第 1 页 共 13 页
2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试
高三年级 数学学科试题
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 中的元素个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2. 双曲线 C 的方程为 ，则（ ）
A．实轴长为 2，焦点坐标
B．实轴长为 2，焦点坐标
C．实轴长为 ，焦点坐标
D．实轴长为 ，焦点坐标
3.已知实数 x，y 满足 ，则 （ ）
A．最小值为 0，不存在最大值 B．最小值为 4，不存在最大值
C．最大值为 0，不存在最小值 D．最大值为 4，不存在最小值
4. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，
“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一
部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（ ）
A．16
B．18
C．12
D．14
5.若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.函数 的图像大致是（ ）
2{ 2 3 0}= ∈ − − ≤A x Z x x 2 1 1{ 2 }2
−= >yB y ∩A B
2 22 1− =x y
(0, 3),(0, 3)−
6 6(0, ),(0, )2 2
−
2 ( 3,0),( 3,0)−
2 6 6( ,0),( ,0)2 2
−
2 4
1
2 2
+ ≥
− ≥ −
− ≤
x y
x y
x y
2= −z x y
(0, )2
π∈x sin 10 B.a>1，bx y a ba b
2 2 2( )+ − =x y b b
1, 3
∈ −∞ a ∈b R 3( ) = − −f x ax x b [ ]1,1− 2
3
2 2+a b
, , a b c 4, 4, 0= = ⋅ = 且a b a b c 2 2 15 0− ⋅ + = c a c 4+ + − c a b c
( ) 2 3sin ( ) cos(2 )12 2 3
π π= + − −f x x x
)(xf
[0, ]2
π∈x )(xf
90∠ = ∠ = ABC BCD 60∠ = BAD ADP∆
2 2AB AP CD= = = 3BP =
AD BP⊥
A
B
C
P
D第 4 页 共 13 页
20.（15 分）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 a2，a4 的等差中项，数列
满足：数列 的前 n 项和为 .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）数列 满足： ， ，证明
21.（15 分）如图，已知抛物线的标准方程为 ，其中 O 为坐标原点，抛物线的焦点坐标为
F（1,0），A 为抛物线上任意一点（原点除外），直线 AB 过焦点 F 交抛物线于 B 点，直线 AC 过点 M（3，
0）交抛物线于 C 点，连结 CF 并延长交抛物线于 D 点.
（1）若弦|AB|的长度为 8，求 的面积；
（2）求 的最小值.
22.（15 分）已知正实数 a，设函数 .
（1）若 时，求函数 在[1，e]的值域；
（2）对任意实数 均有 恒成立，求实数 a 的取值范围.
{ }na 1>q 2 3 4 14+ + =a a a 3 1+a { }nb
{ }nn ba ⋅ nn 2⋅
{ }na { }nb
{ }nc 1 3=c 1 , ∗
+ = + ∈n
n n
n
bc c n Nc
( )
1 2
2 ,2
∗++ + + > ∈ n
n nc c c n N
2 2 ( 0)= >y px p
∆OAB
| | | |⋅AB CD
( ) 2 2 ln= −f x x a x x
2=a )(xf
1 ,2
∈ +∞ x ( ) 2 1≥ −f x a x第 5 页 共 13 页
2019 学年第二学期“山水联盟”返校考试
高三年级数学学科参考答案
一、选择题
1 答案 D 解析： ， ， 共 3 个元素，故选择 D.
2. 答案 D 解析：焦点在 x 轴上， ，故选 D
3. 答案 A 【解析】可行域如图所示，易知目标函数 有最小值 ，不存在最大值，故选 A。
4.答案 C
5. 答案 A
6. 答案 B【解析】函数 是奇函数，并且当 时, 恒成立，故选 B。
7.答案 D 解析：由
因此做随机变量 的分布列。
-1 0 1
，则 减小。故选
8.答案 C
9.答案 B
{ 1 0,1,2,3}A = − ， (0, )B = +∞ ={1,2,3}A B∩
2 2 21 3, 1,2 2a b c= = =
yxz −= 2 0
3
cossin)( x
xxxxf
−= +∞→x 0)( →xf
( ) 2 1E X a b c a c= + + = =和 可得
( ) ( 2)D X D X= −
2X − 2Y X= −令
X
P a b c
( )2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) = 1D Y E Y E Y a c c a a c b= − = + − − + = − ( )D X D第 6 页 共 13 页
【解析】令 ，则条件等价为方程 有 3 个实数根。
当 时， .
对 A 选项分析：当 ， 时， 在 ， ， ， 图像如
图所示：
，此时方程 最多只有 1 个实数根，所以 A 选项错误。
对 B 选项分析：当 ， 时， 在 ， ， ， 图像如
图所示：
，故方程 可能会出现 3 个实数根，所以 B 选项正确。
对 C 选项分析：当 ， 时， 在 ， 图像如图所示：
，
此时方程 最多只有 2 个实数根，所以 C 选项错误。
对 D 选项分析：当 ， 时， 在 ， 图像如图所示：
，
此时方程 最多只有 2 个实数根，所以 D 选项错误。
所以，本题的正确选项是 B.
10. 答案 C
>−
≤+=−=
0,)1(
0,)()()(
xxa
xeaxaxxfxg
x
bxg =)(
0≤x )1()(' ++= axexg x
1>a 0>b )(xg ( )↓+−∞− )1(, a ( )↑+− 0),1(a ↓+∞),0( )(xg
bxg =)(
1>a 0q 2=q
12
3
1 ==
q
aa 12 −= n
na
1=n 211 =ba第 11 页 共 13 页
当 时，
则 ， .………………………………………………………………………6 分
(2)
法 1. ， ………………………9 分
累加得当 ， ，
当
………………………………………………………………………………12 分
………………………………15 分
法 2.先用数学归纳法证明当 ， .
①当 时， ，左式 右式，不等式成立.
②假设 时，不等式成立，即
当 时， ，因为 在 上单调递增，由
，得 ，即 ，可得 ，
不等式也成立.
③由①②得证当 ， .………………………………………………………………12 分
……………………………15 分
2≥n ( ) ( ) 11 21212 −− ⋅+=⋅−−⋅= nnn
nn nnnba
( ) 121 −⋅+= n
nn nba 1+= nbn
n
nn c
ncc 1
1
++=+
( ) ( )
2
2
22
1
112
n
nn c
nncc
++++=+ ( ) ( ) ( )12112 2
2
22
1 +>+++=−+ nc
nncc
n
nn
×>−
×>−
×>−
− ncc
cc
cc
nn 2
32
22
2
1
2
2
2
2
3
2
1
2
2
2≥n [ ] 23223 222 −+=+++>− nnncn 722 ++> nncn
7,1 22 ++== nncn n
2
172 +>++≥∴ nnncn
( )
2
2
2
2
1
2
3
2
1
2
5
2
3
21
+=⋅
++
=
++++>+++ nnn
n
nccc n
∗∈ Nn 2
1+> ncn
1=n 2
3
2
1,31 =+= nc >
kn =
2
1+> kck
1+= kn
k
kk c
kcc 1
1
++=+ ( )
x
kxxf 1++= ( )+∞+ ,1k
12
1 +>+> kkck
( )
+>
2
1kfcf k
2
1
1
2
1
1
+
+++>+
k
kkck 2
3
1 +>+ kck
∗∈ Nn 2
1+> ncn
( )
2
2
2
2
1
2
3
2
1
2
5
2
3
21
+=⋅
++
=
++++>+++ nnn
n
nccc n 第 12 页 共 13 页
21.
解析：（1）因为焦点坐标为（1,0），所以
设直线 AB 的方程为 （t 为斜率的倒数）
，则有 --------4 分
所以 ，
的面积为 -- --6 分
另解：O 到直线 AB 的距离为 ，所以 的面积为 --6 分
（2）因为 A 在抛物线上可以设 ，根据第（1）问可知 A,B 两点的纵坐标之积为定值为 ，所
以 ，则有 ，其中
可得： -----------------------------------9 分
设直线 AC 的方程为 ，代入抛物线可得
，所以可知 A,C 两点的纵坐标之积为-12
所以 ，同理可得 ---------------------------12 分
综上可知： =
所以有 （等号成立条件 ）
则有
-----------------15 分
22.解析：（1）由 ，
2 4p =
1x ty= +
2
2
1 4 4 0
4
x ty y ty
y x
= + ⇒ − − = =
2 2
1 2| | 1 | | 4(1 ) 8AB t y y t= + − = + =
1t = ±
OAB∆ 2 2
1 2 1 2 1 2
1 11 | | ( ) 4 2 1 2 22 2y y y y y y t× × − = + − = + =
2
1 2
21 t
=
+ OAB∆ 1 28 2 22 2
× × =
2( ,2 )A a a 4−
2
1 2( , )B a a
− 21| | 4(1 ( ) )
AB
AB k
= + 4 2
2 12
ABk
a aa a
= =
− −
2 2
1
1| | 4(1 ( ) ) ( )2
a aAB a a
−
= + = +
3x my= +
2
2
3 4 12 0
4
x ty y ty
y x
= + ⇒ − − = =
2
9 6( , )C a a
− 23| | ( )3
aCD a
= +
| | | |AB CD⋅
2
2 2 2 2
2
1 3 1 3 1 3( ) ( ) [( ) ( )] (3 )3 3 3 3
a a aa aa a a a a
+ ⋅ + = + ⋅ + = + + +
2 2
2 2
2 2
1 3 1 3 256| | | | (3 ) (3 2 )3 3 3 3 9
a aAB CD a a
⋅ = + + + ≥ + + = 2 3a =
256| | | | 9AB CD⋅ 最小值为
( ) xxxxf ln22 −=第 13 页 共 13 页
得 ，（2 分）
在 单调递增，
所以： 在 单调递增
所以 .---------6 分
（2）由题意可得： ，即 .-------8 分
事实上，当 时
记 ，设 ，则 为关于 的二次函数，-------10 分
定义域为 ，其对称轴为 .
.
设 ，
当 递增；当 递减.
所以：
即 ，于是有：
所以: ---------15 分
( ) ( )xxxf ln12 −−=′ ( ) 0112 ≥
−=′′
xxf
( )xf ′ [ ]e,1 ( ) ( ) 01 =′≥′ fxf
( )xf [ ]e,1
( ) [ ]eexf 2,1 2 −∈
( ) af ≥1 10 ≤< a
10 ≤< a
0ln1212ln 2
2
22 ≥−−−⇒−≥− xxa
x
a
xxaxxax
11 ≥=
at ( ) xxtxtxtg ln1222 −−−= ( )tg t
[ )+∞,1 22
12
x
xt
−=
xxxxx 222414 24 ≥⋅=≥+ 12
12
2
微信/支付宝扫码支付