广州市第 41 中学高二下学期 3 月测试题 数学
一、选择题（每小题
5
分，共
12
小题，满分
60
分）
1.
若复数
i
iz 1
(
i 为虚数单位
)
，则 Z 的共轭复数 Z
( )
A.
1
B.
1
C.
D.
1
一 i
2.若 y=f（x）在（-∞，+∞）可导，且
0
h (2)()
1
，则 )(af =（ ）
A.
2
B. 2 C. 3 D.
23.下列求导运算正确的是( )．
A. 2
/ 31)3(
xxx B．
2ln
1)(log /
2 xx
C． exx
3
/ log3)3( D． xxxx sin2)cos( /2
4.函数 )(xfy 导函数 )(' xf 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数
()
在
( 0)
上单调递增
B. 函数
()
的递减区间为
(5)C. 函数
()
在
0
处取得极大值
D. 函数
()
在
5
处取得极小值
5.已知 i 是虚数单位，a，
，则“
1
”是“
( )
2
2
”的
( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 xxxf ln)( 的单调递增区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
7.若函数 f(x)＝1
3x3－x2＋ax－1 有极值点，则 a 的取值范围为( ).
A. (1,+∞) B.[1, +∞) C.(－∞，1) C.(－∞，1
]8. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)
的值等于( )
A.2 B.－2 C.9
4 D.－9
4
9.已知直线 1 xy 与曲线 )ln( axy 相切，则 a 的值为（ ）A.
1 B. 2 C.
1
D.
210.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 )600)(2
60()( 2 xxxxV ，则当箱子的容
积最大时，x 的值为( )
A． 60 B．50 C．40 D．30
11.若函数
xaxxxf 1ln)( 在[1，+∞）上是单调函数，则 a 的取值范围是（ ）
A.( 0]
1
)
B.
(
1
] 0 )
C.
1
0]
D.
( 1]
12. 若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的
最大值等于( )
A.2 B.3 C.6 D.9
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）
13. 复平面内，若 z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数 m
的取值范围是____________.
14. 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的
取值范围是____________.
15.已知函数 axxxf 3)( 3 有三个不同的零点，则 a 的取值范围是 .
16. 设函数 )(xf 是奇函数 )(xf （ Rx ）的导函数， 0)1( f ，当 0x 时，
0)()(' xfxxf ，则使得 0)( xf 成立的 x 的取值范围是 .
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17. （本题满分 10 分）
已知复数 )(3 Rbbiz ，且 zi )31( 为纯虚数．
（1）求复数 z ； （2）若
i
zw
2
，求复数 w 的模 w ．18.（本题满分 12 分）
已知椭圆 C 的两焦点分别为 1 2,0 ,0F F-2 2 、 2 2 ，长轴长为 6，
⑴求椭圆 C 的标准方程;
⑵已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。.
19.（本题满分 12 分）
已知函数
()
1
，在点
(1(1))
处的切线方程为
10 0
，求
(1)
实数 a，b 的值；
(2)
函数
()
的单调区间以及在区间
0]
上的最值．
20.
（本题满分 12 分）
已知函数 f(x)＝ax3＋bx2 的图象经过点 M(1，4)，曲线在点 M 处的切线恰好与直
线 x＋9y＝0 垂直.
(1)求实数 a，b 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求 m 的取值范围.21.（本题满分 12 分）
已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意 a∈[3，4]，函数 f(x)在 R 上都有三个零点，求实数 b 的取值范围.
22.（本题满分 12 分）
已知函数
() ln
．
(
Ⅰ
)
求函数
()
在
1
，
]
上的最小值；
(
Ⅱ
)
若存在
1
]
使不等式
2()
2
成立，求实数 a 的取值范围．
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