2019-2020 学年下学期高二期中考试数学试
卷
文 科 数 学
注意事项：
1. 因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，答题后请拍照上传。
2．答题前，考试务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上
3．作答时，请将答案写在答题卡上指定位置，写在本卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 19 小题，每小题 5 分，共 95 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在某一命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．复数 不是纯虚数
B．若 ，则复数 为纯虚数
C．若 是纯虚数，则实数
D．若复数 ，则当且仅当 时， 为虚数
4．在极坐标系中，点 对应的直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．某产品的组装工序图如图，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(单位:小时)，不同车间可
同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
7．下列有关相关指数 的说法正确的是（ ）
A． 越接近 ，表示回归效果越差 B． 的值越大，说明残差平方和越小
C． 越接近 ，表示回归效果越好 D． 的值越小，说明残差平方和越小
8． 的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
9．设 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中生
是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得 ，参照下表：
得到的正确结论是（ ）
A．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
11．用反证法证明：若整数系数的一元二次方程 有有理实数根，那么 ，
， 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）
A．假设 ， ， 至多有一个是偶数 B．假设 ， ， 至多有两个偶数
C．假设 ， ， 都不是偶数 D．假设 ， ， 不都是偶数
12．已知直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
13．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算
盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如
图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的 的值为
，则输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
2{ | log 1}A x x= ≤ { 2, 1, 0,1, 2}B = − − A B =
{1} {1,2} { 1, 0 ,1}− { 2, 1, 0,1, 2}− −
0 1 2 4
z a bi= +
1x = ( ) ( )2 1 1z x x i= − + +
( ) ( )2 24 3 2x x x i− + + + 2x = ±
z a bi= + 0b ≠ z
(4, )6P
π
(2,2 3) ( 3,2) (2 3,2) (2, 3)
: 0p x∀ ≥ 1xe ≥ p¬
0x∃ < 1xe < 0x∃ < 1xe ≥
0x∃ ≥ 1xe ≥ 0x∃ ≥ 1xe <
12 13 15 17
2R
2R 1 2R
2R 0 2R
2 4x ≤
2x ≤ 2x ≥ 0 2x< ≤ 2 2x− ≤ ≤
i z | | 1z i− = | |z
1 2 3 4
2 7.432K ≈
99%
99%
0.5%
0.5%
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ a
b c
a b c a b c
a b c a b c
l cos53 2
sin53
x t
y t
= °−
= °− t l
127° 37° 53° 143°
a
5 m
19 35 67 13114．下列说法中正确的是（ ）
A．“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件
B．若 ， ，则 ，
C．若 为假命题，则 ， 均为假命题
D．“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
15．在极坐标系中，下列方程为圆 的切线方程的是（ ）
A． B． C． D．
16．已知 为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设 且为偶数 真，则还需利用归纳假设再证（ ）
A． 时等式成立 B． 时等式成立
C． 时等式成立 D． 时等式成立
17．在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知命题 ： ， ，命题 ： ， 恒成立．若
为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
19．在二维空间中，正方形的一维测度（周长） （ 为正方形的边长），二维测度 （面
积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积） （ 为正方体的棱长），三维测度（体积）
；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度 ，则其四维测度 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
20．已知 为虚数单位，实数 满足 ，则 ．
21．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课，甲、乙、丙、丁四个人
分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：
我不选太极拳和足球．
乙：我不选太极拳和游泳．
丙：我的要求和乙一样．
丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是 ．
22．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线
与曲线 （ 为参数）相交于 ， 两点，则线段 的中点的直角坐标为 ．
23．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们研究过如图
所示的三角形数：将三角形数 ， ， ， ，…记为数列 ，将可被 整除的三角形数按从小
到大的顺序组成一个新数列 ，可以推测： 是数列 中的第 项．
三、解答题：本题共 3 个题，24 题 10 分，25 题 12 分，26 题 13 分，共 35 分．
24．（10 分）某校有 名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取
份和 份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：
（1）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（ 分为及格分数线）；
（2）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：
问是否有 的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？（本题可以参考独立性检验）附：临
界值表
(0) 0f = ( )f x
2
0 0 1 0x x− − > 2 1 0x x− − <
p q∧ p q
6
πα = 1sin 2
α =
6
πα ≠ 1sin 2
α ≠
4sinρ θ=
cos 2ρ θ = 2cosρ θ= cos 1ρ θ = − sin 1ρ θ = −
n 1 1 1 1 1 1 1 11 2( )2 3 4 1 2 4 2n n n n n
− + − + + − = + + +− + +
( 2n k k= ≥ )
1n k= + 2n k= +
2 2n k= + 2( 2)n k= +
ABC△ tan tan 1A B > ABC△
p x∃ ∈R 2( 1)( 1) 0m x+ + ≤ q x∀ ∈R 2 1 0x mx− + >
p q∧ m
2m ≥ 2m ≤ − 1m > −
2m ≤ − 2m ≥ 1 2m− < ≤
4l a= a 2S a=
26S a= a
3V a= 34V a= W =
4a 41
2 a 42a 43a
i ,x y ( 2 )x i i y i+ = − | |x yi− =
xOy O x 4
πθ =
2( 1)
x t
y t
=
= − t A B AB
1 3 6 10 { }na 5
{ }nb 2020b { }na
1400
20 50
90
90%
0:p x∃ ∈R :p x¬ ∀ ∈R参考公式： ．
25．（12 分）已知 的三个内角 ， ， 为等差数列，且 ， ， 分别为角 ， ，
的对边，求证： ．
26．（13 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），
以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
，已知直线 与曲线 交于不同的两点 ， ．
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设 ，求 的取值范围．
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
A B C a b c A B C
1 1 1( ) ( ) 3( )a b b c a b c− − −+ + + = + +
xOy l 1 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t 0 α π≤ <
x C
2 4 cos 6 sin 12 0ρ ρ θ ρ θ− − + = l C A B
l C
(1,2)P 2 2PA PB+
ABC△文 科 数 学 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 19 小题，每小题 5 分，共 95 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．【答案】B
【 解 析 】 ∵ 集 合 ， ， ∴
．
2．【答案】B
【解析】原命题与其逆否命题同真同假，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假，故真
命题个数为偶数．
3．【答案】B
【解析】对于 A， 时，复数 是纯虚数，错误；
对于 B，当 ，复数 为纯虚数，正确；
对于 C， 是纯虚数，则 ，即 ，故错误；
对于 D，复数 ， 未注明为实数，故错误．
4．【答案】C
【解析】由题意易得，设点 的极坐标化成直角坐标为 ，
则 ， ，故点 的极坐标化成直角坐标为 ．
5．【答案】D
【解析】全称命题的否定为特称命题，故 为 ， ．
6．【答案】A
【解析】从 需 小时，从 需 小时，可
同时进行在 小时内完成，由 需 小时，故所需最短时间为 小时．
7．【答案】B
【解析】由相关指数 的定义及理解可知， 的值越大，说明残差平方和越小．
8．【答案】C
2{ | log 1} { | 0 2}A x x x x= ≤ = < ≤ { 2, 1, 0,1, 2}B = − −
{1,2}A B =
0, 1a b= = z a bi= +
1x = 2z i=
( ) ( )2 24 3 2x x x i− + + +
2
2
4 0
3 2 0
x
x x
=
+ ≠
−
+
2x =
z a bi= + ,a b
(4, )6P
π
( , )x y
(4, )6P
π
(2 3,2)
p¬ 0x∃ ≥ 1xe <
10 9
10 2 12
2R 2R
4cos 2 36x
π= = 4sin 26y
π= =【解析】∵不等式 ，∴ ，
“ ”是不等式 成立的一个充分不必要条件．
9．【答案】B
【解析】设复数 在复平面内对应坐标为 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，表示圆 上的点 到原点的距离，
因此， （其中 为圆 的半径）．
10．【答案】B
【解析】由 ，可得有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有
关”．
11．【答案】C
【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定
成立，
故应假设 ， ， 都不是偶数．
12．【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
故直线的斜率为 ，倾斜角为 ．
13．【答案】D
【解析】由题， ， ， ， ，第一次循环， ， ；第二次循环，
， ；第三次循环， ， ；第四次循环， ， ；所以输出
．
14．【答案】D
【解析】对于 A，“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函
数的定义域中没有 ，函数可以是奇函数例如， ，∴A 不正确；
对于 B，若 ， ，则 ， ，∴B 不正确；
对于 C，若 为假命题，则 ， 中至少有一个为假命题，∴C 不正确；
对于 D，“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，满足否命题的
形式，∴D 正确．
2 4x ≤ 2 2x− ≤ ≤
0 2x< ≤ 2 4x ≤
z ( , )x y
| | 1z i− = 2 2( 1) 1x y+ − = 2 2( 1) 1x y+ − =
2 2| |z x y= + 2 2( 1) 1x y+ − = ( , )x y
2 2
max| | 0 (1 0) 1 1 2z r= + − + = + = r 2 2( 1) 1x y+ − =
2 7.432 6.635K ≈ > 99%
a b c
cos53 2
sin53
x t
y t
= °−
= °− tan53 2tan53 tan127 2tan53y x x= − ° − ° = ° − °
tan127k = ° 127°
5a = 7m = 1i = 11m = 2i = 19m =
3i = 35m = 4i = 67m = 5i = 131m =
131
(0) 0f = ( )f x
0 1y x
=
2
0 0 1 0x x− − > 2 1 0x x− − ≤
p q∧ p q
6
πα = 1sin 2
α =
6
πα ≠ 1sin 2
α ≠
0:p x∃ ∈R :p x¬ ∀ ∈R15．【答案】A
【解析】圆 ，即 ，
∴圆的直角坐标方程为 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
在 A 中， 即 ，故 是圆的切线，故 A 正确；
在 B 中， 是圆，不是直线，故 B 错误；
在 C 中， 即 ，故 不是圆的切线，故 C 错误；
在 D 中， 即 ，故 不是圆的切线，故 D 错误．
16．【答案】B
【解析】由于 是偶数，故 是 后面的第 个偶数．
17．【答案】D
【解析】由题意可得，在 中，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
结合三角形内角的条件，故 ， 同为锐角，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因此 ，
所以 是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，
反之，若 是钝角三角形，也推不出“ ”，
故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件．
18．【答案】B
【解析】当命题 为真时， ，解得 ；
当命题 为真时， ，解得 ，
当命题 与命题 均为真时，则有 ．
命题 为假命题，则命题 与命题 至少有一个为假命题．
所以此时 或 ．
19．【答案】B
【解析】在二维空间中，二维测度 与一维测度（周长） 的关系是 ；
4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ=
2 2 4x y y+ = 2 2( 2) 4x y+ − = (0,2) 2r =
cos 2ρ θ = 2x = cos 2ρ θ =
2cosρ θ=
cos 1ρ θ = − 1x = − cos 1ρ θ = −
sin 1ρ θ = − 1y = − sin 1ρ θ = −
k 2k + k 1
ABC△ tan tan 1A B > sin sin 1cos cos
A B
A B
>
0 A π< < 0 B π< < sin sin 0A B > cos cos 0A B >
A B
sin sin cos cosA B A B> cos cos sin sin 0A B A B− < cos( ) 0A B+ <
2 A B
π π< + < 0 2C
π< <
ABC△
ABC△ tan tan 1A B >
p 1 0m + ≤ 1m ≤ −
q 2 2m− < <
p q 1 2 12 2
m mm
≤ − ⇒ − < ≤ −− < −
2S a= 4l a= 2S l′ =
2 4 1 1 0Δ m= − × × 2 0t >
l t
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 4(sin cos ) 2 4sin 2 2PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + − = +
0 2
πα< < sin 2 (0,1]α ∈ 4sin 2 2 (2,6]α + ∈
2 2PA PB+ (2,6]
ABC△
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