数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）
1. 设命题 p： ， 则 为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 某高中学校共有学生 3000 名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取 1 名学生，
抽到高二年级学生的概率是 现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名学生，则应在高
三年级抽取的学生的人数为
年级 一年级 二年级 三年级
学生人数 1200 x y
A. 25 B. 26 C. 30 D. 32
3. 为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制
成如图所示的茎叶图．有以下结论：
甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； 甲最近五场比赛
得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； 从最近五场比赛的得分看，乙比甲更
稳定； 从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为
A. B. C. D.
4. A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 ，现用随机模
拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 之间整数值的
随机数，并用 0，1，2，3，4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以
每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：
则
这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B. C. D.
5. “ ”是“直线 与直线 平行”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知角 的终边经过点 ，则 的值等于
A. B. C. D.
7. 正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 ，则
A. 2 B. C. D. 8. 已知双曲线 ，点 A、F 分别为其右顶点和右焦点， ，
，若 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
9. 已知 定义域为 R，数列 是递增数列，则
a 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）
10. 下列说法中正确的是
A. 若事件 A 与事件 B 是互斥事件，则
B. 若事件 A 与事件 B 是对立事件：则
C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立
事件
D. 把红、橙、黄 3 张纸牌随机分给甲、乙、丙 3 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得的不
是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
11. 将曲线 上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍纵坐标不变，得
到 的图象，则下列说法正确的是
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上的值域为
C. 的图象关于点 对称
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
12. 如图，已知六棱锥 的底面是正六边形， 平面 ABC， ，则下
列结论中正确的是
A. B. 平面 平面 PBC
C. 直线 平面 PAE D.
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学
参加同一个兴趣小组的概率为________．
14. 已知条件 ，条件 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值
范围是__________．
15. 若数列 满足 ，且 ，则 ________．16. 已知直线 ，若 P 是抛物线 上的动点，则点 P 到直线 l 的距离与其到 y 轴
的距离之和的最小值为____________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. （本题满分 10 分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院
抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日
昼夜温差 10 11 13 12 8 6
就诊人数 个 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先用 2、3、4、5 月的 4 组数据求线性回归方程，再用 1 月和
6 月的 2 组数据进行检验．
请根据 2、3、4、5 月的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到
的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：
，
参考数据：
，
．
18. （本题满分 12 分）
某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷 50 名使用者，然后根据这 50 名的问卷评分
数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为 ， ， ，
， ， ．Ⅰ求频率分布直方图中 a 的值；Ⅱ求这 50 名问卷评分数据的中
位数；Ⅲ从评分在 的问卷者中，随机抽取 2 人，求此 2 人评、
分都在 的概率.19. （本题满分 12 分）
如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形， 底面 ABCD， ，E、F 分别为 CD、
PB 的中点． 求证： 平面 PAD； 求证：平面 平面 PAB；
20. （本题满分 12 分）
已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ，
证明：数列 为等比数列．
若 ，数列 的前项和为 ，求 ．
21. （本题满分 12 分）
在平面四边形 ABCD 中，已知 ， ， ．
若 ，求 的面积；
若 ， ，求 CD 的长．22. （本题满分 12 分）
已知定直线 l： ，定点 ，以坐标轴为对称轴的椭圆 C 过点 A 且与 l 相切．Ⅰ求椭
圆的标准方程；Ⅱ椭圆的弦AP，AQ 的中点分别为 M，N，若 MN 平行于 l，则 OM，ON 斜率
之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．数学试题 答案
1. 解； 命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．故选：D．
2. 解：由题意得高二年级学生数量为： ，
高三年级学生数量为 ，现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名学生，
设应在高三年级抽取的学生的人数为 n，则 ，解得 ．故选 A．
3. 解：甲的中位数为 28，乙的中位数为 29，故 不正确；
甲的平均数为 28，乙的平均数为 29，故 正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故 正确， 不正确，故选：B．
4. 解：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机
数，
在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有 4 组随机数：978，479、588、779，
所求概率为 ，故选：D．
5. 解：当 ，；两直线方程分别为： 与直线 此时两直线重合，充分性
不成立． 若直线 ： 与直线 ： 平行，
则当 时，两直线方程分别为 或 ，此时两直线不平行，
当 ，若两直线平行，则 ，即 且 ，解得 即必要性不成立，故选 D。
6. 解： ，则 ， ．故选 C．
7. 解：以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为 1，
则 ， ， ， ， ，所以 ，
， ． ，
，解得 ． ，故选 B．
8. 解：根据题意，已知双曲线 ，点 A、F 分别为其右顶点和右焦点，
则 ， ，则 ， ，若 ，则有 ，
又由 ，则有 ，变形可得： ，
解得 或 舍，故 ，故选 C．
9. 解： 定义域为 R，数列 是递增数列， 解
得 ，故选 C．
10. 解：若事件 A 与事件 B 是互斥事件，则 ，故 A 正确；
事件 A 与事件 B 是对立事件：则 ，故 B 正确；
一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事
件，故 C 正确；把红、橙、黄、3 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得 1 张，事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，故它们不是互斥事件，D
错误；综上，故选 A、B、C．
11. 解：因为
，
所以 ， ，故 A 正确，
， 在 上的值域为 ，故 B 正确，
的图象关于点 对称，故 C 错误．
对于 D，由 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，故 D 正确．故选 ABD．
12. 解：对于 A，因为 平面 ABC， 平面 ABC，所以 ，
又因为底面 ABCDEF 是正六边形，所以 ，
又 ，PA， 平面 PAB，所以 平面 PAB，又 平面 PAB，
所以 ，故 A 正确；
对于 B， 平面 ABC， 平面 PAE，所以平面 平面 ABC，同理可得平面 平面
ABC，
可知：在五棱锥 中，只有侧面 PAE、侧面 PAB 与底面 ABC 垂直，
所以平面 平面 PBC 不成立，故 B 错误；
对于 C， ，而 AD 与平面 PAE 相交，所以 BC 与平面 PAE 也相交，
直线 平面 PAE 不成立，故 C 错误；
对于 D，可知 ，而六棱锥 的底面是正六边形，所以 ，
所以：在 中， ， ，故 D 正确；故选 AD．
13. 【解答】有数学，物理，化学三个兴趣小组，甲，乙两位同学各随机参加一个，
基本事件总数 这两位同学参加同一个兴趣小组包含的基本事件个数
则这两位同学参加同一兴趣小组的概率为 故答案为
14. 解：条件 p： ， ，解得 ．条件 q： ，
若 p 是 q 的充分不必要条件， ．则实数 a 的取值范围是： ．
15. 解： ， ，
所以 时， ，所以 ，
即 ，所以， 故答案为 5050．
16. 解：抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
过 P 作 PN 垂直准线 于 N，由抛物线的定义可得 ，点 P 到直线 l 的距离 d 与其到 y 轴的距离之和为 ，
当 F，P，M 三点共线，且 FM 垂直于直线 l 时， 的和最小，
可得 F 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 2．故答案为：2．
17. 解： 由数据求得 ， ，由公式求得 ，再由 ，
求得 ， 关于 x 的线性回归方程为 ；
当 时， ， 时， ，
， ．
该小组所得线性回归方程是理想的．
18. 解：Ⅰ由频率分布直方图，可得 ，
解得 ．Ⅱ由频率分布直方图，可设中位数为 m，
则有 ，解得中位数 ．Ⅲ由频率分布直方图，
可知在 内的人数： ，
在 内的人数： ．
设在 内的 2 人分别为 ， ，在 内的 3 人分别为 ， ， ，
则从 的问卷者中随机抽取 2 人，基本事件有 10 种，分别为：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
其中 2 人评分都在 内的基本事件有 ， ， ，共 3 种，
故此 2 人评分都在 的概率为 ．
19. 证明： 取 PA 中点 G，连结 DG、FG．
是 PB 的中点， 且 ，
又底面 ABCD 为矩形，E 是 DC 中点，
且 ， 且 ，
四边形 DEFG 为平行四边形，
又 平面 PAD， 平面 PAD， 平面 PAD．
底面 ABCD， 面 ABCD
又底面 ABCD 为矩形， 又 平面 PAD
平面 PAD ， ，G 为 AP 中点 ，又 ，
平面 PAB 又由 知 ， 平面 PAB，又 面 平面 平面 PAB．
20. 证明： ， 时， ，
两式相减 ， ， ，
常数， 又 时， 得 ， ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；
解：由 ， ，
又 ， ，
，
设 ，
，
两式相减可得： ，
，又 ，
．
21. 解： 在 中， ，
，
解得 ，或 舍 ．
， ， ，
，
，
中， ， ，
， ．
22. 解：Ⅰ设椭圆的标准方程为 ，
椭圆 C 过点 A，所以 ，
将 代入椭圆方程化简得： ，
因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以 ，
解 可得， ，所以椭圆方程为 ．Ⅱ设点 ， ，则有
，
由题意可知 ，所以 ，设直线 PQ 的方程为 ，
代入椭圆方程并化简得： ，
由题意可知
，
通分后可变形得到 ，将 式代入分子 ，
所以 OM，ON 斜率之和为定值 0．
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