数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
2. 复数 z= 的虚部为（ ）
A. -1 B. -3 C. 1 D. 2
3. 满足 =i（i 为虚数单位）的复数 z=（ ）
A. +i B. -i C. -+i D. --i
4. 圆的极坐标方程为 ρ=2（cosθ+sinθ），则该圆的圆心极坐标是（）
A. B. C. D.
5. 如图是函数 的导函数 的图象，给出下列命题：
① 是函数 的极值点；
② 是函数 的最小值点；
③ 在 处切线的斜率小于零；
④ 在区间 上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6. 若 （2x+）dx=3+ln2，则 a 的值是（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
7. 由曲线 ，直线 y＝x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
8. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 x2－y＝
0）的点的个数的估计值为（ ）
A. 5000
B. 6667C. 7500
D. 7854
9. 曲线 y=xex-1 在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x-1 C. y=x+2 D. y=x-2
10. 函数 f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为 2，则 的最
小值是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D.
11. 点 P 是曲线 y=x2- 上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
12. 已知函数 f（x）=sin（x-φ），且 ，则函数 f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A. x= B. x= C. x= D. x=
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 在极坐标系中，直线 ρcosθ- ρsinθ-1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A，B 两点，则|AB|=______．
14. 已知 f（x）=x2+3xf'（2），则 1+f'（1）= ______．
15. 若 f（x）=ax2+（a-2）x+a2 是偶函数，则 （x2+x+ ）dx=______．
16. 如图，由抛物线 y2=8x 与直线 x+y-6=0 及 x 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为
______．
三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，其他各题每题 12 分，共 70.0 分）
17. 设复数 z=m2-2m-3+（m2+3m+2）i，试求实数 m 取何值时，
（1）z 是实数；
（2）z 是纯虚数；
（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．
18. 已知 F（x）= dt，（x＞0）．
（1）求 F（x）的单调区间；
（2）求函数 F（x）在[1，3]上的最值．19. 已知曲线 及 .
（1）当 k=1 时，求上述曲线所围成的图形面积；
（2）用定积分表示曲线 及 所围成的图形面积,并确定 取何值
时,使所围图形的面积最小.
20. 设函数 f（x）=-x3+ax2+bx+c 的导数 f'（x）满足 f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求 f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[-2，2]上的最大值为 20，求 c 的值．
（3）若函数 f（x）的图象与 x 轴有三个交点，求 c 的范围．
21. 已知函数 f（x）=x-alnx，g（x）=- （a＞0）
（1）若 a=1，求 f（x）的极值；
（2）若存在 x0∈[1，e]，使得 f（x0）＜g（x0）成立，求实数 a 的取值范围．
22. 已知函数 f（x）= （a∈ ，a≠0）．
（1）当 a=1 时，求曲线 f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）求函数 f（x）的单调区间；
（3）当 x∈（0，+∞）时，若 f（x）≥1 恒成立，求 a 的取值范围．数学试卷答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
23. 设 ，其中 x，y 是实数，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出 x，y 的值是解决本题的关键，属于基础
题．
根据复数相等求出 x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】
解： ，
，
即
解得
即 ．
故选 B．
24. 复数 的虚部为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
按照复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：
，复数 的虚部为 ．
故选 B．
25. 满足 为虚数单位 的复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的计算，比较基础．
根据复数的基本运算即可得到结论．
【解答】
解： ，
，
即 ，
故选：B．
26. 圆的极坐标方程为 ，则该圆的圆心极坐标是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的圆心极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程和直角坐
标方程的互化公式的合理运用．
由极坐标方程求出圆的直角坐标方程，从而求出该圆的圆心的平面直角坐标，由此能求出该
圆的圆心的极坐标．
【解答】
解： 极坐标方程为 ，
，，
，
，
该圆的圆心的平面直角坐标为 ，
该圆的圆心的极坐标为
故选 B．
27. 如图是函数 的导函数 的图象，给出下列命题：
是函数 的极值点；
是函数 的最小值点；
在 处切线的斜率小于零；
在区间 上单调递增．
则正确命题的序号是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象间的关系，重点是考查利用导数研究函数单调性，求极值
和最值及导数的几何意义的理解．
根据导数的几何意义可判断出 错误，根据导数与函数的单调性、极值点关系，结合图象判断在 上 单调递减，在 上单调递增，可判断 正确， 错误．
【解答】
解：由导函数图象可知：在 上 ， 单调递减，在 上 ，
单调递增， 是函数的极小值点，故 正确， 错误；
根据导数的几何意义，可知在 处的导函数值大于零，即此处切线斜率是大于零的，故
错误；
故选 B．
28. 若 ，则 a 的值是
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】解：因为 ，
所以 ，所以 ；
故选：D．
将等式左边计算定积分，然后解出 a．
本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．
29. 由曲线 ，直线 及 y 轴所围成的图形的面积为
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C【解析】【分析】
利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线 ，直线 的
交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的
转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准
被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
【解答】
解：联立方程 得到两曲线的交点 ，
因此曲线 ，直线 及 y 轴所围成的图形的面积为：
．
故选 C．
30. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分 曲线 C 的方程为
的点的个数的估计值为
A. 5000
B. 6667
C. 7500
D. 7854
【答案】B
【解析】【分析】本题考查概率的计算，涉及定积分求面积，属于基础题．
由题意，阴影部分的面积 ，正方形的面积为 1，求出投掷
一个点落入阴影部分的概率，结合正方形中随机投掷 10000 个点，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，阴影部分的面积 ，正方形的面积为 1，
任意投掷一个点，落入阴影部分的概率为 ，
正方形中随机投掷 10000 个点，
落入阴影部分 曲线 C 的方程为 的点的个数的估计值为 ，
故选：B．
31. 曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，计算得结论．
【解答】
解：因为函数 的导数为 ，
可得曲线 在点 处的切线斜率为 2，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即为 ．
故选 B．
32. 函数 在点 处的切线斜率为 2，则 的最小值是
A. 10 B. 9 C. 8 D.
【答案】B【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由 ，得 ，把 变形为 后整体乘以 1，展开后利用基本不等
式求最小值．
【解答】
解：由 ，得 ，
又 在点 处的切线斜率为 2，
所以 ，即 ，
则
，
当且仅当
即 时等号成立，
所以 的最小值是 9．
故选 B．
33. 点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的距离的最小值是
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义以及点到直线的距离，属于中档题．
对 y 求导，当点 P 是曲线的切线中与直线 平行的直线的切点时，点 P 到直线
的距离的最小，解答即可．【解答】
解：由题意 ， ，
当点 P 是曲线的切线中与直线 平行的直线的切点时，点 P 到直线 的距离最
小，
令 ，解得 ，
所以点 P 的坐标为 ，
故点 P 到直线 的最小值为 ，
故选：B．
34. 已知函数 ，且 ，则函数 的图象的一条对称轴是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查定积分，函数 的图象的对称性，两角和与差的三角公式的应用，
属于中档题．
由 求 得 ， 故 有 ， 可 取 ， 则
令 ，求得 x 的值，可得函数 的图象的一条对称轴方程．
【解答】
解： 函数 ，，
， ，即 ， ，
故可取 ，即
令 ，求得 ， ，
则函数 的图象的一条对称轴为 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
35. 在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，则
______．
【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系，考查了计算
能力，属于基础题．
先把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再计算弦长．
【解答】
解：直线 化为 y 直线 ．
圆 化为 ， ，配方为 ，可得圆心 ，
半径 ．
因为 ，
所以圆心 C 在直线上，
．
故答案为 2．36. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解，属于中档题．
先求出 ，令 ，可得 ，即可求出 ，进而可得到答案．
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为 ．
37. 若 是偶函数，则 ______．
【答案】
【解析】解：若 是偶函数，
则 ，即 ，
故 ，
则，
故答案为： ．
根据函数的奇偶性求出 a 的值，求定积分的值即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查求定积分的值，是一道中档题．
38. 如图，由抛物线 与直线 及 x 轴所围成的图形
图中阴影部分 的面积为______．
【答案】
【解析】【分析】
此题考查利用定积分求图形的面积问题，解题的关键是将图象的面积分为两部分进行处理．
根据定积分的定义结合图象可得 ，然后利用定积分的定义进
行计算．
【解答】
解：由 ，解得 ． 舍 ，
由 ，令 ，解得 ，
设所求图形面积为
，
故答案为 ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
39. 设复数 ，试求实数 m 取何值时，
是实数；
是纯虚数；
对应的点位于复平面的第二象限．
【答案】解： 由 ，解得 或 ．
或 时，z 是实数；
由 ，解得 ，
时，z 是纯虚数．
由 ，解得 ，
当 ，z 对应的点位于复平面的第二象限．
【解析】 由 ，解出即可得出；
由 ，解得即可得出；
由 ，解得即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数为实数纯虚数的充要条件、几何意义、不等式的解法，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
40. 已知 ， ．
求 的单调区间；
求函数 在 上的最值．
【答案】解：依题意得， ，定义域是 分
，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
且函数定义域是 ，
函数 的单调增区间是 ，单调递减区间是 分
令 ，得 舍 ，
由于函数在区间 上为减函数，区间 上为增函数，
且 ， ， ，
在 上的最大值是 ，最小值是 分
【解析】 由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出 再利用导数，
研究 的正负，即可得到函数 的单调增区间是 ，单调递减区间是 ．
根据 的单调性，分别求出 、 、 的值并比较大小，可得 在 上的最
大值是 ，最小值是 ．
本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查
了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
41. 已知曲线 及 ．
Ⅰ 当 时，求上述曲线所围成的图形面积；
Ⅱ 用定积分表示曲线 及 所围成的图形面积，并确定 k 取何
值时，使所围图形的面积最小．
【答案】解： 当 时，曲线围成的图形的面积为如图．
则 ，
．
所以当 时，S 最小为 ．
【解析】 将 代入利用定积分表示出曲线围成图形的面积求出即可；
曲线 及 所围成的图形的面积，就是定积分 ，求得
，利用二次函数的性质可得结果．
42. 设函数 的导数 满足 ， ．
求 的单调区间；
在区间 上的最大值为 20，求 c 的值．
若函数 的图象与 x 轴有三个交点，求 c 的范围．
【答案】解： 函数的导数 ，满足 ， ，
得 ， ，
则 ，
，
由 得
得 ，解得 ，
此时函数单调递增，即递增区间为 ，
由 得
得 ，解得 或 ，
此时函数单调递减，即递减区间为 ， ；
由 知，当 时，函数取得极小值 ，
， ，
则 在区间 上的最大值为 ，
则 ．
由 知当 时，函数取得极小值 ，
当 时，函数取得极大值 ，
若函数 的图象与 x 轴有三个交点，
则 得 ，得 ，
即 c 的范围是 ．
【解析】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，建立方程或不等式进行求解是解决
本题的关键．考查学生的运算能力．
求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出 a，b 的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求 的单调区间；
求出函数 在区间 上的最大值，建立方程关系即可求 c 的值．
若函数 的图象与 x 轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于 0，极小值小于 0，解不
等式即可求 c 的范围．
43. 已知函数 ，
若 ，求 的极值；
若存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】解： 时， ，
函数 的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
故 的极小值是 ，无极大值；
存在 ，使得 成立，
等价于 ， 成立，
设 ，
则 ，
令 ，解得： 舍 ， ；
当 ， 在 递减，，
令 ，解得： ；
当 时， 在 递减，在 递增，
与 矛盾，
综上，实数 a 的取值范围为
【解析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道
中档题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即
可；
问 题 转 化 为 ， 成 立 ， 设
，根据函数的单调性求出 a 的范围即可．
44. 已知函数 ．
当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
求函数 的单调区间；
当 时，若 恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】解： 由 ，得：
， ，
当 时， ，
依题意 ，即在 处切线的斜率为 0，把 代入 中，得 ，
则曲线 在 处切线的方程为 ．
函数 的定义域为 ，
由于 ．
若 ，
当 时， ，函数 为增函数；
当 和 时， ，函数 为减函数．
若 ，
当 和 时， ，函数 为增函数；
当 时， ，函数 为减函数．
综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ， ；
当 时，函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ．
当 时，要使 恒成立，
即使 在 时恒成立，
设 ，则 ，
可知在 时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数，
则 ，
所以 ．【解析】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单
调性，考查恒成立问题，属于较难题．
求出原函数的导函数，代入 ，求得 ，再求出 的值，利用直线方程的点斜式求
曲线 在点 处切线的方程；
由 中求出的 ，然后对 a 进行分类讨论，根据 和 分别求出函数的增区间和
减区间；
当 时， 恒成立，等价于 在 时恒成立，构造辅助函数
，由导数求出函数 的最大值，则 a 的取值范围可求．
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