2019-2020 学年下学期高二期中考试数学试
卷
理 科 数 学
注意事项：
1. 因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，答题后请拍照上传。
2．答题前，考试务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上
3．作答时，请将答案写在答题卡上指定位置，写在本卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 19 小题，每小题 5 分，共 95 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．利用反证法证明：若 ，则 ，假设为（ ）
A． 都不为 0 B． 不都为 0
C． 都不为 0，且 D． 至少有一个为 0
4．已知 是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排
周三，则不同的排法有（ ）
A．10 种 B．11 种 C．14 种 D．16 种
6．已知 ， ，其中 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．大小不确定
7．已知直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项
工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．64 种
9．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．二项式 的展开式中，常数项等于（ ）
A．448 B．900 C．1120 D．1792
11．已知函数 在 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，…为“梯形数”，根据图形的构成，此数列
的第 2020 项与 5 的差，即 （ ）
A． B． C． D．
13．若 ，则 等于（ ）
A．－4 B．4 C．－64 D．－63
14．将 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．36 种 B．42 种 C．48 种 D．60 种
15．已知 为定义在 上的可导函数， 为其导函数，且 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知 是函数 的极值点，则实数 a 的值为（ ）
1 i 2i1 iz
−= ++ | |z =
0 1
2 1 2
( ) lnf x x= ( )y f x= 1x =
4
π 3
4
π
3
π 2
3
π
0x y+ = 0x y= =
,x y ,x y
,x y x y≠ ,x y
i 20201 i 1( )1 i i
+ + =−
i−1 i+1 i 2i
2m a a= − − 1 3n a a= − − − 3a ≥ ,m n
m n> m n= m n<
2 1y x= − + 21 3ln2y x x m= − + m
1 2 2
1−
2
3−
( ) 2
ln xf x x x
= −
812x x
+
2( ) ln 1f x x a x= − + (1,3) a
( )2,18 [ ]2,18 ( ] [ ),2 18,−∞ + ∞ [ )2,18
2020 5a − =
20192018× 20172018× 20181013× 20191013×
6 2 6
0 1 2 6(2 )x a a x a x a x− = + + + + 1 2 3 6a a a a+ + +⋅⋅⋅+
( )f x R ( )f x′ ( ) ( )f x f x′<
( ) ( )2020 0 2020e f f> ( ) ( )2019 2020f ef<
( ) ( )2020 0 2020e f f< ( ) ( )2019 2020ef f>
1
ex = ( ) (ln 1)f x x ax= +A． B． C．1 D．e
17．在 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A．-126 B．-70 C．-56 D．-28
18．已知复数 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．设函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 ，都有 ，当
时， ，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
20．函数 的极大值是______．
21．若 的展开式的二项式系数之和为 ，则展开式的常数项为________．
22．设函数 在 处取得极值为 0，则 __________．
23．已知函数 ，存在不相等的常数 ，使得 ，且 ，
则 的最小值为____________．
三、解答题：本题共 3 个题，24 题 10 分，25 题 12 分，26 题 13 分，共 35 分．
24．（10 分）已知函数 是 的导函数，且 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在区间 上的最值．
25．（12 分）（1）已知 为正实数，用分析法证明： ．
（2）若 均为实数，且 ， ， ，用反证法证明：
中至少有一个大于 0．
2
1
e
1
e
1 n
x
x
−
| 2 | 3z − = 1y
x
+
3 6 2 6+ 2 6−
( )f x R ( )f x′ x 2( ) 6 ( )f x x f x= − −
( ,0)x∈ −∞ 2 ( ) 1 12f x x′ + < 221( 2) ( 2 ) 11 92f m f m m m+ ≤ − + + − m
2 ,3
− +∞
1 ,2
− +∞ [ 1, )− +∞ [ 2, )− +∞
( ) lnf x x x= −
( ) 3
2
3
axf x bx= − 2 1
3a x+ − 1x = a b+ =
1( ) lnf x x a xx
= − + ,m n ( ) ( ) 0f m f n′ ′= = 10,m e
∈
( ) ( )f m f n−
( ) ( )31 13 ( )f x x ax a f x′= − + ∈R ， ( )f x ( )2 0f ′ =
a
( )f x [ ]3,3−
,x y 2
2 2 3
x y
x y x y
+ ≤+ +
, ,a b c 2 12 3a x y= − + 2 2 3b y z= − + 2 12 6c z x= − +
cba ,,
( , )z x yi x y= + ∈R26．（13 分）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
( ) ln ( 1)f x x a x= − − a∈R
( )f x
1x ≥ ln( ) 1
xf x x
≤ + a理 科 数 学 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 19 小题，每小题 5 分，共 95 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．【答案】C
【解析】 ，则 ，故选 C．
2．【答案】A
【解析】函数 的导数为 ，
可得 在 处的切线的斜率为 ，
即 ， 为倾斜角，可得 ，故选 A．
3．【答案】B
【解析】 的否定为 ，即 ， 不都为 0，故选 B．
4．【答案】A
【解析】由题意可得 ，故选 A．
5．【答案】B
【解析】当乙在周一时有：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丙甲丁，乙丁甲丙；
当丙在周一时有：丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
当丁在周一时有：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
所以共 11 种，故选 B．
6．【答案】C
【 解 析 】
，
所以 ，故选 C．
7．【答案】D
( )( )
( )( )
1 i 1 i1 i 2i 2i i 2i i1 i 1 i 1 iz
− −−= + = + = − + =+ − + 1z =
( ) lnf x x= ( ) 1f x x
′ =
( )y f x= 1x = 1k =
tan 1α = α
4
πα =
0x y= = 0 0x y≠ ≠或 x y
2020
20201 1 11
i i i ii i
+ + = − = − −
( ) ( ) 1 12 1 3 2( ) 0
2 1 3
m n a a a a
a a a a
− = − − − − − − = − <
+ − − + −
m n 3y x x
′ = −
2 1y x= − + 21 3ln2y x x m= − + 3 2x x
− = −
1x = 11, 2 m +
1 2 12 m+ = − + 3
2m = −
( ) ( )f x f x− = ( )f x
0x > ( ) 2
lnx xf x x= − ( ) 3
3
2ln 1x xf xx′ = + −
( ) 0f x′ < 0 1x< < ( )f x ( )0,1
( ) 0f x′ > 1x > ( )f x ( )1,+∞
( )f x 1x =
8 2 0r− = 4r =
( ) 2 af x x x
′ = − ( ) 2 ln 1f x x a x= − + ( )1,3
2 0ax x
− = ( )1,3 22a x= ( )1,3 182 ( ) ( )
2020 2019
2020 2019f f
e e
> ( ) ( )2019 2020ef f<
( ) ( )' ln 1 1 2 lnf x ax ax= + + = +
1x e
= ( ) ( )ln 1f x x ax= + 1 2 ln 0af e e
′ = + =
ln 2a
e
= − 1a e
= 1
e
8n∴ = 81( )x
x
−
∴
( , )z x yi x y= + ∈R 2 3z − =
2 2( 2) 3x y− + = ( )2 22 3x y− + =
: 1l y kx= −
2
| 2 1| 3
1
k
k
− =
+
2 4 2 0k k− − = 2 6k = ±
1y
x
+
2 6+
( )388 2
1 8 8
1C ( ) ( 1) C 0,1,2, ,8kk k k k k
kT x x k
x
−−
+ = − = − =
( )3 3
81 C 56− = −19．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
记 ，则 ，
所以 为奇函数，且 ，
又因为当 时， ，即 ，
所以当 时， ， 单调递减，
又因为 为奇函数，所以 在 上单调递减，
若 ，
则 ，
即 ，所以 ，所以 ．
故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
20．【答案】
【解析】 ， ，
令 ，解得 ，当 时， ；当 时， ，
故 在 处取得极大值，极大值为 ，故答案为 ．
21．【答案】-20
【解析】由于 的展开式的二项式系数之和为 ，可得 ，
所 以 的 展 开 通 项 为 ， 令 ， 解 得
( ) ( )26f x x f x= − − ( ) ( ) ( ) ( )22 1 13 32 2f x x x f x x x − + = − − − − + −
( ) ( ) 2 13 2g x f x x x= − + ( ) ( )g x g x= − −
( )g x ( ) ( ) 1' 6 2g x f x x′ = − +
( ),0x∈ −∞ ( )2 1 12f x x+′ < ( ) 16 02f x x +′ − <
( ),0x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
( )g x ( )g x R
( ) ( ) 2212 2 11 92f m f m m m+ ≤ − + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 3 2 2 2 3 2 22 2f m m m f m m m+ − + + + ≤ − − − + −
( ) ( )2 2g m g m+ ≤ − 2 2m m+ ≥ − 2
3m ≥ −
1−
( ) lnf x x x= − ( ) 1 1f x x
′∴ = −
( ) 0f x′ = 1x = 0 1x< < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ <
( )f x 1x = ( )1 ln1 1 1f = − = − 1−．
因此，展开式的常数项为 ，故答案为 ．
22．【答案】
【解析】 ，因为函数 在 处取得极值为 0，
所以 ， ，
解得 或 ， ，
代入检验 时， 无极值，所以 （舍）；
， 符合题意，所 ．
23．【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
，
令 ，即 ， ，
因为存在 ，使得 ，且 ，
即 在 上有两个不相等的实数根 ，且 ， ，
所以 ， ，
，
令 ，
则 ，当 时， 恒成立，
7
9
−
2 2( ) 2f x ax bx a′ = − + )(xfy = 1=x
2 1(1) 03 3
af b a= − + − = 2(1) 2 0f a b a= − + =′
1a b= = 2
3a = − 1
9b = −
1a b= = 2 2( ) 2 1 ( 1) 0f x x x x= − + = − ≥′ 1a b= =
2
3a = − 1
9b = − 7
9a b+ = −
4
e
1( ) lnf x x a xx
= − + ( )0,+∞
2
2 2
1 1( ) 1 a x axf x x x x
+ +′ = + + =
( ) 0f x′ = 2 1 0x ax+ + = ( )0,x∈ +∞
,m n ( ) ( ) 0f m f n′ ′= = 10,m e
∈
1m n⋅ =
1n m
= 1a m m
= − −
1 1 1 1ln ln1( ) ( ) m m m mm m mf m f n mm m
− − − + − − −
∴ − = − +
1 1l2 nm m mm m
− − − +
=
( ) 1 12 lnh x x x xx x
= − − + −
( ) ( )( )
2 2
2 1 112 1 ln lnx xh x x xx x
− + ′ = − =
10,x e
∈
( ) 0h x′ <
2 1 0x ax+ + = ( )0,x∈ +∞ ,m n m n a+ = −所以 在 上单调递减， ，即 的最小值为
．
故答案为 ．
三、解答题：本题共 3 个题，24 题 10 分，25 题 12 分，26 题 13 分，共 35 分．
24．【答案】（1） ；（2）函数 在 区间上的最大值为 ，最小值为 ．
【解析】（1） ， ，
， ．
（2）由（1）可得 ， ，
令 ，解得 ，列出表格如下：
极大值 极小值
又 ， ，
所以函数 在 区间上的最大值为 ，最小值为 ．
25．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证：因为 x，y 为正实数，要证 ，
只要证 ，
即证 ，
即证 ，
( )h x 10,x e
∈
( )min
1 4h x h e e
∴ = = ( ) ( )f m f n−
4
e
4
e
4 ( )f x [ ]3,3−
3
19 13
3
−
( ) 31 1( )3f x x ax x= − + ∈R ( ) 2f x x a′∴ = −
( )2 4 0f a′ = − = 4a∴ =
( ) 31 4 13f x x x= − + ( ) 2 4f x x′ = −
( ) 2 4 0f x x′ = − = 2x = ±
x ( , 2)−∞ − 2− ( )2,2− 2 (2, )+∞
( )f x′ + 0 − 0 +
( )f x
19
3
13
3
−
( ) 193 4 3f − = −
( )f x [ ]3,3−
3
19 13
3
−
2
2 2 3
x y
x y x y
+ ≤+ +
( 2 ) (2 ) 2
(2 )( 2 ) 3
x x y y x y
x y x y
+ + + ≤+ +
2 23 12 3 2(2 )( 2 )x xy y x y x y+ + ≤ + +
2 22 0x xy y− + ≥即证 ，显然成立，所以原不等式成立．
（2）证明：假设 都小于等于 0，则 ，
又由 ， ， ，
得 ，
，
这与 矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．
26．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
若 ，则 恒成立，∴ 在 上单调递增；
若 ，则由 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可知：若 ， 在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2） ，
令 ， ， ，
令 ， ，
①若 ， ， 在 上单调递增， ，
∴ 在 上单调递增， ，
从而 不符合题意；
2( ) 0x y− ≥
, ,a b c 0a b c+ + ≤
2 12 3a x y= − + 2 2 3b y z= − + 2 12 6c z x= − +
2 2 21 12 2 3 23 6a b c x y y z z x+ + = − + + − + + − +
( ) ( ) ( )2 2 2 11 1 1 02x y z= − + − + − + >
0a b c+ + ≤
1 ,2
+∞
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1 axf x x
=′ −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 10f x x a
= ⇒ =′
10,x a
∈
( ) 0f x′ > 1 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x′ <
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( ) ( )2ln 1ln
1 1
x x a xxf x x x
− −
− =+ +
( ) ( )2ln 1g x x x a x= − − ( )1x ≥ ( ) ln 1 2g x x ax+′ = −
( ) ( ) ln 1 2h x g x x ax= = + −′ ( ) 1 2axh x x
−′ =
0a ≤ ( ) 0h x′ > ( )g x′ [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 2 0g x g a≥ = −′ >′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≥ =
( ) ln 01
xf x x
− ≥+②若 ，当 ， ，∴ 在 上单调递增，
从而 ，
∴ 在 上单调递增， ，
从而 不符合题意；
③若 ， 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减， ，
∴ 在 上单调递减， ， ，
综上所述，a 的取值范围是 ．
10 2a< < 11, 2x a
∈
( ) 0h x′ > ( )g x′ 11, 2a
( ) ( )1 1 2 0g x g a≥ = −′ >′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≥ =
( ) ln 01
xf x x
− ≥+
1
2a ≥ ( ) 0h x′ ≤ [ )1,+∞
( )g x′ [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 2 0g x g a≤ = −′ ≤′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≤ = ( ) ln 01
xf x x
− ≤+
1 ,2
+∞
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