____________________________________________________________________________________________
牡一中 2017 级高三学年线上线下教学检测性考试
数学文科试题
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 ，则满足条件 的集合 B 的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2.已知 为虚数单位， ，复数 ，则 （ ）
A B. C. D.
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展
我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.
自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”
沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（ ）
A. 这五年，2013 年出口额最少
B. 这五年，出口总额比进口总额多
C. 这五年，出口增速前四年逐年下降
D. 这五年，2017 年进口增速最快
4.已知 ， ， ，若 ，则 ( )
A. 6 B. C. 16 D. 20
5.已知命题 p:“ ， ”的否定是“ ， ”；命题q:
“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
6.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在 20 世纪 70 年代创立的一门数学新分支，其中的
{ }2 2 0A x x x= ∈ − + + ≥N A B A∪ =
i ,a b∈R 1
2
i i a bii
+ − = +− a bi− =
1 2
5 5 i− 1 2
5 5 i+ 2 1
5 5 i− 2 1 i5 5
+
( )1,2A ( )2,3B ( )1,C m− BA BC BA BC+ = − 2
AC =
2 5
0x R∃ ∈
0
1 01x
>+ x R∀ ∈ 1 01x
≤+
2020x < 2019x <
p q∧ q¬ ( )p q∨ ¬ ( )p q¬ ∧____________________________________________________________________________________________
“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角
形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角
形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”
图形(如图所示)，按上述操作 7 次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）
A. B. C. D.
7、已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线
方程为（ ）
A. B. C.
D.
8．已知函数 ， ， ， 为 图象的对称中心，
， 是该图象上相邻的最高点和最低点，若 ，则 的单调递增区间是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
9、函数 的图像大致为（ ）.
A. B. C. D.
10、已知正方形 的边长为 2，点 为边 中点，点 为边 中点，将
， 分别沿 , 折起，使 三点重合于 M 点，则三
棱锥 的外接球的表面积为（ ）
2 2 1( )my x m R− = ∈
2
2 15
y x+ =
3y x= ± 3
3y x= ± 1
3y x= ± 3y x= ±
53 63 73 83
( ) 3sin( )( 0f x xω ϕ ω= + > )2 2
π πϕ− < < 1(3A 0) ( )f x
B C 4BC = ( )f x ( )
2(2 3k − 42 )3k + k Z∈ 2(2 3kπ π− 42 )3kπ π+ k Z∈
2(4 3k − 44 )3k + k Z∈ 2(4 3kπ π− 44 )3kπ π+ k Z∈
2 2
cos
x x
y x x
−−= −
ABCD E AB F BC
AED DCF∆ ∆， EBF∆ DE DF， EF , ,A B C
M DEF−____________________________________________________________________________________________
A. B. C. D.
11．（5 分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开
始，每年到银行储蓄 元一年定期，若年利率为 保持不变，且每年到期时存款（含利息）
自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数为（ ）
A． B． C． D．
12．（5 分）已知函数 ， ， ，曲线 上总存在两点
， ， ， ，使曲线 在 ， 两点处的切线互相平行，则 的
取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.已知 ,则 ___________.
14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是2
3，
则 a＝________，该几何体的表面积为________．
15．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，
则 ________， 的最大值为_________.
16、已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两
条渐近线的交点分别为 ，若 为直角三角形，则
三、解答题
17.已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
3
2
π
3π 6π 12π
a r
17(1 )a r+ 17[(1 ) (1 )]a r rr
+ − + 18(1 )a r+ 18[(1 ) (1 )]a r rr
+ − +
24 4( ) ( ) xf x k lnxk x
−= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x=
1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+
( )
8( , )5
+∞ 16( , )5
+∞ 8[ , )5
+∞ 16[ , )5
+∞
2 3sin 3 3x
π − = − 6cos x
π − =
ABC∆ A B C， ， a b c， ， 2sin sin cos sinA B C C=
2 2
2
a b
c
+ = sinC
13: 2
2
=− yxC O F C F C
NM , OMN∆ =MN
{ }na n nS 1 1a = 4 24S S=____________________________________________________________________________________________
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 （ ），求 的值.
18.如图，多面体 是正三棱柱 沿平面 切除一部分所得，
，点 为 的中点.
（1）求证: 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.
19.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取
50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将统
计结果按如下方式分成八组：第一组 ， ，第二组 ， ， 第八组 ，
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区
间的中点值代表该组数据平均值）；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对
值小于 10 分的概率．
20.设椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ，椭圆的上顶点为点 ，
点 为椭圆 上一点，且 .
（1）求椭圆 的离心率；
{ }na
1 2 9 180m m m ma a a a+ + ++ + + + = *m N∈ m
1 1ABC DB C− 1 1 1ABC A B C− 1 1DB C
1 1BC CC= = D 1AA
1BC ⊥ 1B CD 1B BCD
[65 75) [75 85) …… [135
145]
:C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 1 2F F， B
A C 1 13 0F A F B+ =
C____________________________________________________________________________________________
（2）若 ，过点 直线交椭圆于 两点，求线段 的中点 的轨迹方程.
21.已知函数 ， .
（1）求直线 与曲线 相切时，切点 的坐标；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分）
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 普通方程和 的直角坐标方程；
(2)若 分别为曲线 和曲线 上的动点，求 的最大值.
选修 4-5：不等式选讲（10 分）
23．已知函数 ．
（1）若 时，解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
的
的
1b = 2F M N， MN P
( )( ) 1 lnf x x x= + ( ) ( )1g x a x a R= − ∈，
( )y g x= ( )y f x= T
( )0 1x ∈ ， ( ) ( )g x f x> a
xOy 1C 2 cos
6 2 sin
x
y
α
α
=
= +
α
2C
2
10
1 9sin
ρ
θ
=
+
1C 2C
NM , 1C 2C MN
( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈
2m = ( ) 3≤xf
x ( ) 32 −≤ xxf [ ]1,0∈x m____________________________________________________________________________________________
一、选择题
1、D 2、B 3、C
对于选项 A：观察五个灰色的条形图,可得 2013 年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，
2013 年出口额最少.故选项 A 正确;
对于选项 B:观察五组条形图可得,2013 年出口额比进口额稍低,但 2014 年—2017 年都是
出口额高于进口额,并且 2015 年和 2016 年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总
额比进口总额多.故选项 B 正确;
对于选项 C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即 2013 年到 2014 年出口增速是
上升的.故选项 C 错误;
对于选项 D：从图中可知,蓝色的折线图 2017 年是最高的,即 2017 年进口增速最快.故选项
D 正确;
4、D
解： ， ，
，
又 ， ，
解得 ， ， .
5、D
命题 p：“ ， ”的否定是“ ， 或 ”.则命题
是假命题.
命题 q：“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，为真命题.
则 为真命题，其余为假命题.
6、C
( 1, 1), ( 3, 3)BA BC m= − − = − − (2,2 )CA m= −
( 4, 4), (2,2 )BA BC m BA BC CA m∴ + = − − − = = −
BA BC BA BC+ = − 2 216 ( 4) 4 (2 )m m∴ + − = + −
6m = ( 2,4)AC∴ = − 2
4 16 20AC∴ = + =
0x R∃ ∈
0
1 01x
>+ x R∀ ∈ 1 01x
)2 2
π πϕ− < <
1(3A 0) ( )f x B C 4BC =
∴ 2 2 2(2 3) ( ) 42
T+ =
2
212 16
π
ω+ =
2
πω =
1
2 3 k
π ϕ π+ = k Z∈
6
πϕ = − ( ) 3sin( )2 6f x x
π π∴ = −
2 22 2 6 2k x k
π π π ππ π− − +
2 44 43 3k x k− +
( )f x 2(4 3k − 44 )3k + k Z∈
( )f x = 2 2
cos
x x
y x x
−−= −____________________________________________________________________________________________
则 , ;
即 .故选项 D 排除;
对于选项 C：因为 ,故选项 C 排除;
对于选项 B:当 ,且 无限接近于 0 时, 接近于 , ，此时
.故选项 B 排除;
10、C
作图如下：
由题意可得 为等腰直角三角形,且 平面 MEF,
将三棱锥的底面 MEF 扩展为边长为 1 的正方形,然后扩展为正四棱柱,
三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一球,正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,
直径为： ,所以球的半径为 ,
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ,
11、D
解：根据题意，
当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
5 5
2 25 2 2
52
2
f
π π
π
π
− − − =
5 5
2 25 2 2
52
2
f
π π
π
π
−− =
5 5
2 2f f
π π − = −
5 5
2 25 2 2 052
2
f
π π
π
π
−− = >
0x > x cosx x− 1 0− < 2 2 0x x−− >
( ) 0f x <
MFE∆ MD ⊥
1 1 4 6+ + = 6
2
M DEF−
2
2 64 4 62S Rπ π π
= = ⋅ =
a 17(1 )a r+____________________________________________________________________________________________
同理：孩子在 2 周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
孩子在 3 周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
孩子在 17 周岁生日时存入的 元产生的本利合计为 ，
可以看成是以 为首项， 为公比的等比数列的前 17 项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
；
12、B
解：函数 ，导数 ．
由题意可得 ， ，且 ．即有 ，
化为 ，而 ，
，化为 对 ， 都成立，
令 ， ， ， ，对 ， 恒成立，
即 在 ， 递增， （4） ， ，
，即 的取值范围是 ， ．
二、填空
a 16(1 )a r+
a 15(1 )a r+
……
a (1 )a r+
(1 )a r+ (1 )r+
17
17 17 18(1 )[(1 ) 1](1 ) (1 ) (1 ) [(1 ) (1 )]1 1
a r r aS a r a r a r r rr r
+ + −= + + + +……+ + = = + − ++ −
24 4( ) ( ) xf x k lnxk x
−= + +
2
4 1 4( ) ( ) 1f x k k x x
′ = + − −
1 2 1( ) ( )(f x f x x′ = ′ 2 0x > 1 2 )x x≠ 2 2
1 1 2 2
4 4
4 41 1
k kk k
x x x x
+ +
− − = − −
1 2 1 2
44( ) ( )x x k x xk
+ = + 21 2
1 2 ( )2
x xx x
+<
21 2
1 2
44( ) ( )( )2
x xx x k k
+∴ + < + 1 2
16
4x x
k k
+ >
+
[4k ∈ )+∞
4( )g k k k
= + [4k ∈ )+∞
2
4( ) 1 0g k k
′ = − > [4k ∈ )+∞
( )g k [4 )+∞ ( )g k g∴ 5= ∴ 16 16
4 5k k
+
1 2
16
5x x∴ + > 1 2x x+ 16( 5 )+∞____________________________________________________________________________________________
13、
14． 答案 1 3＋ 5
解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为 a 的正方形，平面 SAB⊥平面 ABCD，
并且∠SAB＝90°，SA＝2，所以体积是 V＝1
3×a2×2＝2
3，解得 a＝1，四个侧面都是直角三
角形，所以计算出表面积是 S＝12＋1
2×1×2＋1
2×1× 5＋1
2×1×2＋1
2×1× 5＝3＋ 5.
15.答案为:3;
因为 ，由正余弦定理可得,
,整理可得,
，即 3；
因为 ,所以 ，
由题意可得， ,当 时,C 角有最大值, 有最大值,
所以 ,即 .
16.3
17.（1）设等差数列 的公差为 ，
由 得， ，整理得 .
又∵ ，∴ ，∴ （ ）.
（2） 可化为 ，
解得 .
18.（1）设 与 交于点 E，连接 .
3
3−
5
3
2sin sin cos sinA B C C=
22 2 2
2 2 2 2
a b b a c c
R R ab R
+ − ⋅ ⋅ =
2 2 23b a c+ =
2 2
2
a b
c
+ =
2 2 2
2 2 2 ,cos 2
a b ca b ab C ab
+ −+ ≥ =
2 2 2 2 2
2 2 2
3 2cos 3 3
a b c c cC a b c
+ − −≥ = =+
0 2C< < π 2cos 3C = sinC
2sin 1 cosC C= − 4 5sin 1 9 3C = − =
{ }na d
4 24S S= 1 14 6 8 4a d a d+ = + 12d a=
1 1a = 2d = ( )1 1 2 1na a n d n= + − = − *n N∈
1 2 9 180m m m ma a a a+ + ++ + + + = 10 45 20 80 180ma d m+ = + =
5m =
1BC 1B C DE____________________________________________________________________________________________
∵多面体 是正三棱柱 沿平面 切除部分所得， ，
∴四边形 是正方形，四边形 ､ 均为直角梯形，其中 ，
.
∵点 D 为 的中点， 平行且等于 ，∴ .
又 ，∴
.∵E 为 的中点，∴ .又∵ ， ，∴ 平面 ；
（2）设点 到平面 的距离为 d， ∵ ，
点 D 到平面 的距离即为 边 上的高，即为 ，
∴ .又∵ ， ，
∴ ， .
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
19.解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
．
完成频率分布直方图如下：
1 1ABCDB C 1 1 1ABC A B C− 1 1DB C 1BC CC=
1 1BB C C 1CC DA 1ABB D AB AD⊥
AC AD⊥
1AA 1AA 1BB 2 2 5
2BD BA AD= + =
( )2 2
1 1
5
2DC CC AD AC= − + = 1BD C D=
1BC 1BC DE⊥ 1 1B C BC⊥ 1B C DE E= 1BC ⊥ 1B CD
1B BCD 1 1B BCD D BCBV V− −=
1 1BCC B ABC∆ BC
21 31 2 2
− =
1
1 1 3
3 3 2BCD B BCS d S∆ ∆⋅ = × 5
2DC BD= = 1BC =
1
21 1
2 2B BCS BC∆ = × = 2 21 1 1
2 4 2BCDS BC BD BD∆ = × × − =
1
3 1 3
32 2 2
1 2
2
B BC
BCD
S
d S
∆
∆
× ×
= = = 1B BCD 3
2
1 (0.004 0.012 0.016 0.030 0.020 0.006 0.004) 10 0.08− + + + + + + × =____________________________________________________________________________________________
（2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分为：
（ 3 ） 样 本 成 绩 属 于 第 六 组 的 有 人 ， 样 本 成 绩 属 于 第 八 组 的 有
人，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，
基本事件总数 10，
他们的分差的绝对值小于 10 分包含的基本事件个数 4，
他们的分差的绝对值小于 10 分的概率 ．
20.（1） 设 （ ）， ， ，
所以 ， 得
，即 ，
又∵ （ ）在椭圆 上，
∴ ，得 ，即椭圆 的离心率为 .
70 0.004 10 80 0.012 10 90 0.016 10 100 0.030 10 110 0.020 10 120 0.006 10 130 0.008 10 140 0.004 10 102× × + × × + × × + × × + × × + × × + × × + × × =
0.006 10 50 3× × =
0.004 10 50 2× × =
∴ 4 2
10 5
mp n
= = =
A 0 0x y， B ( )0 b， ( )1 0F c− ，
( ) ( )1 0 0 1, , ,F A x c y F B c b= + =
1 13 0F A F B+ =
0
0
0
0
4
3 4 0 3
3 0
3
cxx c
y b by
= −+ = ⇒ + = = −
4
3 3
bA c − − ，
A 0 0x y， :C
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2
4 1
3 3 1
c b
a b
− − + =
2
2
c
a
= C 2
2e =____________________________________________________________________________________________
（2） 由（1）知， .又∵ ， ，
解得 ， ，∴椭圆 的方程为 .
当线段 在 轴上时，线段 的中点 为坐标原点（0，0）.
当线段 不在 轴上时，设直线 的方程为 ， ， ，
将直线 的方程为 代入椭圆方程 中，得 .
∵点 在椭圆内部，∴ ， ，则
，
∴点 的坐标满足 ， ，消去 得， （ ）.
综上所述，点 的轨迹方程为 .
21. 因为函数 ，所以 ，
设直线 与曲线 相切的切点 的坐标为 ，
则 ，整理化简得 .
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，
∴由零点存在性定理可得, 在 最多有一个实数根.
又∵ ，∴ ，此时 ，
即切点 的坐标为（1，0）.
（2）当 时， 恒成立，等价于 对 恒成立.
令 ，则 ， .
①当 ， 时， ，
∴ ， 在 上单调递增，因此 符合题意.
2
2e = 1b = 2 2 2a b c= +
2 2a = 2 1b = C
2
2 12
x y+ =
MN x MN P
MN x MN 1x my= + ( )1 1M x y， ( )2 2N x y，
MN 1x my= + 2
2 12
x y+ = ( )2 22 2 1 0m y my+ + − =
2F > 0∆ 1 2 2
2
2
my y m
+ = − +
( )1 2 1 2 2
42 2x x m y y m
+ = + + = +
( )P x y， 2
2
2x m
= + 2 2
my m
= − + m 2 22 0x y x+ − = 0x ≠
P 2 22 0x y x+ − =
( )1 ( )( ) 1 lnf x x x= + ( ) 1ln 1f x x x
′ = + +
( )y g x= ( )y f x= T ( )0 0x y，
( ) ( )
0
0
0 0 0
1ln 1
1 ln 1
x ax
x x a x
+ + =
+ = −
0 0
0
12ln 0x x x
− + =
( ) 12lnh x x x x
= − + ( ) 2
2
2 1 0x xh x x
− +′ = − ≤
( )h x ( )0 + ∞，
( ) 0h x = ( )0 + ∞，
( )1 0h = 0 1x = 0 0y =
T
( )0 1x ∈ ， ( ) ( )g x f x> ( )1ln 01
a xx x
−−
( ) 0h x′ > ( )h x ( )0 1x ∈ ， ( ) 0h x ( ) 0h x′ = ( ) ( )2 2
1 21 1 1 1 1 1x a a x a a= − − − − = − + − −，
2 1>x 1 2 1=x x 10 1x< <
( )1 1x x∈ ， ( ) 0h x′ < ( )h x
( )1 1x x∈ ， ( ) ( )1 0h x h> =
a ( ] 2−∞，
1C ( )22 6 2x y+ − =
2
2
10
1 9sin
ρ θ= +
2 2 2x yρ = + siny ρ θ=
2 2 29 10x y y+ + =
2C
2
2 110
x y+ =
1C ( )0,6A 2r =
( )10 cos ,sinN θ θ
( ) ( )22 210 cos 0 sin 6NA θ θ= − + − 2 210cos sin 12sin 36θ θ θ= + − +
229 sin 503
θ = − + +
2sin 3
θ = −
max 5 2NA = MN 5 2 2 6 2+ =
2m = | 1| | 2 2 | 3x x− + +
1x − 1 2 2 3x x− + − −
4
3x −
4 13 x− −
1 1x− < < 1 2 2 3x x− + + 0x 1 0x− <
1x 1 2 2 3x x− + +
2
3x x∈Φ
≤≤− 03
4 xx____________________________________________________________________________________________
（2）当 ， 时，由 得 ，即 ，
故得，
又由题意知： ，即 ，故 的范围为 ， ．
[0x∈ 1] ( ) 32 −≤ xxf 1 | 2 | 3 2x x m x− + + − xmx −≤+ 22
xmxx −≤+≤− 222
maxmin )32()2( xmx −≤≤−− 23 ≤≤− m m [ 3− 2]
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