2020 年高考数学（3 月份）模拟试卷
一、填空题.
1．已知 A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则 A∩B＝ ．
2．若复数 z 满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i 是虚数单位），则|z|＝ ．
3．执行如图所示的算法流程图，输出的 S 的值是 ．
4．若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x ．
5．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外
完全相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是
．
6．先把一个半径为 5，弧长为 6π 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的
铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心
的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为 ．
7．若双曲线 的左焦点在抛物线 y2＝2px 的准线上，则 p 的值为 ．
8．在△ABC 所在的平面上有一点 P，满足 ，则 ＝ ．
9．已知直线 y＝kx﹣2 与曲线 y＝xlnx 相切，则实数 k 的值为 ．
10．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0），直线 y＝ b 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 OA
⊥OB，则椭圆离心率的值等于 ．
11．已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，a12＝2，且当 n≥2 时， 为 Sn 和 Sn﹣1 的等差中
项，则 S32 的值为
12．设 α，θ 为锐角，tanθ＝atanα（a＞1），若 θ﹣α 的最大值为 ，则实数 a 的值为 ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4 上两个动点，
且 AB＝2 ．若直线 l：y＝﹣x 上存在点 P，使得 + ＝ ，则实数 a 的取值范围为
．
14．已知函数 f（x）＝ex，若函数 g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣ +2a|x﹣2|有 6 个零点，
则实数 a 的取值范围为 ．
二、解答题：共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明
、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin（A﹣B）+sinC＝1．
（1）求 sinAcosB 的值；
（2）若 a＝2b，求 sinA 的值．
16．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N 分别是 AC，B1C1
的中点．求证：
（1）MN∥平面 ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的右焦点为 F（
1，0），并且点 在椭圆上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率为 k（k 为常数）的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，交 x 轴于点 P（m，0），
Q 为直线 x＝2 上的任意一点，记 QA，QB，QP 的斜率分别为 k1，k2，k0．若 k1+k2＝2k0
，求 m 的值．
18．（16 分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切，
记其圆心为 O，切点为 G．为参观方便，现新修建两条道路 CA、CB，分别与圆 O 相切
于 D、E 两点，同时与 PQ 分别交于 A、B 两点，其中 C、O、G 三点共线且满足 CA＝CB
，记道路 CA、CB 长之和为 L．
（1）①设∠ACO＝θ，求出 L 关于 θ 的函数关系式 L（θ）；②设 AB＝2x 米，求出 L
关于 x 的函数关系式 L（x）．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设
计使得新建道路造价最少．
19．（16 分）设 f（x）＝aex﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a 为与自变量 x 无关的正实数）．
（1）证明：函数 f（x）与 g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条
公切线；
（2）是否存在实数 k，使得 对任意的 恒成立，若存
在，求出 k 的取值范围，否则说明理由．
20．（16 分）定义：对于一个项数为 m（m≥2，m∈N*）的数列{an}，若存在 k∈N*且 k＜m
，使得数列{an}的前 k 项和与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们
称该数列是“等和数列”．例如：因为 3＝2+1，所以数列 3，2，1 是“等和数列”．请
解答以下问题：
（1）判断数列 2，﹣4，6，﹣8 是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列{an}共有 r 项（r≥3，且 r 为奇数），a1＝1，{an}的前 n 项和 Sn 满足
nSn+1＝（n+1）Sn+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{an}是不是“等和数列”，并证明你的结
论．
（3）{bn}是公比为 q 项数为 m（m∈N*，m≥3）的等比数列{bn}，其中 q≥2．判断{bn}是
不是“等和数列”，并证明你的结论．
三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的
前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修 4-2：矩阵与变换]
21．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+y﹣2＝0 在矩阵 A＝ 对应的变换作用下得到
的直线仍为 x+y﹣2＝0，求矩阵 A．
[选修 4-4：极坐标与参数方程]
22．在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）．求直
线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x，y，z 均为正数，且 ，求证：x+4y+9z≥10．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
24．如图，在三棱锥 D﹣ABC 中，DA⊥平面 ABC，∠CAB＝90°，且 AC＝AD＝1，AB＝
2，E 为 BD 的中点．
（1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；
（2）求二面角 A﹣CE﹣B 的余弦值．
25．在自然数列 1，2，3，…，n 中，任取 k 个元素位置保持不动，将其余 n﹣k 个元素变
动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为 Pn（k）．
（1）求 P3（1）
（2）求 P4（k）；
（3）证明 kPn（k）＝n Pn﹣1（k），并求出 kPn（k）的值．
参考答案
一、填空题：共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填在答题卡相应位置上．
1．已知 A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则 A∩B＝ {3，4} ．
【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可．
解：∵A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}
2．若复数 z 满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i 是虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，化简复数 z 到
最简形式，再利用复数的模的定义求出|z|．
解：因为复数 z 满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i 是虚数单位），
∴z＝ ＝ ＝1+2i；
∴|z|＝ ＝ ；
故答案为： ．
3．执行如图所示的算法流程图，输出的 S 的值是 7 ．
【分析】这是一个递推问题，因为只需算到 n＝3，所以可以逐项列举计算．
解：n＝1 时，S＝2×0+1＝1
n＝2 时，S＝2×1+1＝3
n＝1 时，S＝2×3+1＝7
因为 n≤3 时停止循环．
故 S＝7．
故答案为：7
4．若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则 x ＝2 ．
【分析】由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之．
解 ： 因 为 数 据 2 ， x ， 2 ， 2 的 方 差 为 0 ， 由 其 平 均 数 为 ， 得 到
＝0，解得 x＝2；
故答案为：2．
5．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外
完全相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是
．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球，共有 C52
种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6，可以列举出所有的事
件共有 3 种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
解：由题意知，本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从中随机取出 2 个小球，共有 C52＝10 种结果，
满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为 3 或 6，
可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有 3 种结果，
根据古典概型概率公式得到 P＝ ，
故答案为：
6．先把一个半径为 5，弧长为 6π 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的
铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心
的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为 ．
【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据
球体积公式即可求解．
解：由题意可知，圆锥的底面周长 6π＝2π•OA，OA＝5，
所以 OA＝3，PO＝ ＝4，
所以圆锥的体积 V＝ ＝12π，
设球的半径 r，则 ＝12π，
所以 r＝ ．
故答案为：
7．若双曲线 的左焦点在抛物线 y2＝2px 的准线上，则 p 的值为 6 ．
【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解 p．
解：由双曲线 ，得 a2＝5，b2＝4，
则 ，则双曲线 的左焦点为（﹣3，0），
抛物线 y2＝2px 的准线方程为 x＝﹣ ，则 ，p＝6．
故答案为：6．
8．在△ABC 所在的平面上有一点 P，满足 ，则 ＝ ．
【分析】由 可得 ，则 ．
即可求解 ＝﹣ ．
解：由 可得 ，
则 ．
＝| || |cos∠APB， ＝| || |cos（π﹣∠APB）＝﹣2| || |cos∠
APB
则 ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
9．已知直线 y＝kx﹣2 与曲线 y＝xlnx 相切，则实数 k 的值为 1+ln2 ．
【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对 y＝xlnx 求导数得 y′＝lnx+1，从而得到切线的斜
率 k＝lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为 y＝（lnx0+1）x﹣x0，对照已知
直线列出关于 x0、k 的方程组，解之即可得到实数 k 的值．
解：设切点为（x0，x0lnx0），
对 y＝xlnx 求导数，得 y′＝lnx+1，
∴切线的斜率 k＝lnx0+1，
故切线方程为 y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），
整理得 y＝（lnx0+1）x﹣x0，
与直线 y＝kx﹣2 比较，
得： ，
故 k＝1+ln2，
故答案为：1+ln2．
10．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0），直线 y＝ b 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 OA
⊥OB，则椭圆离心率的值等于 ．
【分析】直线与椭圆的方程联立求出 A，B 的坐标，由 OA⊥OB 可得 ＝0，求出 a
，b 的关系，再由 a，b，c 之间的关系求出离心率．
解：联立方程组 可得 ＝ ，所以 x＝ a，
所以 A（﹣ a， ），B（ ， ），
因为 OA⊥OB，所以 ＝0，
所以﹣ a a+（ ）2＝0，可得 a2＝2b2，
所以离心率 e＝ ＝ ＝
故答案为：
11．已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，a12＝2，且当 n≥2 时， 为 Sn 和 Sn﹣1 的等差中
项，则 S32 的值为 8
【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得 Sn2，进而得到 Sn，
即可得到所求值．
解：正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，a12＝2，且当 n≥2 时， 为 Sn 和 Sn﹣1 的等差中项
，
可得 Sn+Sn﹣1＝ ＝ ，即为 Sn2﹣Sn﹣12＝2，
可得{Sn2}是首项、公差均为 2 的等差数列，即有 Sn2＝2n，
由题意可得 Sn＝ ，n∈N*，
则 S32＝ ＝8，
故答案为：8．
12．设 α，θ 为锐角，tanθ＝atanα（a＞1），若 θ﹣α 的最大值为 ，则实数 a 的值为
．
【分析】由题意利用两角和差的的三角公式
解 ： tan （ θ ﹣ α ） ＝ ＝ ＝ ＝
，
因为 α，为锐角，
所以 （当且仅当 时，取等号），
因为 a＞1，
所以 ≤ ，
所以 tan（θ﹣α）最大值为 ，
又因为 θ﹣α 的最大值为 ，所以 tan ＝ ，
即 2 ＝a﹣1，
解得 a＝3+2 ，
故答案为：3+2 ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4 上两个动点，
且 AB＝2 ．若直线 l：y＝﹣x 上存在点 P，使得 + ＝ ，则实数 a 的取值范围为
．
【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4 的圆心 C（a，2
），半径 r＝2，求出圆心 C 到 AB 的距离为 1，设 P（x，﹣x），由向量等式可得 AB 的
中点 M 的坐标，再由|CM|＝1 列关于 x 的方程，由直线 l 上存在点 P，使得 + ＝
，利用判别式大于等于 0 求得实数 a 的取值范围．
解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），AB 的中点 M（ ， ），
圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4 的圆心 C（a，2），半径 r＝2，
圆心 C（a，2）到 AB 的距离|CM|＝ ，
直线 l：y＝﹣x 上存在点 P，使得 + ＝ ，
设 P（x，﹣x），则（x1﹣x，y1+x）+（x2﹣x，y2+x）＝（a，2），
∴ ，得 ，即 M（x+ ，﹣x+1），
∴|CM|＝ ，
整理，得 2x2+（2﹣a）x+ ，
∵直线 l：y＝﹣x 上存在点 P，使得 + ＝ ，
∴△＝ ≥0，解得 ．
故答案为： ．
14．已知函数 f（x）＝ex，若函数 g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣ +2a|x﹣2|有 6 个零点，
则实数 a 的取值范围为 ．
【分析】可以先对 ex|x﹣2|整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根 t1，t2，然后
令 ，转化为 y＝ti 与 y＝ex|x﹣2|各有三个交点的问题．
解：对于 g（x）＝0，令 t＝|x﹣2|ex，
∴t2+2at﹣a＝0①有两个正根 t1，t2．
做出 t＝|x﹣2|ex 的图象如右图：
（∵ ，∴ ，
∴x≥2 时，t′＞0；1＜x＜2 时，t′＜0；x＜1 时，t′＞0．
∴该函数在（﹣∞，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+∞）递增，
且 t＞0 恒成立．且当 y＝ti 与 t＝|x﹣2|ex 各有三个交点时，满足题意，
据图可知方程①在（0，e）上有两个不等实根时即可，令 h（t）＝t2+2at﹣a，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
二、解答题：共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明
、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin（A﹣B）+sinC＝1．
（1）求 sinAcosB 的值；
（2）若 a＝2b，求 sinA 的值．
【分析】（1）利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式，即可求出 sinAcosB 的
值；
（2）利用正弦定理把 a＝2b 化为 sinA＝2sinB，再利用（1）的结论求出 B 的值，从而
求出 sinA 的值．
解：（1）△ABC 中，A+B+C＝π，
∴sin（A﹣B）+sinC＝sin（A﹣B）+sin（A+B）
＝（sinAcosB﹣cosAsinB）+（sinAcosB+cosAsinB）
＝2sinAcosB＝1，
∴sinAcosB＝ ；
（2）△ABC 中，a＝2b，
∴sinA＝2sinB，
∴sinAcosB＝2sinBcosB＝sin2B＝ ，
∴2B＝ 或 2B＝ ，
∴B＝ 或 B＝ ；
∴sinB＝ 或 sinB＝ ，
∴sinA＝2sinB＝ 或 sinA＝2sinB＝ （不合题意，舍去）．
综上，sinA＝ ．
16．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N 分别是 AC，B1C1
的中点．求证：
（1）MN∥平面 ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
【分析】（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1 推导出四边形 PMNB1 是平行四边形，从
而 MN∥PB1，由此能证明 MN∥平面 ABB1A1．
（2）推导出 BB1⊥面 A1B1C1，从而面 ABB1A1⊥面 A1B1C1 推导出 B1C1⊥B1A1，从而 B1C1
⊥面 ABB1A1，进而 B1C1⊥A1B，即 NB1⊥A1B，连结 AB1，推导出 AB1⊥A1B，从而 A1B
⊥面 AB1N，由此能证明 A1B⊥AN．
【解答】证明：（1）取 AB 的中点 P，连结 PM、PB1，
因为 M、P 分别是 AB，AC 的中点，所以 PM∥BC 且 PM＝ BC，
在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，
又因为 N 是 B1C1 的中点，
所以 PM∥B1N，且 PM＝B1N．…
所以四边形 PMNB1 是平行四边形，
所以 MN∥PB1，…
而 MN⊄平面 ABB1A1，PB1⊂平面 ABB1A1，
所以 MN∥平面 ABB1A1．…
（2）因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1⊥面 A1B1C1，
又因为 BB1⊂面 ABB1A1，所以面 ABB1A1⊥面 A1B1C1，…
又因为∠ABC＝90°，所以 B1C1⊥B1A1，
面 ABB1A1∩面 A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面 A1B1C1，
所以 B1C1⊥面 ABB1A1，…
又因为 A1B⊂面 ABB1A1，所以 B1C1⊥A1B，即 NB1⊥A1B，
连结 AB1，因为在平行四边形 ABB1A1 中，AB＝AA1，
所以 AB1⊥A1B，
又因为 NB1∩AB1＝B1，且 AB1，NB1⊂面 AB1N，
所以 A1B⊥面 AB1N，…
而 AN⊂面 AB1N，所以 A1B⊥AN．…
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的右焦点为 F（
1，0），并且点 在椭圆上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率为 k（k 为常数）的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，交 x 轴于点 P（m，0），
Q 为直线 x＝2 上的任意一点，记 QA，QB，QP 的斜率分别为 k1，k2，k0．若 k1+k2＝2k0
，求 m 的值．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 焦 点 坐 标 可 得 c ＝ 1 ， 利 用 椭 圆 定 义 可 得
，结合 a2＝b2+c2，解出 b 即可
；
（2）设直线 l：y＝k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），与椭圆方程
联立，结合 Q 不在直线 l 上，可整理得到 2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，利用根与
系数关系，带入即可计算出 m 的值．
解：（1）因为椭圆 C 的两个焦点为 F1（﹣1，0）和 F2（1，0），点 在此椭
圆上．
所以 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）由已知直线 l：y＝k（x﹣m），设 A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），
由 得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0．
所以 ．
因为 且 k1+k2＝2k0，
所以 ，
整理得 ，
因为点 Q（2，y0）不在直线 l 上，所以 2k﹣km﹣y0≠0，
所以 ，整理得 2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，
将 ， 代入上式解得 m＝1，
所以 m＝1．
18．（16 分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 PQ 相切，
记其圆心为 O，切点为 G．为参观方便，现新修建两条道路 CA、CB，分别与圆 O 相切
于 D、E 两点，同时与 PQ 分别交于 A、B 两点，其中 C、O、G 三点共线且满足 CA＝CB
，记道路 CA、CB 长之和为 L．
（1）①设∠ACO＝θ，求出 L 关于 θ 的函数关系式 L（θ）；②设 AB＝2x 米，求出 L
关于 x 的函数关系式 L（x）．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设
计使得新建道路造价最少．
【分析】（1）①根据正弦定理和解直角三角形即可求出 L 关于 θ 的函数关系式 L（θ）
；
②利用三角形相似，即可得到 x ﹣20x＝20y，整理化简即可，
（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以 L（θ）＝2AC＝ ，其中 θ∈（0
， ），利用导数求出函数的最小值即可．
解：（1）①在 Rt△CDO 中，∠ACO＝θ，所以 CO＝ ，
所以 CG＝ +20，
在 Rt△AGC 中，AC＝ ＝ ＝ ，
所以 L（θ）＝2AC＝ ，其中 θ∈（0， ），
②设 AC＝y，则在 Rt△AGC 中，CG＝ ，
由 Rt△AGC 和 Rt△CDO 相似可得 ＝ ，即 ＝ ，即 x ﹣
20x＝20y，
即 x ＝20（x+y）
即 x ＝20 ，
即 x2（y﹣x）＝400（x+y），
化简可得 AC＝y＝ ，
L（x）＝ ．其中 x∈（20，+∞）；
（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以 L（θ）＝2AC＝ ，其中 θ∈（0
， ），
在 L′（θ）＝ [cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，
＝ （1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，
＝ （1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），
令 L′（θ）＝0，解得 sinθ＝ ，
令 sinθ0＝ ，
当 θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数 L（θ）单调递减，
当 θ（θ0， ）时，L′（θ）＞0，函数 L（θ）单调递增，
∴当 sinθ＝ 时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少
19．（16 分）设 f（x）＝aex﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a 为与自变量 x 无关的正实数）．
（1）证明：函数 f（x）与 g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条
公切线；
（2）是否存在实数 k，使得 对任意的 恒成立，若存
在，求出 k 的取值范围，否则说明理由．
【分析】（1）由 f（0）＝g（0）＝0，及 f'（0）＝g'（0）＝a，即可得证；
（2）先假设存在，则 k＜ex﹣xlnx﹣x 对任意的 恒成立，构造函数
， 接 下 来 只 需 要 利 用 导 数 判 断 函 数 h（x） 在
上是否存在最小值即可．
解：（1）证明：因为 f（0）＝ae0﹣a＝0，g（0）＝0，所以 f（x）＝aex﹣a，g（x）＝
ax﹣x2 的图象存在一个公共的定点 O（0，0）．
因为 f'（x）＝aex，g'（x）＝a﹣2x，所以 f'（0）＝a，g'（0）＝a，所以在定点 O（0，0
）处有一条公切线，为直线 y＝ax．
（2）假设存在实数 k，使得 对任意的 恒成立，
即存在实数 k 使得 k＜ex﹣xlnx﹣x 对任意的 恒成立．
令 ，
则 ，
令 ，则
，
因为 x＞0，ex＞0，且 y＝x，y＝ex 在 上单调递增，
所以 y＝xex 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在唯一实数 ，使得 ，即 m'（x0）＝0，且 ，
所 以 h' （ x ） 在 x0 处 取 得 最 小 值 ＝
，
所以 h（x）＝ex﹣xlnx﹣x 在 上单调递增，
所以 ，
因为 k＜ex﹣xlnx﹣x 对任意的 恒成立，所以 ，
所以存在 使得 对任意的
恒成立．
20．（16 分）定义：对于一个项数为 m（m≥2，m∈N*）的数列{an}，若存在 k∈N*且 k＜m
，使得数列{an}的前 k 项和与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们
称该数列是“等和数列”．例如：因为 3＝2+1，所以数列 3，2，1 是“等和数列”．请
解答以下问题：
（1）判断数列 2，﹣4，6，﹣8 是否是“等和数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列{an}共有 r 项（r≥3，且 r 为奇数），a1＝1，{an}的前 n 项和 Sn 满足
nSn+1＝（n+1）Sn+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{an}是不是“等和数列”，并证明你的结
论．
（3）{bn}是公比为 q 项数为 m（m∈N*，m≥3）的等比数列{bn}，其中 q≥2．判断{bn}是
不是“等和数列”，并证明你的结论．
【分析】（1）四项数列举例即可．
（2）由 nSn+1＝（n+1）Sn+n（n+1）构造数列{ }，进而求出 Sn＝n2，再由“等和数
列”的定义检验即可．
（3）由等比数列与等和数列的公式和定义找出 成立，即 2qk
﹣1＝qm
再由 q，k，m 的范围和大小关系判断即可．
解：（1）∵2+（﹣4）＝6+（﹣8），
∴数列 2，﹣4，6，﹣8 是“等和数列”．
（2）由 ，两边除以 n（n+1），得 ，
即 ，
所以，数列 为等差数列且 ， ，
所以， ，
假设存在 k 使得数列{an}的前 k 项和与剩下项的和相等，
即 Sk＝Sr﹣Sk，所以 2Sk＝Sr
∴2k2＝r2*
在*中，因为 r 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 2k2 一定是偶数，
所以*不可能有解，从而假设错误，{an}不是“等和数列”．
（3）设 Bn 为{bn}的前 n 项和，
假设{bn}是“等和数列”，
则存在 k∈N*且 k＜m，使得 Bk＝Bm﹣Bk 成立，即 2Bk＝Bm
于是 成立，即 2qk﹣1＝qm
因为 q≥2，所以 2qk﹣1＜2qk≤qk+1，
又 m＞k，即 m≥k+1，所以 qk+1≤qm，
所以 2qk﹣1＜qm，与 2qk﹣1＝qm 产生矛盾．
所以假设不成立，即{bn}不是“等和数列”．
三、【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的
前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修 4-2：矩阵与变换]
21．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+y﹣2＝0 在矩阵 A＝ 对应的变换作用下得到
的直线仍为 x+y﹣2＝0，求矩阵 A．
【分析】设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应，
求出参数，可得．
解：设 P（x，y）是直线 x+y﹣2＝0 上任意一点，其在矩阵 A＝ 对应的变换下得到
，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍在直线上，
所以得 x+ay+bx+2y﹣2＝0，
与 x+y﹣2＝0 比较得 ，
解得 ，故 A＝ ．
[选修 4-4：极坐标与参数方程]
22．在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）．求直
线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．
【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和
曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．
解：直线 l 的极坐标方程为 （ρ∈R），转换为直角坐标方程为 ．
曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），
整理得 ，转换为直角坐标方程为 x2＝2y．
所以 ，整理得 ，解得 x＝0 或 2 ，
①当 x＝0 时，y＝0，
②当 x＝2 时，y＝6，
所以直线与曲线的交点的坐标为 P（0，0）和 P（2 ，6）．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 x，y，z 均为正数，且 ，求证：x+4y+9z≥10．
【分析】由 x，y，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；
【解答】证明：因为 x，y，z 均为正数，所以 x+1，y+1，z+1 均为正数，
由柯西不等式得 ，
当且仅当（x+1）2＝4（y+1）2＝9（z+1）2 时，等式成立．
因为 ，
所以 ，
所以 x+4y+9z≥10．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
24．如图，在三棱锥 D﹣ABC 中，DA⊥平面 ABC，∠CAB＝90°，且 AC＝AD＝1，AB＝
2，E 为 BD 的中点．
（1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；
（2）求二面角 A﹣CE﹣B 的余弦值．
【分析】以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐
标系，
（1）分别求出 ， 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线 AE 与 BC 所成
角的余弦值；
（2）分别求出平面 AEC 与平面 BEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二
面角 A﹣CE﹣B 的余弦值．
解：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角
坐标系，
∵AC＝AD＝1，AB＝2，E 为 BD 的中点，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1， ），
（1） ， ，
∵cos＜ ＞＝ ＝ ，
∴异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 ；
（2） ， ．
设 平 面 AEC 与 平 面 BEC 的 一 个 法 向 量 分 别 为 ，
．
由 ，取 z1＝﹣2，可得 ；
由 ，取 z2＝﹣2，可得 ．
∴cos＜ ＞＝ ＝ ．
由图可知，二面角 A﹣CE﹣B 为钝二面角，
∴二面角 A﹣CE﹣B 的余弦值为﹣ ．
25．在自然数列 1，2，3，…，n 中，任取 k 个元素位置保持不动，将其余 n﹣k 个元素变
动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为 Pn（k）．
（1）求 P3（1）
（2）求 P4（k）；
（3）证明 kPn（k）＝n Pn﹣1（k），并求出 kPn（k）的值．
【分析】（1）数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 或 3，2，
1 或 2，1，3，即可得出；
（2）类比（1）即可得出；
（3）：把数列 1，2，…，n 中任取其中 k 个元素位置不动，则有 种；其余 n﹣k 个元
素重新排列，并且使其余 n﹣k 个元素都要改变位置，则 ，可得
，利用 ，即可得出．
【解答】（1）解：∵数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2
或 3，2，1 或 2，1，3，
∴P3（1）＝3；
（ 2 ） 解 ： ＝
；
（3）证明：把数列 1，2，…，n 中任取其中 k 个元素位置不动，则有 种；其余 n﹣k
个元素重新排列，并且使其余 n﹣k 个元素都要改变位置，则有 ，
故 ，
又∵ ，
∴ ．
令 ，则 an＝nan﹣1，且 a1＝1．
于是 a2a3a4…an﹣1an＝2a1×3a2×4a3×…×nan﹣1，
左右同除以 a2a3a4…an﹣1，得 an＝2×3×4×…×n＝n!
∴ ．
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