安徽省合肥市2020届高三数学（文）4月第二次质量检测试卷（附答案Word版）

2020 年二模文科试题 第 1 页 共 7 页 合肥市 2020 届高三第二次教学质量检测 数学试题(文科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.欧拉公式 将自然对数的底数 ，虚数单位 ，三角函数 、 联系在一 起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数 满足 ，则 A.1 B. C. D. 3.若实数 ， 满足约束条件 则 的最小值是 A.16 B.7 C.-4 D.-5 4.已知数列 是等差数列，若 ， ，则 A.18 B.17 C.15 D.14 5.在平行四边形 中，若 ， 交 于 点，则 A. B. C. D. 6.函数 的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是 A.函数 的图像可由 的图像向左平移 个单位得到 B.函数 的图像关于直线 对称 C.函数 在区间 上单调递增 D.函数 图像的对称中心为 ( ) 7.若函数 是奇函数， 为偶函数，则 A. B. C. D. 8.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期 数学家刘徽在其《九章算术注》中利 用出入相补原理给出了这个问题的一 般解法：如图 1，用对角线将长和宽 分别为 和 的矩形分成两个直角三 角形，每个直角三角形再分成一个内 接正方形(黄)和两个小直角三角形 (朱、青).将三种颜色的图形进行重组， 得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 .由刘 { }1 3 5 7A = ，，， { }2 8xB x= > A B = { }1 { }1 3， { }5 7， { }3 5 7，， cos sinie iθ θ θ= + e i sinθ cosθ z ( )ie i z iπ + ⋅ = z = 2 2 3 2 2 x y 2 4 0 4 0 3 2 3 0 x y x y x y + − ≤  − + ≥  + − ≥ ， ， ， 2z x y= − { }na 2 2a = 6 39S = 7a = ABCD DE EC=  AE BD F AF = 2 1 3 3AB AD+  2 1 3 3AB AD−  1 2 3 3AB AD−  1 2 3 3AB AD+  ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0 0 0 2A πω ϕ > > < =  − ≤ ， ， ( ) ( )1f x f x< + ( )1 − + ∞， ( )1 1− ， 1 2  − + ∞  ， 1 12  −  ， 1 2F F， C 2 2 1x ym + = C M 1 2 0MF MF⋅ =  m [ )10 2 2   + ∞   ， ， [ )1 1 22   + ∞  ， ， ( ]10 1 22      ， ， ( ]1 1 1 22     ， ， A B C， ， A B C， ， 3 8 5 8 5 16 1 2 6 24π ( )18 3 3 π+ 21π ( )18 4 2 π+ ( ) 2 xf x ex e= − e 1x = { }na 1− 1 2n n na a +⋅ = − { }na 2 2: 12 xC y− = F B P C BPF∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− 11 2 3AB AD AA= = =， ， P 1B C 1AP D P+ AP 1 1AA D D ABC∆ A B C a b c ( )tan 2cos sin cos 2sinA C A A C− = − B2020 年二模文科试题 第 3 页 共 7 页 ⑵若角 为锐角， ， 的面积为 ，求 的周长. 18.(本小题满分 12 分) 在矩形 中， 在边 上， ，如图(1).沿 将 和 折起，使平面 和平面 都与平面 垂直，连结 ，如图(2). ⑴证明： ； ⑵求三棱锥 的体积. 19.(本小题满分 12 分) 已知圆 经过抛物线 : ( )的焦点 ，且与抛物线 的准线 相 切. ⑴求抛物线 的标准方程； ⑵设经过点 的直线 交抛物线 于 两点，点 关于 轴的对称点为点 ，若 的面积 为 6，求直线 的方程. 20.(本小题满分 12 分) 随着运动 app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡现象，“日行 一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共 500 人)的 走路步数，并整理成下表： 分组 (单位：千步) [0，4) [4，8) [8，12) [12，16) [16，20) [20，24) [24，28) [28，32] 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 ⑴请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代 表)； ⑵若用 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件 发生的概率； ⑶若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在 40 岁以上的中老年人共有 300 人，其中健步达人恰有 150 人，请填写下面 2×2 列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与 年龄有关？ 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 不超过 40 岁 合计 附： . ( ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 B 1b = ABC∆ 3 4 ABC∆ ABCD E F， CD 1BC CE EF FD= = = = BE AF， CBE∆ DAF∆ CBE DAF ABEF CD //CD AB D BCE− ( ) ( )2 24 4 25x y− + − = E 2 2y px= 0p > F E l E F m E A B， B x C ACF∆ m A A ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + P 2K k≥ k2020 年二模文科试题 第 4 页 共 7 页 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 .( 是自然对数的底数) ⑴求 的单调递减区间； ⑵若函数 ，证明 在(0， )上只有两个零点.(参考数据： ) 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . ⑴曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； ⑵若直线 与曲线 交于 两点， (2，0)，求 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 若不等式 的解集为( ). ⑵ 求 的值； ⑵若三个正实数 满足 .证明： . 合肥市 2020 届高三第二次教学质量检测数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. ( ) sinxf x e x= e ( )f x ( ) ( ) 2g x f x x= − ( )g x π 2 4.8e π ≈ xOy C 3cos 4sin 12 9cos sin5 5 x y ϕ ϕ ϕ ϕ = − = + ϕ O x l sin 33 πρ θ + =   C l l C P Q， M MP MQ+ 1 3 5x x m− + − < 3 2 n， n a b c， ， a b c m+ + = 2 2 2 2 2 2 2b c c a a b a b c + + ++ + ≥2020 年二模文科试题 第 5 页 共 7 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14. 15. 16. ， (第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解：(1)∵ ，∴ . 化简得 ，即 ，∴ ，即 . ∴ 或 . ………………………………5 分 (2)∵ 是锐角，∴ ， 由 得， . 在 中，由余弦定理得 ∴ ，∴ ， ∴ 的周长为 ………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) ⑴证明：分别取 的中点 ，连结 . 由图(1)可得， 与 都是等腰直角三角形且全等， ∴ ， ， . ∵平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， ， ∴ 平面 . 同理， 平面 ，∴ . 又∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ . ∵ 分别是 的中点，∴ ， ∴ . ………………………………5 分 ⑵由图可知， ， ∵ ，∴ ， ∴ . 由(1)知， 平面 . ∵ ， ，∴ ， ∴ . ………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解：⑴由已知可得：圆心(4，4)到焦点 的距离与到准线 的距离相等，即点(4，4)在抛物线 上， ∴ ，解得 . ∴抛物线 的标准方程为 . ………………………………5 分 ⑵由已知可得，直线 斜率存在，否则点 与点 重合. 设直线 的斜率为 ( )，则 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B D D C A C A A D y ex e= − 31 4 2 2+ 17 1 13 3 6       ， ( )tan 2cos sin cos 2sinA C A A C− = − 2 22sin cos sin cos 2cos sinA C A A A C− = − 1sin cos cos sin 2A C A C+ = ( ) 1sin 2A C+ = ( ) 1sin 2Bπ − = 1sin 2B = 6B π= 5 6B π= B 6B π= 1 3sin2 4ABCS ac B∆ = = 3ac = ABC∆ 2 2 2 22 cos ( ) 2 3b a c ac B a c ac ac= + − = + − − ( ) ( )22 1 2 3 3 1 3a c+ = + + = + 1 3a c+ = + ABC∆ 2 3+ AF BE， M N， DM CN MN， ， ADF∆ BCE∆ DM AF⊥ CN BE⊥ DM CN= ADF ⊥ ABEF AF DM ⊂ ADF DM AF⊥ DM ⊥ ABEF CN ⊥ ABEF //DM CN DM CN= CDMN //CD MN M N， AF BE， //MN AB //CD AB D BCE B DCEV V=三棱锥 － 三棱锥 － 1 3EF AB= =， 2CD MN= = 2 2B DCE B EFC C EFBV V V= =三棱锥 － 三棱锥 － 三棱锥 － CN ⊥ BEF 2 2CN = 1 2BEFS∆ = 2 12C EFBV =三棱锥 － 2 6D BCEV =三棱锥 － F l E 16 8p= 2p = E 2 4y x= m C A m k 0k ≠ ( ): 1AB y k x= −2020 年二模文科试题 第 6 页 共 7 页 由 消去 得 . 设 ( )， ( )，∴ ， .………………………………7 分 由对称性可知， ( )，∴ ， . 设直线 ( )的倾斜角为 ，则 ， ∴ ， ∴ .……………………………10 分 由已知可得 ，解得 . ∴直线 的方程为 ，即 . ………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：⑴ ， 所以这一天小王 500 名好友走路的平均步数约为 8432 步.……………………………3 分 ⑵ ， 所以事件 A 的概率约为 0.6216. ………………………………………………………5 分 (3) ………………… …………………………………8 分 ，…………10 分 ∴有 99.9﹪以上的把握认为，健步达人与年龄有关. ………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解：(1) ，定义域为 . . 由 得 ，解得 ( ). ∴ 的单调递减区间为 ( ).………………………………5 分 (2)∵ ，∴ . ∵ ，∴当 时， ；当 时， . ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， 健步达人 非健步达人 合计 40 岁以上 150 150 300 不超过 40 岁 50 150 200 合计 200 300 500 ( ) 2 4 1 y x y k x  = = − y ( )2 2 2 22 2 0k x k x k− + + = A 1 1x y， B 2 2x y， 1 2 2 42x x k + = + 1 2 1x x = C 2 2x y−， 1 1AF x= + 2 1CF x= + m AB α tan kα = ( ) 2 2 2 2 2sin cos 2 tan 2sin sin 2 sin 2 2sin cos sin cos tan 1 1 kAFC k α α απ α α α α α α α∠ = − = = = = =+ + + ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 sin 2 12 1AFC kS x x x x x x k α∆ = + + = + + + ⋅   + 4 k = 4 6k = 2 3k = ± m ( )2 13y x= ± − 2 3 2 0x y± − = ( )1 2 60 6 240 10 100 14 60 18 20 22 18 30 2 8.432500x = × + × + × + × + × + × + × = ( ) 1 0.43260 240 100 0.6216500 4p A  = + + × =   ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 500 22500 7500 31.25 10.828200 300 300 200 n ad bcK a b c d a c b d − −= = = >+ + + + × × × ( ) sinxf x e x= R ( ) ( )sin cos 2 sin 4 x xf x e x x e x π ′ = + = +   ( ) 0f x′ < sin 04x π + 2x π π ∈  ， ( ) 0g x′′ < ( )g x′ 0 2 π    ， 2 π π    ，2020 年二模文科试题 第 7 页 共 7 页 又∵ ， ， ， ∴ 在 上图象大致如右图. ∴ ， ，使得 ， ， 且当 或 时， ；当 时， . ∴ 在 和 上单调递减，在 上单调递增. ∵ ，∴ . ∵ ，∴ ， 又∵ ，由零点存在性定理得， 在 和 内各有一个零点， ∴函数 在 上有两个零点. ………………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线 的参数方程 消去参数 得，曲线 的普通方程为 . ∵ ，∴ ， ∴直线 的直角坐标方程为 . ………………………………5 分 (2)设直线 的参数方程为 ( 为参数)， 将其代入曲线 的直角坐标方程并化简得 ，∴ . ∵点 (2，0)在直线 上， ∴ . ………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (1)由题意知， 为方程 的根，∴ ，解得 . 由 解得， ，∴ . ………………………………5 分 (2)由(1)知 ， ∴ . ， ， ∴ 成立. ………………………………10 分 ( )0 1 2 0g′ = − < 2 2 02g e ππ ′ = − >   ( ) 2 0g eππ′ = − − < ( )g x′ ( )0 π， 1 0 2x π ∃ ∈  ， 2 2x π π ∈  ， ( )1 0g x′ = ( )2 0g x′ = ( )10x x∈ ， ( )2x x π∈ ， ( ) 0g x′ < ( )1 2x x x∈ ， ( ) 0g x′ > ( )g x ( )10 x， ( )2x π， ( )1 2x x， ( )0 0g = ( )1 0g x < 2 02g e ππ π  = − >   ( )2 0g x > ( ) 2 0g π π= − < ( )g x ( )1 2x x， ( )2x π， ( )g x ( )0 π， C 3cos 4sin 12 9cos sin5 5 x y ϕ ϕ ϕ ϕ = − = + ϕ C 2 2 125 9 x y+ = sin 33 πρ θ + =   3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ+ − = l 3 2 3 0x y+ − = l 12 2 3 2 x t y t  = −  = t C 27 6 63 0t t− − = 1 2 1 2 6 97t t t t+ = = −， M l ( )2 1 2 1 2 1 2 36 30 24 3649 7MP MQ t t t t t t+ = − = + − = + = 3 2 1 3 5x x m− + − = 3 91 52 2 m− + − = 1m = 1 3 5 1x x− + − < 3 7 2 4x< < 7 4n = 1a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c c a a b bc ac ab a b c a b c + + ++ + ≥ + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1a b b c c a a b b c b c c a c a a babc abc  = + + = + + + + +  ( ) ( )2 2 21 22 2 2 2abcab c bc a ca b a b cabc abc ≥ + + = + + = 2 2 2 2 2 2 2b c c a a b a b c + + ++ + ≥