2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查数学
试卷（文科）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）
1．已知集合 A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合 B＝[0，+∞），则 A∩B＝ ．
2．若复数 z＝（1+i）（3﹣ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a＝ ．
3．函数 y＝ 的定义域为 ．
4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不
充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
5．已知等差数列{an}，a4+a6＝10，前 5 项的和 S5＝5，则其公差为 ．
6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时 f（x）＝log2（2﹣x），则 f（0）+f（2）
＝ ．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 ，且它的一
个顶点与抛物线 y2＝﹣4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 ．
8．如图所示，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 A﹣DED1
的体积为 ．
9．若曲线 C1：y＝ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的两条切线互相垂直，则实数 a
的值为 ．
10．已知正实数 x，y 满足 xy﹣x﹣2y＝1，则 x+2y 的最小值为 ．
11．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， ＝λ ，
＝μ ．若 ＝1， • ＝﹣ ，则 λ+μ＝ ．
12．已知点 A（﹣1，0），B（2，0），直线 l：kx﹣y﹣5k＝0 上存在点 P，使得 PA2+2PB2＝9
成立，则实数 k 的取值范围是 ．
13．在三角形 ABC 中，角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，若 b＝3，2sin2A+sin2B+C，则 sinC 的最大值是 ．
14．已知函数 f（x）＝|lnx|，g（x）＝ ，则方程|f（x）+g（x）|＝1 实根
的个数为 ．
二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题 14 分，18、19、20 每题 16 分，共 90 分）
15．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点．
（1）求证：BF∥平面 A1EC；
（2）求证：平面 A1EC⊥平面 ACC1A1．
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，
且 ∠AOP＝α， 将 点 P 沿 单 位 圆 按 逆 时 针 方 向 旋 转 角 β 后 到 点 Q（a，b） ， 其 中
（1）若点 P 的坐标为 ， 时，求 ab 的值；
（2）若 ，求 b2﹣a2 的取值范围．
17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC
为湿地两边夹角为 120°的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立
游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM＝2 千米，
AN＝2 千米．（1）求线段 MN 的长度；
（2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值．
18．（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别为 F1、F2，焦距为 2，一条准线方程为 x＝2．P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C
于另一点 Q．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2 三点的圆的方程；
（3）若 ＝λ ，且 λ∈（ ，2），求 • 的最大值．
19．（16 分）已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝ +n﹣4，bn＝（﹣1）n（an﹣
3n+21），其中 λ 为实数，n 为正整数．
（1）对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列；
（2）证明：当 λ≠18 时，数列 {bn} 是等比数列；
（3）设 Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，是否存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣
12？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．
20．（16 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2+x，a∈R．
（1）若 a＝2，求函数 f（x）的单调区间；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ax﹣1 恒成立，求整数 a 的最小值．
（3）若 a＝﹣2，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥ ．2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查
数学试卷（文科）（12 月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）
1．已知集合 A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合 B＝[0，+∞），则 A∩B＝ {1，2} ．
【解答】解：∵A＝{﹣3，﹣1，1，2}，B＝[0，+∞），
∴A∩B＝{1，2}，
故答案为：{1，2}．
2．若复数 z＝（1+i）（3﹣ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a＝ ﹣3 ．
【解答】解：复数 z＝（1+i）（3﹣ai）＝3+a+（3﹣a）i，
∵复数 z 为纯虚数，
∴ ，解得 a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
3．函数 y＝ 的定义域为 [2，+∞） ．
【解答】解：由 2x﹣4≥0，得 2x≥4，则 x≥2．
∴函数 y＝ 的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的 充分 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不
充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）
【解答】解：x2+3x﹣4＞0，
解得：x＞1 或 x＜﹣4．
∴x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的充分不必要条件．
故答案为：充分．
5．已知等差数列{an}，a4+a6＝10，前 5 项的和 S5＝5，则其公差为 2 ．
【解答】解：∵等差数列{an}，a4+a6＝10，前 5 项的和 S5＝5，设公差为 d．
由题意可得 2a1+8d＝10，5a1+ ＝5，
解方程组求得 d＝2，故答案为 2．
6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时 f（x）＝log2（2﹣x），则 f（0）+f（2）＝
﹣2 ．
【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时 f（x）＝log2（2﹣x），
则 f（0）+f（2）＝0﹣f（﹣2）＝﹣log2（2+2）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 ，且它的一
个顶点与抛物线 y2＝﹣4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 y＝ x ．
【解答】解：设双曲线的方程为 ，
∵抛物线 y2＝﹣4x 中 2p＝4
∴抛物线 y2＝﹣4x 的焦点 F（﹣1，0），
∵双曲线的一个顶点与抛物线 y2＝﹣4x 的焦点重合
∴a＝1，
又∵双曲线的一条准线方程为 ，
∴ ，解得 c＝2，
∴b2＝4﹣1＝3，即
∴双曲线的渐近线方程为 y＝ x，
故答案为：y＝ x．
8．如图所示，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 A﹣DED1
的体积为 1 ．
【解答】解：∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，
∴棱锥 A﹣DED1 的体积为：＝ ＝ ＝1．
故答案为：1．
9．若曲线 C1：y＝ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的两条切线互相垂直，则实数 a
的值为 ﹣ ．
【解答】解：由 y＝ax3﹣6x2+12x，得 y′＝3ax2﹣12x+12，
∴y′|x＝1＝3a，
由 y＝ex，得 y′＝ex，
∴y′|x＝1＝e．
∵曲线 C1：y＝ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的切线互相垂直，
∴3a•e＝﹣1，解得：a＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
10．已知正实数 x，y 满足 xy﹣x﹣2y＝1，则 x+2y 的最小值为 4+2 ．
【解答】解：正实数 x，y 满足 xy﹣x﹣2y＝1，xy＝x+2y+1，
由基本不等式可得，xy＝ x•（2y） ，当且仅当 x＝2y 时取等号，
∴x+2y+1 ，
∵x+2y＞0
解不等式可得，x+2y
故答案为：4+2
11．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， ＝λ ，
＝μ ．若 ＝1， • ＝﹣ ，则 λ+μ＝ ．
【解答】解：由题意可得若 • ＝（ + ）•（ + ），
＝ • + • + • + •
＝2×2×cos120°+ •μ +λ • +λ •μ＝﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，
∴4λ+4μ﹣2λμ＝3 ①．
• ＝﹣ •（﹣ ）＝ • ＝（1﹣λ） •（1﹣μ）
＝（1﹣λ） •（1﹣μ）
＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）＝﹣ ，
即﹣λ﹣μ+λμ＝﹣ ②．
由①②求得 λ+μ＝ ，
故答案为： ．
12．已知点 A（﹣1，0），B（2，0），直线 l：kx﹣y﹣5k＝0 上存在点 P，使得 PA2+2PB2＝9
成立，则实数 k 的取值范围是 [ ] ．
【解答】解：由题意得：直线 l：y＝k（x﹣5），
因此直线 l 经过定点（5，0）；
设点 P 坐标为（x0，y0）；∵PA2+2PB2＝9，
∴
化简得： ，
因此点 p 为 x2+y2﹣2x＝0 与直线 l：y＝k（x﹣5）的交点．
所以应当满足圆心（1，0）到直线的距离小于等于半径
∴
解得：
故答案为
13．在三角形 ABC 中，角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，若 b＝3，2sin2A+sin2B+C，则 sinC 的最大值是 ．
【解答】解：∵b＝3，2sin2A+sin2B+ C，
∴由正弦定理可得：2a2+b2+ ab＝3c2，可得 c2＝ ，
所 以 cosC ＝ ＝ ＝ ≥
＝ ，当且仅当 a＝ b＝3 时取等号，
故 sinCmax＝ ＝ ．
故答案为： ．
14．已知函数 f（x）＝|lnx|，g（x）＝ ，则方程|f（x）+g（x）|＝1 实根
的个数为 4 ．
【解答】解：由|f（x）+g（x）|＝1 可得 g（x）＝﹣f（x）±1．
g（x）与 h（x）＝﹣f（x）+1 的图象如图所示，图象有 2 个交点
g（x）与 φ（x）＝﹣f（x）﹣1 的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|＝1 实根的个数为 4．
故答案为：4．
二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题 14 分，18、19、20 每题 16 分，共 90 分）
15．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点．
（1）求证：BF∥平面 A1EC；
（2）求证：平面 A1EC⊥平面 ACC1A1．
【解答】证明：（1）连接 A1C 与 AC1 交于点 O，连接 OF，
∵F 为 AC 的中点，
∴OF∥C1C 且 OF＝ C1C，
∵E 为 BB1 的中点，
∴BE∥C1C 且 BE＝ C1C，
∴BE∥OF 且 BE＝OF，
∴四边形 BEOF 是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF⊄平面 A1EC，OE⊂平面 A1EC，
∴BF∥平面 A1EC（2）∵AB＝CB，F 为 AC 的中点，
∴BF⊥AC
由（1）知 BF∥OE，
∴OE⊥AC，
∵AA1⊥底面 ABC，BF⊂底面 ABC，
∴AA1⊥BF，
∵BF∥OE，
∴OE⊥AA1，
∵AA1∩AC＝A，
∴OE⊥平面 AA1C1C
∵OE⊂面 A1EC，
∴平面 A1EC⊥平面 AA1C1C．
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，
且 ∠AOP＝α， 将 点 P 沿 单 位 圆 按 逆 时 针 方 向 旋 转 角 β 后 到 点 Q（a，b） ， 其 中
（1）若点 P 的坐标为 ， 时，求 ab 的值；
（2）若 ，求 b2﹣a2 的取值范围．【解答】解：（1）A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，
且 ∠AOP＝α， 将 点 P 沿 单 位 圆 按 逆 时 针 方 向 旋 转 角 β 后 到 点 Q（a，b） ， 其 中
，
若点 P 的坐标为 ， 时，
则 cosα＝ ，sinα＝ ，且 a＝cos（α+ ），b＝sin（α+ ），
故 ab＝sin（α+ ）cos（α+ ）＝ sin（2α+ ）＝ cos2α＝ （2cos2α﹣1）＝﹣
．
（2）若 ，则 a＝cos（β+ ），b＝sin（β+ ），
∴b2﹣a2 ＝ ﹣ ＝﹣cos（2β+ ）．
∵ ，∴2β+ ∈[ ， ]，∴cos（2β+ ）∈[﹣1， ]，
∴b2﹣a2 ＝﹣cos（2β+ ）∈[﹣ ，1]．
17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC
为湿地两边夹角为 120°的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立
游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM＝2 千米，
AN＝2 千米．
（1）求线段 MN 的长度；
（2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值．
【解答】解：（1）在△AMN 中，由余弦定理得，MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcos120°…
＝ ，
所以 千米． …
（2）设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°﹣α
在△PMN 中，由正弦定理得， ．…因为 ＝ ，
所以 PM＝4sin（1200﹣α），PN＝4sinα…
因此 PM+PN＝4sin（1200﹣α）+4sinα…
＝
＝ ＝ …
因为 0°＜α＜120°，所以 30°＜α+30°＜150°．
所以当 α+300＝900，即 α＝600 时，PM+PN 取到最大值 ．…
答：两条观光线路距离之和的最大值为 千米．…（16 分）
18．（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别为 F1、F2，焦距为 2，一条准线方程为 x＝2．P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C
于另一点 Q．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2 三点的圆的方程；
（3）若 ＝λ ，且 λ∈（ ，2），求 • 的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 c＝1，a2＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆 C 的方程为 ；
（2）∵P（0，1），F1（﹣1，0），
∴直线 PF1 的方程为 x﹣y+1＝0，
由 ，解得 ，或 ，
∴点 Q 的坐标为（﹣ ，﹣ ），
设过 P，Q，F2 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0，∴ ，解得 ，
∴所求圆的方程为 x2+y2+ ；
（3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 ＝（x1+1，y1）， ＝（﹣1﹣x2，﹣y2 ），
∵ ＝λ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 x2＝ ，
∴ ＝x1x2+y1y2
＝x2（﹣1﹣λ﹣λx2）﹣
＝﹣
＝﹣
＝ ，
∵ ，
∴ ，当且仅当 ，即 λ＝1 时取等号，
∴ ，
即 的最大值为 ．
19．（16 分）已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝ +n﹣4，bn＝（﹣1）n（an﹣
3n+21），其中 λ 为实数，n 为正整数．
（1）对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列；（2）证明：当 λ≠18 时，数列 {bn} 是等比数列；
（3）设 Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，是否存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣
12？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝a1a3，
即（ ）2＝ 2 ，矛盾．
所以{an}不是等比数列．
（2）解：因为 bn+1＝（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]＝（﹣1）n+1（ an﹣2n+14）
＝﹣ （﹣1）n•（an﹣3n+21）＝﹣ bn
当 λ≠﹣18 时，b1＝﹣（λ+18）≠0，由上可知 bn≠0，∴ （n∈N+）．
故当 λ≠﹣18 时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣ 为公比的等比数列
（3）当 λ＝﹣18 时，bn＝0，从而 Sn＝0．成立．
当 λ≠﹣18 时，由（Ⅱ）得 ，于是 ，
要使对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12．
即 ．
令
当 n 为正奇数时，
当 n 为正偶数时， ，∴ ．（16 分）
于是可得 ．
综上所述，存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12；λ 的取值范围为（﹣∞，﹣
6）．（18 分）
20．（16 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2+x，a∈R．
（1）若 a＝2，求函数 f（x）的单调区间；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ax﹣1 恒成立，求整数 a 的最小值．
（3）若 a＝﹣2，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥ ．【解答】解：（1）若 a＝2，则 f（x）＝lnx﹣x2+x，（x＞0），
f′（x）＝ ﹣2x+1＝﹣ ，
f′（x）＜0 可得 2x2﹣x﹣1＞0，又 x＞0，解得 x＞1，
即有 f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（2）f（x）≤ax﹣1 恒成立，可得 lnx﹣ ax2+x﹣ax+1≤0 恒成立，
令 g（x）＝lnx﹣ ax2+x﹣ax+1，g′（x）═ ，
①当 a≤0 时，∵x＞0，∴﹣ax2+（1﹣a）x+1＞0，∴g′（x）＞0
g（x）在（0，+∞）单调递增，且 g（1）＝﹣ ，
此时不等式 f（x）≤ax﹣1 不恒成立．
②当 a＞0 时，g ．
当 ）时，g′（x）＞0，x 时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0， ）递增，在（ ）d 递减，
故 g（x）max＝g（ ）＝
令 h（a）＝ ，（a＞0），显然函数 h（a）在（0，+∞）递减．
且 h（1）＝ ．
∴整数 a 的最小值为 2．
（3）证明：由 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，
即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0，
从而（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），
令 t＝x1x2，则由 φ（t）＝t﹣lnt，
由 x1＞0，x2＞0，即 x1+x2＞0．
φ′（t）＝ ．t＞0
可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
所以 φ（t）≥φ（1）＝1，
所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≥ ．或 x1+x ．因为 x1＞0，x2＞0，
因此 x1+x2≥ 成立．
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