2019-2020 学年下学期高三 4 月月考仿真卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
又 ，所以 ，
故选 B．
2．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
可得 ， ，则 ， 的焦距为 ．
故选 D．
3．某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号
{ }2log 1A x x= ≥ { }2 6 0B x x x= − − < ( )A BR
{ }2 1x x− < < { }2 2x x− < < { }2 3x x≤ < { }2x x <
{ } { }2log 1 2A x x x x= ≥ = ≥ { }2A x x= 3
3y x= ±
3a = 1b = 1 3 2c = + = C∴ 4此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 分别为 001，002，…，599，600，从中抽取 60 个样本，下面提供随机数表的第 4 行到第 6 行：
若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 5 个样本编号是（ ）
A．522 B．324 C．535 D．578
【答案】A
【解析】第6 行第 6 列开始的数为 808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不
合），837（不合），522，
则满足条件的 5 个样本编号为 436，535，577，348，522，则第 5 个编号为 522．
故选 A．
4．在等差数列 中， ，则此数列的前 13 项的和等于（ ）
A．16 B．26 C．8 D．13
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故选 D．
5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子
算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5 部专著中
有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓
展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．
现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，
基本事件总数 ，
所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数
，
则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 ，
{ }na 3 5 102 4a a a+ + =
3 5 102 4a a a+ + = 4 102 2 4a a+ = 4 10 2a a+ =
1 13 4 10
13
13( ) 13( ) 132 2
a a a aS
+ += = =
3
5
7
10
4
5
9
10
2
5C 10n = =
2 1 1
2 2 3CC C 7m = + =
7
10
mp n
= =故选 B．
6．函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图像： ，故 ，故 ， ．
， ，故 ，
故 ．
当 时， ，满足条件，故 ，
故选 A．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，通项 ，
，故选 A．
8．已知： ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围
( ) ( ) πsin 0, 2f x xω ϕ ω ϕ = + > 0y > 2 1 1x y
+ = 22 2x y m m+ > + m是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题，因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
因为 恒成立，则 ，即 ，解得 ，
故选 A．
9 ． 的 三 个 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 在 边 上 ， 且
， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
( )4,2− ( ] [ ), 4 2,−∞ − +∞
( )2,4− ( ] [ ), 2 4,−∞ − ∪ +∞
2 1 1x y
+ = 0x > 0y >
( ) 2 1 4 42 2 2 4 2 4 4 8x y x yx y x y y x y x
+ + = + + + ≥ + ⋅ = + =
4x y
y x
= 4x = 2y =
22 2x y m m+ > + 2 2 8m m+ < 2 2 8 0m m+ − < 4 2m− < <
ABC△ A B C a b c M AB
1
3AM AB= 2b = 2 7
3CM = 2sin sin
sin 2
A B c
B b
− = ABCS =△
3 3
4 3 2 3 8 3
3
ABC△ 2sin sin
sin 2
A B c
B b
− = 2sin sin sin
sin 2 sin
A B C
B B
− =
2sin cos 2sin sinC B A B= −
( )2sin cos 2 sin cos cos sin sinC B B C B C B= + − 1cos 2C =
( )0,πC ∈ 60C = °
1
3AM AB=
( )1 1
3 3CM CA AM CA AB CA CB CA= + = + = + − 2 1
3 3CA CB= +
3 2CM CA CB= + 2 2 2
9 4 4CM CA CB CA CB= + + ⋅ ∴ ，解得 或 （不合题意，舍去），
∴ 的面积为 ，
故选 B．
10．设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，直线 l 过 交椭圆 C 于
A，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足 且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 F1 是椭圆 的左焦点，直线 过 F1 交 y 轴于 C 点，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
在三角形 AF1F2 中， ， ， ，
根据余弦定理可得 ，
228 16 4a a= + + 2a = 6a = −
ABC△ 1 2 2sin 60 32ABCS = × × ° =△
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F
1 1
3
2FC AF = 1 2 30CF F∠ = °
3
3
3
6
1
3
1
6
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > l
( )1 ,0F c− 1OF c=
1 2 30CF F∠ = °
1
2 3
3
cCF =
1 1
3
2FC AF =
1
4 3
9
cAF =
1
4 3
9
cAF = 1 2 2F F c=
2
4 32 9
cAF a= −
2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
cos 2
AF F F AFAF F AF F F
+ −∠ =代入得 ，化简得 ，
所以离心率为 ，
所以选 A．
11．在三棱锥 中， ，且 ， ， ，
分别是棱 ， 的中点，下面四个结论：
① ；
② 平面 ；
③三棱锥 的体积的最大值为 ；
④ 与 一定不垂直．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④
【答案】D
【解析】设 的中点为 ，连接 ，则 ， ，
又 ，所以 平面 ，所以 ，故①正确；
因为 ，所以 平面 ，故②正确；
当 平 面 与 平 面 垂 直 时 ， 最 大 ， 最 大 值 为
，故③错误；
若 与 垂直，
又因为 ，所以 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以显然 与 不可能垂直，故④正确，
故选 D．
( )
( )
2 2
24 3 4 32 29 93
2 4 32 29
c cc a
c c
+ − −
− =
3a c=
3
3
ce a
= =
D ABC− 1AB BC CD DA= = = = AB BC⊥ CD DA⊥ M N
BC CD
AC BD⊥
MN∥ ABD
A CMN− 2
12
AD BC
AC O ,OB OD AC OB⊥ AC OD⊥
OB OD O= AC ⊥ OBD AC BD⊥
/ /MN BD MN∥ ABD
DAC ABC A CMNV −
1 1 2 2
3 4 4 48A CMN N ACMV V− − = × × ==
AD BC
AB BC⊥ BC ⊥ ABD BC BD⊥
BD AC⊥ BD ⊥ ABC BD OB⊥
OB OD= BD OB12 ． 已 知 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 满 足 ， 当 时 ，
，
若函数 ，在区间 上有 10 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可知函数 的图象关于点 成中心对称，
且 ，所以 ，
所以，函数 的周期为 ，
由于函数 为奇函数，则 ，则 ，
作出函数 与函数 的图象如下图所示：
，则 ，
于是得出 ， ，
R (2 ) ( ) 0f x f x− + = ( ]0,1x∈
2( ) logf x x= −
( ) ( )( ) sin πF x f x x= − [ ]1,m− m
[ )3.5,4 ( ]3.5,4 ( ]5,5.5 [ )5,5.5
( ) ( )2 0f x f x− + = ( )y f x= ( )1,0
( ) ( ) ( )2f x f x f x− = − = − ( ) ( )2f x f x+ =
( )y f x= 2
( )y f x= ( )0 0f = ( ) ( )2 4 0f f= =
( )y f x= ( )sin πy x=
2
1 1log 12 2f = − =
1 1 12 2f f − = − = −
7 3 1 12 2 2f f f = = − = −
5 1 12 2f f = = 由图象可知，函数 与函数 在区间 上从左到右 个交点的横坐标
分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，第 个交点的横坐标为 ，
因此，实数 的取值范围是 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】因为平面向量 ， 满足 ， ， ，
所以 ，
故答案为 ．
14．已知函数 （ ）．若存在 ，使得
成立，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
设 ，则存在 ，使得 成立，
即 成立．所以 成立，所以 成立，
又令 ， ，所以 时， ， 单调递增，
当 时， 有最小值 ，
( )y f x= ( )sin πy x= [ ]1,m− 10
1− 1
2
− 0 1
2 1 3
2 2 5
2 3 7
2 11 4
m [ )3.5,4
a b 0⋅ =a b 2=a 3=b + =a b
13
a b 0⋅ =a b 2=a 3=b
( )2 2 2 2 22 2 3 13+ = + = + ⋅ + = + =a b a b a a b b
13
( ) ( )2ln 2f x x x x x a= + − a ∈ R [ ]1,3x∈ ( ) ( )f x xf x′>
5 ,4
+∞
( ) ( )f x xf x′> ( ) 0f x
x
′ +
min
1
2a xx
> +
1
4t xx
= + ( )( )
2
2 +1 2 1
4
x xt x
−′ = [ ]1,3x∈ >0t′ t
1x = t 5
4所以实数 a 的取值范围是 ，故答案为 ．
15．函数 的部分图象如图所示，点 ， 是最高点，点 是最低点，
若 是直角三角形，则 __________．
【答案】
【解析】由图可得 ， ， ，
根据对称性 ， 是直角三角形，
所以为等腰直角三角形 ，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，
， ， ，所以 ，故答案为 ．
16 ． 如 图 ， 多 面 体 ， ， ， 两 两 垂 直 ， ，
， ， 则 经 过 ， ， ， 的 外 接 球 的 表 面 积 是
_________．
【答案】
【解析】根据 ， ， 两两垂直构造如图所示的长方体，
则经过 ， ， ， 的外接球即为长方体的外接球，
故球的直径为长方体的体对角线的长．
设 ， ， ，
OABCD OA OB OC 2AB CD= =
2 3AD BC= = 10AC BD= = A B C D
13π
OA OB OC
A B C D
OA x= OB y= OC z=
5 ,4
+∞
5 ,4
+∞
( ) ( )sin 0f x xω ω= > A B C
ABC△ 1
2f =
2
2
π ,12A ω
5π ,12B ω
3π , 12C ω
−
AC BC= ABC△
AC BC⊥
4AB = 4π 42ω = π
2
ω = 21 πsin 22 4f = =
2
2由题意得 ，解得 ，
所以球半径为 ，
球的表面积为 ，答案 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（12 分）已知数列 满足： ， ， ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
则数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，∴ ，∴ ，
∴ ，
，
∴
2 2
2 2
2 2
4
10
12
x y
x z
y z
+ =
+ =
+ =
1
3
3
x
y
z
=
=
=
2 2 21 13
2 2r x y z= + + =
2 2134π 4π ( ) 13π2S r= = × = 13π
{ }na 1 1a = ( )1 2 2n n nn a a a+ − = *n∈N
na
n
3 5
n n
nb an
−= *n∈N { }nb n nS
( )3 8 2 8n
nS n= − ⋅ +
( )1 2 2n n nn a a a+ − = ( )1 2 1n nna n a+ = + 1 21
n na a
n n
+ = ⋅+
na
n
12nna
n
−= 12n
na n −= ⋅ ( ) 13 5 2n
nb n −= − ⋅
( ) ( )0 1 2 2 12 2 1 2 4 2 3 8 2 3 5 2n n
nS n n− −= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( ) ( )1 2 3 12 2 2 1 2 4 2 3 8 2 3 5 2n n
nS n n−= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( ) ( )1 2 12 3 2 2 2 3 5 2n n
nS n−− = − + + + + − − ⋅，
∴ ．
18．（12 分）如图 1，在梯形 中， ， ， 为 中点，
是 与 的交点，将 沿 翻折到图 2 中 的位置得到四棱锥 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）由图 1 可知，四边形 为菱形，则 ，
则在图（2）中， ， 所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，故 ．
（2）因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
又 ，所以 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
( ) ( ) ( )
12 1 2
2 3 3 5 2 8 8 3 21 2
n
n nn n
−−
= − + ⋅ − − ⋅ = − + − ⋅−
( )3 8 2 8n
nS n= − ⋅ +
ABCD AD BC∥ 1
2AB BC AD= = E AD O
AC BE ABE△ BE 1A BE△ 1A BCDE−
1CD AC⊥
1
2
2AC AB= 3BE AB= 1B A E D− −
21
7
−
ABCE AC BE=
1BE AO⊥ BE CO⊥ 1BE AOC⊥ 面
BE CD∥ 1CD A OC⊥ 面
1A C ⊂ 面 1AOC 1CD AC⊥
3BE AB= 2
3
π∠ =BAE
2AB = 1 1A O OC= =
1
2 = 22AC AB= 1
π
2AOC∠ =
(0,0,0)O ( 3,0,0)B (0,1,0)C 1(0,0,1)A ( 3,0,0)E − ( 2 3,1,0)D −
( 3,1,0)ED = −
1 ( 3,0,1)EA =则面 的法向量为 ，
设面 的法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，则 ，则 ，
所以 ，
又由图可知二面角 为钝二面角，
故二面角 的余弦值为 ．
19．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 轴交于
两点，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆 上的一个动点，且直线 与直线 分别交于 两点．是否
存在点 使得以 为直径的圆经过点 ？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，
说明理由．
【答案】（1） ；（2）不存在，详见解析．
【解析】（1）由已知 ，得知 ， ，
1A EB 1 (0,1,0)=n
1A ED 2 ( , , )x y z=n
2
2 1
0
0
ED
EA
⋅ = ⋅ =
n
n
3 0
3 0
x y
x z
− + =
+ =
1x = 3, 3y z= = − 2 (1, 3, 3)= −n
1 2
1 2
1 2
21, 3
7 7cos
⋅〈 〉 = ==n nn n n n
1B A E D− −
1B A E D− − 21
7
−
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 3
2
C y ,A B
2AB =
C
P C ,PA PB 4x = ,M N
P MN ( )2,0D P
2
2 14
x y+ =
2AB = 2 2b = 1b =又因为离心率为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）假设存在．
设 ， ， ，
由已知可得 ， ，
所以 的直线方程为 ，
的直线方程为 ，
令 ，分别可得 ， ，
所以 ，
线段 的中点 ，
若以 为直径的圆经过点 ，则 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，代入化简得 ，
所以 ，而 ，矛盾，
所以这样的点 不存在．
20．（12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广
大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年
收入也逐年增加．为了制定提升农民年收入、实现 2020 年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计
了 2019 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
3
2
3
2
c
a
=
2 2 2a b c= + 2a =
C
2
2 14
x y+ =
( )0 0,P x y ( )4,M m ( )4,N n
( )0,1A ( )0, 1B −
AP 0
0
1 1yy xx
−= +
BP 0
0
1 1yy xx
+= −
4x = ( )0
0
4 1 1ym x
−= + ( )0
0
4 1 1yn x
+= −
0
82MN m n x
= − = −
MN 0
0
44, y
x
MN ( )2,0D ( )
2 2
2 0
0 0
4 44 2 0 1y
x x
− + − = −
P
2
20
0 14
x y+ =
0
81 0x
− =
0 8x = [ ]0 2,2x ∈ −
P（1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 元（单位：千元）（同一组数据用
该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中
近似为年平均收入 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84．14%的农民的年收入高于扶贫办
制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民．若
每位农民的年收入互相独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12．14 千元的人数最有
可能是多少？
附 参 考 数 据 ： ， 若 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 ， 则
， ，
．
【答案】（1） 千元；（2）①14．77 千元；②978 人．
【 解 析 】 （ 1 ）
千
元，
故估计 50 位农民的年平均收入 为 17．40 千元．
（2）由题意知 ，
① ，
所以 时，满足题意，
x
( )2,N µ σ µ
x 2σ 2s 2 6.92s =
6.92 2.63≈ ( )2,N µ σ
( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( )2 2 0.9545P Xµ σ µ σ− < < + =
( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + =
17.40x =
12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 24 0.04 17.40x = × + × + × + × + × + × + × =
x
( )17.40,6.92X N∼
( ) 1 0.6827 0.84142 2P x µ σ> − = + ≈
17.40 2.63 14.77µ σ− = − =即最低年收入大约为 14．77 千元．
②由 ，
每个农民的年收入不少于 12．14 千元的事件的概率为 0．9773，
记 1000 个农民的年收入不少于 12．14 千元的人数为 ，
则 ，其中 ，
于 是 恰 好 有 k 个 农 民 的 年 收 入 不 少 于 12 ． 14 千 元 的 事 件 概 率 为
，
从而由 ，得 ，
而 ，所以，当 时， ；
当 时， ，
由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12．14 千元的人数最有可能是 978
人．
21．（12 分）已知函数 ， ．
（1）若 在 内单调递减，求实数 的取值范围；
（2）若函数 有两个极值点分别为 ， ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1） ，∴ 在 内单调递减，
∴ 在 内恒成立，
即 在 内恒成立．
令 ，则 ，
∴当 时， ，即 在 内为增函数；
( ) ( ) 0.954512.14 2 0.5 0.97732P x P x µ σ≥ = ≥ − = + ≈
ξ
( )1000,B Pξ 0.9773P =
( ) ( ) 3
3
10
10C 1 kk kpP k pξ −= −=
( )
( )
( )
( )
1001 11 1
P k k p
P k k p
ξ
ξ
= − ×= >= − × − 1001k p<
1001 978.2773p = 0 978k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − < =
979 1000k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − > =
( ) 2ln 2f x x x ax x= − + a ∈ R
( )f x ( )0,+∞ a
( )f x 1x 2x 1 2
1
2x x a
+ >
,4
e +∞
( ) ln 2 4f x x ax+′ = − ( )f x ( )0,+∞
( ) ln 2 4 0f x x ax= + − ≤ ( )0,+∞
ln 24 xa x x
≥ + ( )0,+∞
( ) ln 2xg x x x
= + ( ) 2
1 ln xg x x
− −′ =
10 x e
< < ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e
当 时， ，即 在 内为减函数，
∴ 的最大值为 ，∴ ．
（2）若函数 有两个极值点分别为 ， ，
则 在 内有两根 ， ，
由（1），知 ，
由 ，两式相减，得 ．
不妨设 ，
∴要证明 ，只需证明 ．
即证明 ，亦即证明 ．
令函数 ， ．
∴ ，即函数 在 内单调递减，
∴ 时，有 ，∴ ，
即不等式 成立，
综上，得 ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
1x e
> ( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,e
+∞
( )g x 1g ee
= ,4
ea ∈ +∞
( )f x 1x 2x
( ) ln 2 4 0f x x ax= + − =′ ( )0,+∞ 1x 2x
0 4
ea< <
1 1
2 2
ln 2 4 0
ln 2 4 0
x ax
x ax
+ − =
+ − =
( )1 2 1 2ln ln 4x x a x x− = −
1 20 x x< <
1 2
1
2x x a
+ > ( ) ( )1 2
1 2 1 2
1
4 2 ln ln
x x
a x x a x x
+ −+
1
2 1
1 2
2
2 1
ln
1
x
x x
x x
x
−
>
+
( ) ( )2 1 ln1
xh x xx
−= −+ 0 1x< ≤
2
2
( 1)( ) 0( 1)
xh x x x
− −′ = ≤+
( )h x ( ]0,1
( )0,1x∈ ( ) ( )1 0h x h> = 2( 1) ln1
x xx
− >+
1
2 1
1 2
2
2 1
ln
1
x
x x
x x
x
−
>
+
1 2
1
2x x a
+ >22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交
于点 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)，
得 ，即曲线 的普通方程为 ，
又 ， ，
曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
曲线 的极坐标方程可化为 ，
故曲线 的直角方程为 ．
（2）由已知，设点 和点 的极坐标分别为 ， ，其中 ，
则 ， ，
于是 ，
1C 2 cos
3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ O x
2C πsin( ) 14
ρ θ − =
1C 2C
π: ( π )2OM θ α α= < < 1C M π
4:ON θ α= − 2C
N 2 2
1 1
OM ON
+
2 2
1
2cos 2 6:C ρ θ ρ+ = 2 2: 0x yC − + = 1 3,3 2
1C 2 cos
3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
22
2 2cos sin 1
2 3
x yϕ ϕ + = + = 1C
2 2
12 3
x y+ =
cosx ρ θ= siny ρ θ=
1C 2 2 2 23 cos 2 sin 6ρ θ ρ θ+ = 2 2 2cos 2 6ρ θ ρ+ =
2C sin cos 2ρ θ ρ θ− =
2C 2 0x y− + =
M N ( )1,ρ α 2 , 4
πρ α −
π π2
α< <
2 2
1 2
6
cos 2OM ρ α= = +
2 2
2 2
2 π
1 1
cossin 2
ON ρ αα
= = = −
2 2
2
2 2
1 1 cos 2 7cos 2cos6 6OM ON
α αα+ ++ = + =由 ，得 ，
故 的取值范围是 ．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知定义在 R 上的函数 ．
（1）求 的最小值 ；
（2）若 ， 且 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
故当 时，函数取得最小值 ．
（2）若 ， 且 ， ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
则 ，
令 ， ，而 的开口向上，
对称轴方程为 ，在 上单调递增，
当 ，取得最小值 ，
π π2
α< < 1 cos 0α− < <
2 2
1 1
OM ON
+ 1 3,3 2
( ) | |f x x=
( 1) (2 4)f x f x+ + − M
a 0b > 2a b M+ = 2 2
1 1
4a b
+
3 8
9
( ) | |f x x=
( 1) (2 4) | 1| | 2 4 |f x f x x x+ + − = + + −
1x ≤ − ( ) 3 3f x x= −
1 2x− < < ( ) 5f x x= − +
2x ≥ ( ) 3 3f x x= −
2x = 3M =
a 0b > 2 3a b+ = 2 2 2a b ab∴ + ≥ 9
8ab ≤
2a b= 3
2a = 3
4b =
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 4 ( 2 ) 4 9 1
4 4 4 4( )
b a a b ab
a b a b a b ab ab
+ + −+ = = = −
1t ab
= 9
8
≥t
29
4
ty t= −
2
9t = 8 ,9
+∞
8
9t = 8
9的最小值为 ．2 2
1 1
4a b
∴ + 8
9
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