它们的体积比为 C．由数列的前 项猜出该数列的通项公式 D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 4．已知函数 在 上可导，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中，是真命题的是（ ） A． ，使得 B． （ ， ） C． ， D． ， 是 的充分不必要条件 7．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 列联 表进行独立性检验，经计算 ，附表如下， 参照附表，得到的正确的结论是（ ） A．有 以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” B．有 以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关” 8．已知复数 （ ）是纯虚数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 9．设 ， ， ，则正确的结论是（ ） A． B． C． D．不能确定 10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 位优秀， 位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 11．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且以线段 为直径的圆与 直线 相切，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． z (i 2) 5z− = z = i 2+ 2 i− − 2 i− + 2 i− x y a b c d 2R 2 0.80aR = 2 0.98bR = 2 0.93cR = 2 0.86dR = a b c d 0.5 1: 2 1: 4 1: 2 1:8 5 ( )f x R 3 21 1( ) (1)3 2f x x f x′= − ⋅ (1)f = 1 6 1 3 1 2 1 12 4 6k< < 2 2 16 4 x y k k + =− − 0x∃ ∈R 0 0xe ≤ 2sin 2 2sinx x + ≥ πx k≠ k ∈Z x∀ ∈R 22 x x> 1a > 1b> 1ab> 2 2× 2 7.01K = 99% 99% 0.1% 0.1% i 2 i az += + a ∈ R a 1 2 − 1 2 2− 2 0x > 1a x x= + − 2 1b x x= + − + a b> a b< a b= 2 2 2 2 2 2: 1,( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,A A 1 2A A 2 0bx ay ab− + = C 6 3 3 3 2 3 1 312 ． 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 满 足 ： ， ， 函 数 ， 若 曲 线 在 点 处 的 切 线 垂 直 于 直 线 ，则 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．用反证法证明命题：“已知 ， ，若 不能被 整除，则 与 都不能被 整除”时， 假设的内容应为__________． 14．已知复数 满足 ，则 __________． 15．已知椭圆 （ ）的一个焦点是 ，若椭圆短轴的两个三等分点 ， 与 构成正三角形，则椭圆的方程为__________． 16．已知 ， ，若 ， ，使得 成立， 则实数 的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知 ， ， ．求证： ， 中至少有一个不小于 ． 18．（12 分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格： 其中 （参考数据： ， ， ， ） （1）求线性回归方程；（结果保留到小数点后两位） 参考公式： ， ， （2）预测进店人数为 人时，商品销售的件数．（结果保留整数） 19 ．（ 12 分 ） 已 知 命 题 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 命 题 ： 函 数 ， 恒成立．若 为真， 为假，求 的取值范围． { }na 6 3 4a a a= 1 8 128a a = 2 20 1 2 20( )f x a x a x a x= + + + ( )y f x= 1 1( , ( ))2 2f 105 0kx y m− + = k = 1 2 − 1 2 2 2− a b∈N ab 7 a b 7 z ( i)(1 i) 3 iz + + = − | |z = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > (1,0)F M N F 3 1( ) ( 1) xf x x e− += + ⋅ 2( ) ( 1)g x x a= + + 1x∃ 2x ∈R 2 1( ) ( )f x g x≥ a x ∈ R 2 1a x= − 2 2b x= + a b 0 1,2,3,4,5,6,7i = 7 1 3245i i i x y = =∑ 25x = 15.43y = 7 2 1 5075i i x = =∑ 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  ˆa y bx= − 80 :p 2 1y x mx= + + ( 1, )− +∞ q 24 4(2 ) 1y x m x= − + − − 0y ≤ p q∨ p q∧ m20．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 名男顾客和 名女顾客，每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 21．（12 分）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，点 在 上． （1）求 的方程； （2）直线 不经过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ， 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 22．（12 分）设函数 ，其中常数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围． 50 50 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > 2 2 (2, 2) C C l O l C A B AB M OM l 3 21( ) (1 ) 4 243f x x a x ax a= − + + + 1a > ( )f x 0x ≥ ( ) 0f x > aG2 文数线上期中检测答案 第Ⅰ卷 （选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 因此 ． 2．【答案】B 【解析】 越大，拟合效果越好，故选 B． 3．【答案】B 【解析】选项 A：是归纳推理． 选项 B：是类比推理． 选项 C：是归纳推理． 选项 D：是演绎推理． 4．【答案】D 【解析】 ，令 ，则 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 ． 5．【答案】C 【解析】方程 表示椭圆，则 ，解得 ，且 ， 所以 C 正确． 6．【答案】D 【解析】A 中，对 都有 ，∴A 错误； B 中，当 时， ，∴B 错误； (i 2) 5z− = 5 5(i 2) 10 5i 2 ii 2 (i 2)(i 2) 1 4z + += = = = − −− − + − − 2 iz = − + 2R 2( ) (1)f x x f x′ ′= − 1x = (1) 1 (1)f f′ ′= − 2 (1) 1f ′ = 1(1) 2f ′ = 3 21 1( ) 3 4f x x x= − 1(1) 12f = 2 2 16 4 x y k k + =− − 6 0 4 0 6 4 k k k k − >  − >  − ≠ − 4 6k< < 5k ≠ x∀ ∈R 0xe > π 2x = − 2sin 3 2 2sinx x + = − 1 1b ab> ⇒ > 2a b= = − 1ab> 1a > 1b> 1a > 1b> 1ab> 27.879 7.01 6.635K> = > 0.01 99% i ( i)(2 i) 2 1 2 i2 i (2 i)(2 i) 5 5 a a a az + + − + −= = = ++ + − 2 1 05 2 05 a a + = − ≠ 1 2a = − 1 ( 1 )( 1 ) 1 1 1 1 x x x x x xa x x x x + − + + + −= = = + + + + 2 1 ( 2 1)( 2 1) 1 1 2 1 2 1 x x x x x xb x x x x + − + + + + + − += = = + + + + + + a b> 1 2A A 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + = 2 2 2abd a a b = = + 2 23a b= 2 22 3a c=即 ， ，故选 A． 12．【答案】A 【解析】设数列 的公比为 ， 由 ， ，得 ，解得 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ， ∵ ， ∴ ， 由题设知， ，∴ ． 第Ⅱ卷 （非选择题） 13．【答案】 ， 至少有一个能被 整除 【解析】因为“ 与 都不能被 整除”的反面是“ ， 至少有一个能被 整除”， 应填答案 ， 至少有一个能被 整除． 14．【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ． 15．【答案】 2 2 2 3 c a = 6 3 ce a = = { }na q 6 3 4a a a= 1 8 128a a = 5 2 3 1 1 1 7 1 1 128 a q a q a q a a q  = ⋅ ⋅ = 1 1a = 2q = 12n na −= 2 20 1 2 20( )f x a x a x a x= + + + 19 1 2 20( ) 2 20f x a a x a x′ = + + + 19 1 2 20 1 1 1( ) 2 20 ( )2 2 2f a a a′ = + ⋅ + + 1 1 11 1( ) 2 ( ) 12 2 n n n na − − −⋅ = × = 19 1 2 20 1 1 1 20(1 20)( ) 2 20 ( ) 1 2 20 2102 2 2 2f a a a +′ = + ⋅ + + = + + + = =  210 1105 k × = − 1 2k = − a b 7 a b 7 a b 7 a b 7 10 ( i)(1 i) 3 iz + + = − 3 i (3 i)(1 i) 2 4ii i i 1 3i1 i (1 i)(1 i) 2z − − − −= − = − = − = −+ + − 2 2| | 1 ( 3) 10z = + − = 2 2 14 3 x y+ =【解析】因为 为正三角形，则 ， 解得 ，而 ， 所以椭圆方程为 ． 16．【答案】 【解析】 ， 则可知 在 单调递增，在 单调递减． 故 ． 在 单调递减，在 单调递增， 故 ． ， ，使得 成立，则 ，所以 ． 17． 证明：假设 ， 都小于 ，即 ， ，所以 ， 又 ， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 所以 ， 中至少有一个不小于 ． 18．【答案】（1） ；（2） 件． 【解析】（1）因为 ， ， ， ， ， ∴ ， ， 故线性回归方程为 ． FMN△ 3 3 2| | | | 12 2 3c OF MN b= = = ⋅ = 3b = 2 2 2 4a b c= + = 2 2 14 3 x y+ = 27( , ]e −∞ 2 1 3 1 2 1( ) 3( 1) ( 1) ( 1) (2 )x x xf x x e x e x e x− + − + − +′ = + − + ⋅ = + − ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞ max 27( ) (2)f x f e = = 2( ) ( 1)g x x a= + + ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ min( ) ( 1)g x g a= − = 1x∃ 2x ∈R 2 1( ) ( )f x g x≥ max min( ) ( )f x g x≥ 27a e ≤ a b 0 0a < 0b < 0a b+ < 2 2 21 2 2 2 1 ( 1) 0a b x x x x x+ = − + + = + + = + ≥ a b 0 ˆ 0.78 4.07y x= − 58 7 1 3245i i i x y = =∑ 25x = 15.43y = 7 2 1 5075i i x = =∑ 27( ) 4375x = 7 7 1 2 2 1 7 0.78 7( ) i i i i i x y xy b x x = = − = ≈ − ∑ ∑  ˆ 15.43 0.78 25 4.07a y bx= − = − × = − ˆ 0.78 4.07y x= −（2）当 时， （件）， 即进店人数为 人时，商品销售的件数约为 件． 19．【答案】 或 ． 【解析】若函数 在 上单调递增，则 ，∴ ． 若函数 恒成立， 则 ，解得 ， ∵ 为真， 为假，∴ ， 一真一假， 当 真 假时，由 或 ，解得 ； 当 假 真时，由 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 或 ． 20．【答案】（1）男： ，女： ；（2）有 的把握认为． 【解析】（1）男顾客的满意概率为 ， 女顾客的满意概率为 ． （2） ， 因为 ，所以有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意有 ， ，解得 ， ， 所以 的方程为 ． 80x = 0.78 80 4.07 58y = × − ≈ 80 58 { | 3m m > 1 2}m≤ < 2 1y x mx= + + ( 1, )− +∞ 12 m− ≤ − 2m ≥ 24 4(2 ) 1 0y x m x= − + − − ≤ 216( 2) 16 0Δ m= − − ≤ 1 3m≤ ≤ p q∨ p q∧ p q p q 2 1 m m ≥   3m > p q 2 1 3 m m 1 2}m≤ < 4 5P = 3 5P = 95% 40 4 50 5P = = 30 3 50 5P = = 2 2 100(40 20 10 30) 4.762(40 10)(30 20)(40 30)(10 20)K × − ×= =+ + + + 4.762 3.841> 95% 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2 2 a b a − = 2 2 4 2 1a b + = 2 8a = 2 4b = C 2 2 18 4 x y+ =（2）证明：设直线 （ ， ）， ， ， ， 将 代入 ，得 ． 故 ， ， 于是直线 的斜率 ，即 ， 所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 22．【答案】（1） 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数； （2） ． 【解析】（1） ， 由 知，当 时， ，故 在区间 上是增函数； 当 时， ，故 在区间 上是减函数； 当 时， ，故 在区间 上是增函数， 综上可知，当 时， 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减 函数． （2）由（1）知，当 时， 在 或 处取得最小值． 又 ， ， 由题设知 ，即 ，解得 ， 故 的取值范围是 ． :l y kx b= + 0k ≠ 0b ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y y kx b= + 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2(2 1) 4 2 8 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 2 2 2 1M x x kbx k + −= = + 22 1M M by k x b k = ⋅ + = + OM 1 2 M OM M yk x k = = − 1 2OMk k⋅ = − OM l ( )f x ( ,2)−∞ (2 , )a +∞ (2,2 )a (1,6) 2( ) 2(1 ) 4 ( 2)( 2 )f x x a x a x x a′ = − + + = − − 1a > 2x < ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,2)−∞ 2 2x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (2,2 )a 2x a> ( ) 0f x′ > ( )f x (2 , )a +∞ 1a > ( )f x ( ,2)−∞ (2 , )a +∞ (2,2 )a 0x ≥ ( )f x 2x a= 0x = 3 2 3 21 4(2 ) (2 ) (1 )(2 ) 4 2 24 4 243 3f a a a a a a a a a a= − + + ⋅ + = − + + (0) 24f a= 1 (2 ) 0 (0) 0 a f a f >  >  > 1 4 ( 3)( 6) 03 24 0 a a a a a > − + − >  > 1 6a< < a (1,6)