2020 年高考（理科）数学二诊试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
2．函数 的定义域为 A，集合 B＝{x|log2（x+1）＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x 值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．要得到函数 的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
6．二项式 的展开式中，常数项为（ ）A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．160
7．已知 l 为抛物线 x2＝4y 的准线，抛物线上的点 M 到 l 的距离为 d，点 P 的坐标为（4，1
），则|MP|+d 的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
8．不等式组 表示的平面区域为 Ω，则（ ）
A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5
C． D．
9．平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，且
．则向量 在 上的投影为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
10．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝60°，b＝3，AD 为 BC 边
上的中线，若 AD＝ ，则△ABC 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数 a＞0，a≠1，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．1≤a≤5 B．2≤a≤5 C．a≥1 D．a≤5
12．△ABC 是边长为 的等边三角形，E，F 分别为 AB，AC 的中点，沿 EF 把 OAEF
折起，使点 A 翻折到点 P 的位置，连接 PB、PC，当四棱锥 P﹣BCFE 的外接球的表面
积最小时，四棱锥 P﹣BCFE 的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大
幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市
进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 30000 名高中男生的身高 ξ（单位：cm）服从正态分布 N（172，σ2），且 P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于
180cm 的高中男生人数大约为
14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院
选派 2 名医生，6 名护士到湖北 A、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3 名护士
，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 种选派方法．
15．已知已知 a、b 为正实数，直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为
，则 的最小值为
16．在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为（4，0），则 的取值范围为
三、解答题：解答）写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2 对一切 n∈N*成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 中，△ABD 为等边三角形，△BCD 是等腰三角
形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD 平面 PBD⊥平面 ABCD，M 为 PA 中点．
（1）求证：DM∥平面 PBC；
（2）若 PD⊥PB，求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值大小．
19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚
决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进
行了前瞻性的部署，即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社
会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品
加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利 5 万元，
未售出的商品，每吨亏损 2 万元．经统计 A，B 两市场以往 100 个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如表：
A 市场：
需求量（吨） 90 100 110
频数 20 50 30
B 市场：
需求量（吨） 90 100 110
频数 10 60 30
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产 n 吨该产品，在
A，B 两市场同时销售，以 X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单
位：万元）表
示下一个销售周期两市场的销售总利润．
（1）求 X＞200 的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量 n＝190 吨还是 n＝200
吨？并说明理由．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为抛物线 y2＝4x 的焦点
F．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之
积为﹣ ．
求证：△MON 的面积为定值．
21．已知函数 f（x）＝eax﹣x（a∈R，e 为自然对数的底数），g（x）＝lnx+mx+1．
（1）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）当 a＝1 时，x[f（x）+x]≥g（x）对任意的 x∈（0，+∞）恒成立，求实数 m 的取
值范围．
请考生在 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标
系与参数方程]
22．已知点 A 为圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作直线 OA的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴），垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点 M 的轨迹的极坐标方程；
（2）直线 l 的极坐标方程为 ，连接 OA 并延长交 l 于 B，求 的
最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|．
（1）求不等式 f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；
（2）若正数 m、n 满足 m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．参考答案
一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解：z＝ ＝1﹣i．
∴|z|＝ ＝ ．
故选：D．
2．函数 的定义域为 A，集合 B＝{x|log2（x+1）＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：集合 A＝{x|﹣2≤x≤2}，log2（x+1）＞1，可得 x＞1，即 B＝{x|x＞1}，
则 A∩B＝{x|1＜x≤2}，
故选：A．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x 值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据程序框图一步一步倒着进行运算．
解：由于输出结果 y＝3，根据跳出循环时条件可知：
若 3＝log2（x+1），解之得 x＝7，符合题意；
若 3＝x2﹣1，解之得 x＝±2，符合题意；
所以 x 可以取 7，±2，
故选：C．
4．函数 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性可排除选项 B，再由特殊点的函数值可排除 C，由函数在
时的范围可排除 D．
解： ，故函数 f（x）为奇函数，其图
象关于原点对称，由此可排除选项 B；
又 ，故可排除 C；
又 时，xcosx＜ln（ex+e﹣x），故 ，由此可排除 D．
故选：A．
5．要得到函数 的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】令 y＝f（x）＝sin2x，则 f（x+ ）＝sin2（x+ ）＝sin（2x+ ），从而可
得答案．
解：令 y＝f（x）＝sin2x，则 f（x+ ）＝sin2（x+ ）＝sin（2x+ ），
∴要得到函数 y＝sin2（x+ ）的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象向左平移 个单
位，
故选：C．
6．二项式 的展开式中，常数项为（ ）
A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．160
【分析】根据二项式的通项公式：Tr+1＝C （ ）5﹣r（﹣x2）r，可讲此式化简得到 C
25﹣rx （﹣1）r，因为求常数项，所以 x 的指数应为零，可得，﹣ + ＝0，
解得 r＝1，代入通项公式求出常数项．
解：Tr+1＝C （ ）5﹣r（﹣x2）r
＝C 25﹣r（x ）5﹣r（﹣1）r（x2）r
＝C 25﹣rx （﹣1）r
∵取常数项，∴﹣ + ＝0，解得 r＝1，
常数项为 25﹣1（﹣1）1＝﹣80，
故选：A．
7．已知 l 为抛物线 x2＝4y 的准线，抛物线上的点 M 到 l 的距离为 d，点 P 的坐标为（4，1
），则|MP|+d 的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【分析】由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且
仅当 P，F，M 三点共线时，且 P，M 在 F 的同一侧时|MP|+d 取到最小值．
解：由抛物线的方程可得 P 在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点 M 到准
线的距离等于到焦点的距离，
所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当 P，M，F 三点共线时取等号，
故选：B．8．不等式组 表示的平面区域为 Ω，则（ ）
A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5
C． D．
【分析】画出对应的平面区域，转化为求 z＝x+2y 和 k＝ 的取值范围，数形结合求
解即可．
解：不等式组对应的平面区域如图：
⇒A（1，2）； ⇒B（2，1）；
令 z＝x+2y，平移 x+2y＝0，则当其过点 A 时，z＝x+2y 取最大值：1+2×2＝5，
当其过点 O 时，z＝x+2y 取最小值：0+2×0＝
0；
即：0≤x+2y≤5；
故 AB 都错；
∵设 k＝ 表示平面区域内的点与定点 D（1，﹣2）连线的斜率；
由图可得：k≥kBD＝ ＝3 或 k≤kOD＝﹣2；
∴C 错 D 对；
故选：D．9．平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，且
．则向量 在 上的投影为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据其数量积以及已知条件可以求得 cos∠DAB，再代入投影的定义求解即可．
解：如图 ；
因为 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，
所以：AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2；
∵ ＝（ + ）•（ + ）＝（ + ）•（﹣ + ）＝ ﹣
• ﹣ ＝ ×32﹣ ×3×4×cos∠DAB ×42．
∴cos∠DAB＝ ；
向量 在 上的投影为：| |cos∠DAB＝3× ＝ ．
故选：C．
10．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝60°，b＝3，AD 为 BC 边
上的中线，若 AD＝ ，则△ABC 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设 CD＝DB＝x，利用两次余弦定理求得 c2＝2x2+ ；再利用角 A＝60°，即
可求出 c，进而求得结论．解：如图；
设 CD＝DB＝x；
则 cos∠ADC＝ ＝ ＝ ； ①
cos∠ADB＝ ＝ ＝ ； ②
∵∠ADC+∠ADB＝180°；
∴①+②＝0⇒c2＝2x2+ ③；
∵A＝60°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcos∠CAB⇒（2x）2＝c2+32﹣2c×3× ＝c2+9﹣3c④
③④联立得：c2+3c﹣40＝0⇒c＝5（﹣8 舍）；
∴△ABC 的面积为： bcsinA＝ ．
故选：B．
11．已知实数 a＞0，a≠1，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．1≤a≤5 B．2≤a≤5 C．a≥1 D．a≤5
【分析】根据题意，对于函数分 2 段分析：当 x＜1，f（x）＝ax，由指数函数的性质分
析可得 a＞1①，当 x≥1，f（x）＝x2+ +alnx，由导数与函数单调性的关系可得 f′（x
）＝2x﹣ + ≥0 在[1，+∞）上恒成立，变形可得 a≥2②，再结合函数的单调性，
分析可得 a≤1+4③，联立三个式子，分析可得答案．解：根据题意，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，
当 x＜1，f（x）＝ax，若 f（x）为增函数，则 a＞1，①
当 x≥1，f（x）＝x2+ +alnx，若 f（x）为增函数，必有 f′（x）＝2x﹣ + ≥0 在[1
，+∞）上恒成立，
变形可得：a≥ ﹣2x2，
又由 x≥1，分析可得 ﹣2x2≤2，
若 a≥ ﹣2x2 在[1，+∞）上恒成立，则有 a≥2，②
若函数 f（x）在 R 上单调递增，则有 a≤1+4，③
联立①②③可得：2≤a≤5，
故选：B．
12．△ABC 是边长为 的等边三角形，E，F 分别为 AB，AC 的中点，沿 EF 把 OAEF
折起，使点 A 翻折到点 P 的位置，连接 PB、PC，当四棱锥 P﹣BCFE 的外接球的表面
积最小时，四棱锥 P﹣BCFE 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，BC 的中点 O 为等腰梯形 BCFE 的外接圆的圆心，可知要使
四棱锥 P﹣BCFE 的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要 O 为四棱锥 P﹣BCFE
的外接球的球心，由此可得 OP，求解三角形得到 P 到平面 BCFE 的距离，再求出等腰
梯形 BCFE 的体积，代入棱锥体积公式求解．
解：如图，由题意，BC 的中点 O 为等腰梯形 BCFE 的外接圆的圆心，
则四棱锥 P﹣BCFE 的外接球的球心在过 O 且垂直于平面 BCFE 的直线上，
要使四棱锥 P﹣BCFE 的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要 O 为四棱锥 P﹣
BCFE 的外接球的球心，此时 OP＝OB＝ ，PG＝OG＝ ，则 cos∠POG＝ ，
∴P 到平面 BCFE 的距离为 d＝OP•sin∠POG＝ ．
又 ．
∴四棱锥 P﹣BCFE 的体积为 V＝ ．
故选：D．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上.
13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大
幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市
进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 30000 名高中男生的身高 ξ（单
位：cm）服从正态分布 N（172，σ2），且 P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于
180cm 的高中男生人数大约为 3000
【分析】由题意可知正态分布密度函数关于 x＝172 对称，所以结合 P（172＜ξ≤180）＝
0.4 可计算 P（ξ＞180），则用 30000 乘以 P（ξ＞180）即为所求．
解：∵ξ～N（172，σ2），且 P（172＜ξ≤180）＝0.4，
所以 P（ξ＞180）＝ ，
故身高高于 180cm 的学生数为 30000×0.1＝3000．
故答案为：3000．
14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院
选派 2 名医生，6 名护士到湖北 A、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3 名护士
，其中甲乙两名护士不到同一地，共有 24 种选派方法．
【分析】先从两个医生中挑一个去 A，甲乙中挑一个去 A，再从余下的四个护士中挑两
个去 A，余下的都去 B 即可．
解：先选到 A 地的医生和护士，有 • • ＝24 种；
其余人去 B 地；
故共有选派方案 24 种；
故答案为：24．
15．已知已知 a、b 为正实数，直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为，则 的最小值为 3+
【分析】由已知可得 a+b＝1（a＞0，b＞0），再由 ＝ ＝（ ）（a+b
），展开后利用基本不等式求最值．
解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 的圆心坐标为（a，b），半径为 2，
圆心到直线 x+y+1＝0 距离为 d＝ ，
又直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为 ，
∴ ，即 a+b＝1（a＞0，b＞0）．
∴ ＝ ＝（ ）（a+b）＝ ．
当且仅当 ，即 a＝ ，b＝2﹣ 时上式取等号．
故答案为 3+2 ．
16．在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为（4，0），则 的取值范围为 （12，+∞）
【分析】根据 sinB﹣sinC＝ sinA，结合正弦定理得到点 A 在以 B，C 为焦点的双曲线
的左支上，且不在 X 轴上；设出 A 的坐标，代入数量积即可求解结论．
解：设 A（x，y），
因为在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，
所以：b﹣c＝ a；
即|AC|﹣|AB|＝ ×4 ＝4＜|BC|＝4 ；
∴点 A 在以 B，C 为焦点的双曲线的左支上，且不在 X 轴上
且 a＝2，c＝2 ；
∴ ﹣ ＝1（x＜﹣2）；
则 ＝（﹣x，﹣y）•（4﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣6；
∵x＜﹣2；
∴ ＞12；∴ 的取值范围为（12，+∞）；
故答案为：（12，+∞）．
三、解答题：解答）写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2 对一切 n∈N*成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
【分析】本题第（1）题先将 n＝1 代入题干中表达式计算出 a1 的值，当 n≥2 时，由 21•
a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2，可得 21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•an﹣1＝（n﹣
2）•2n+2，两式相减，进一步计算可得 an 的表达式，再验证下 a1 是否符合表达式，即可
得到数列{an}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的
通项公式，然后运用裂项相消法计算出前 n 项和 Sn．
解：（1）由题意，当 n＝1 时，21•a1＝2，解得 a1＝1，
当 n≥2 时，由 21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2，可得
21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•an﹣1＝（n﹣2）•2n+2，
两式相减，可得
2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n﹣2＝[2（n﹣1）﹣（n﹣2）]•2n＝n•2n，
∴an＝n，
当 n＝1 时，a1＝1 也符合上式，
∴an＝n，n∈N*．
（2）由（1）知， ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴Sn＝ + + + +…+ +
＝ （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）+ （
﹣ ）
＝ （1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）
＝ （1+ ﹣ ﹣ ）
＝ ．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 中，△ABD 为等边三角形，△BCD 是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD 平面 PBD⊥平面 ABCD，M 为 PA 中点．
（1）求证：DM∥平面 PBC；
（2）若 PD⊥PB，求二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值大小．
【分析】（1）设 AB 的中点为 N，连接 MN，DN，由已知证明 DN∥BC，可得 DN∥平
面 PBC，再证明 MN∥PB，得到 MN∥平面 PBC，再由平面与平面平行的判定可得平面
DMN∥平面 PBC，进一步得到 DM∥平面 PBC；
（2）设 BD 的中点为 O，连接 AO，CO，证明 PO⊥平面 ABC，设 AB＝2，则 AO＝
，求出 PO＝ ，建立直角坐标系如图，分别求出平面 PAB 的一个法向量与平面 PAC
的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值．
【解答】（1）证明：设 AB 的中点为 N，连接 MN，DN，
∵△ABD 为等边三角形，∴DN⊥AB，
∵DC＝CB，∠DCB＝120°，∴∠CBD＝30°，
∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即 CB⊥AB．
∵DN⊥AB，∴DN∥BC．
∵BC⊂平面 PBC，DN⊄平面 PBC，∴DN∥平面 PBC，
∵MN 为△PAB 的中位线，∴MN∥PB，
∵PB⊂平面 PBC，MN⊄平面 PBC，∴MN∥平面 PBC，
∵MN、DN⊂平面 DMN，且 MN∩DN＝N，
∴平面 DMN∥平面 PBC，而 DM⊂平面 DMN，
则 DM∥平面 PBC；
（2）解：设 BD 的中点为 O，连接 AO，CO，
∵△ABD 为等边三角形，△BCD 是等腰三角形，且∠BCD＝120°，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，则 A、C、O 共线，∵PC⊥BD，BD⊥CO，PC∩CO＝C，∴BD⊥平面 PCO，
∵PO⊂平面 PCO，∴BD⊥PO，
∵平面 PBD⊥平面 ABCD，∴PO⊥平面 ABC，
设 AB＝2，则 AO＝ ．
在△BCD 中，由余弦定理可得 BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，
又 BC＝CD，∴22＝2BC2﹣2BC2•cos120°，
∴CB＝CD＝ ，CO＝ ．
∵PD⊥PB，O 为 BD 的中点，∴PO＝ ．
建立直角坐标系如图，则 C（ ，0，0），P（0，0，1），A（ ，0，0），B（0，
1，0），
∴ ＝（ ，﹣1，0）， ＝（ ）．
设平面 PAB 的一个法向量为 ，
则 ，取 x＝1，得 ．
平面 PAC 的一个法向量为 ．
cos＜ ， ＞＝ ．
∵二面角 C﹣PA﹣B 为锐角，
∴二面角 C﹣PA﹣B 的余弦值为 ．
19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚
决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进
行了前瞻性的部署，即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品
加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利 5 万元，
未售出的商品，每吨亏损 2 万元．经统计 A，B 两市场以往 100 个销售周期该产品的市
场需求量的频数分布如表：
A 市场：
需求量（吨） 90 100 110
频数 20 50 30
B 市场：
需求量（吨） 90 100 110
频数 10 60 30
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产 n 吨该产品，在
A，B 两市场同时销售，以 X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单
位：万元）表
示下一个销售周期两市场的销售总利润．
（1）求 X＞200 的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量 n＝190 吨还是 n＝200
吨？并说明理由．
【分析】（1）设“A 市场需求量为 90，100，110 吨”分别记为事件 A1，A2，A3，“B
市场需求量为 90，100，110 吨“分别记为事件 B1，B2，B3，P（A1）＝0.2，P（A2）＝
0.5，P（A3）＝0.3，P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.6，P（B3）＝0.3，利用互斥事件概率
加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出 X＞200 的概率．
（2）X 可取 180，190，200，210，220，分别求出相应的概率，由此求出数学期望，得
到 n＝200 时，平均利润大，从而下个销售周期内生产量 n＝200 吨．
解：（1）设“A 市场需求量为 90，100，110 吨”分别记为事件 A1，A2，A3，
“B 市场需求量为 90，100，110 吨“分别记为事件 B1，B2，B3，
P（A1）＝0.2，P（A2）＝0.5，P（A3）＝0.3，
P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.6，P（B3）＝0.3，
X＞200 的概率 P（X＞200）＝P（A2B3+A3B2+A3B3）＝0.5×0.3+0.3×0.6+0.3×0.3＝0.42
．（2）X 可取 180，190，200，210，220，
P（X＝180）＝P（A1B1）＝0.2×0.1＝0.02，
P（X＝190）＝P（A2B1+A1B2）＝0.5×0.1+0.2×0.6＝0.17，
当 n＝190 时，E（Y）＝（180×5﹣10×2）×0.02+190×5×（1﹣0.02）＝948.6，
当 n＝200 时，E（Y）＝（180×5﹣20×2）×0.02+（190×5﹣10×2）×0.17+200×5×
（1﹣0.02﹣0.17）＝985.3，
∵948.6＜985.3，
∴n＝200 时，平均利润大，∴下个销售周期内生产量 n＝200 吨．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为抛物线 y2＝4x 的焦点
F．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之
积为﹣ ．
求证：△MON 的面积为定值．
【分析】（1）由题意可知，c＝1，再结合离心率可求出 a 的值，再利用 a2＝b2+c2 求出 b
的值，即可得到椭圆 C 的标准方程；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），由 kOM•kON＝﹣ 可得 4x1x2+5y1y2＝0，当直线 MN
的斜率不存在时，易求 S△MON＝ ＝ ，当直线 MN 的斜率存在时，
设 y＝kx+b，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入 4x1x2+5y1y2＝0，可得 4+5k2＝2b2，利
用弦长公式求出|MN|＝4 ，又原点（0，0）到直线 MN 的距离 d＝
，所以 S△MON＝ ，故△MON 的面积为定值．
解：（1）由题意可知，F（1，0），
∴c＝1，又∵e＝ ，∴a＝ ，b2＝a2﹣c2＝4，
∴椭圆 C 的标准方程为： ；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），∴kOM•kON＝ ，
∴4x1x2+5y1y2＝0，
①当直线 MN 的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2，
∴ ，又∵ ，
∴ ， ，
∴S△MON＝ ＝ ；
②当直线 MN 的斜率存在时，设 y＝kx+b，
联立方程 ，消去 y 得：（4+5k2）x2+10kbx+5b2﹣20＝0，
∴ ， ，
∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝ ＝ ，
∴4x1x2+5y1y2＝ + ＝ ＝0，
∴4+5k2＝2b2，
∴ |MN| ＝ ＝ 4 ＝ 4
，
又∵原点（0，0）到直线 MN 的距离 d＝ ，
∴S△MON＝ ＝ 4 • ＝ ，
综上所求，△MON 的面积为定值 ．
21．已知函数 f（x）＝eax﹣x（a∈R，e 为自然对数的底数），g（x）＝lnx+mx+1．
（1）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）当 a＝1 时，x[f（x）+x]≥g（x）对任意的 x∈（0，+∞）恒成立，求实数 m 的取值范围．
【分析】（1）f（x）有两个零点⇔a＝ 有两个相异实根，令 g（x）＝ ，根据单
调性的情况分函数值域的情况即可求出满足两个零点的 a 的范围；
（2）x[f（x）+x]≥g（x），利用分离变量得出对任意的 m≤ex﹣ ﹣ ，x∈（0，+∞
）恒成立，φ（x）＝ex﹣ ﹣ ，x＞0，则 m≤φ（x）min，利用导数求解函数 φ（x）
的最小值．
解：（1）f（x）有两个零点⇔关于 x 的方程 eax＝x 有两个相异实根，
由 eax＞0，知 x＞0，
∴f（x）有两个零点⇔a＝ 有两个相异实根，
令 g（x）＝ ，
∴g′（x）＝ ，
由 g′（x）＞0，可得 0＜x＜e，由 g′（x）＜0，可得 x＞e，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴g（x）max＝g（e）＝ ，
∵g（1）＝0，
∴当 0＜x＜1 时，g（x）＜0，当 x＞1 时，g（x）＞0，
当 x→+∞时，g（x）→0，
∴f（x）有两个零点时，实数 a 的取值范围为（0， ）．
（2）当 a＝1 时，f（x）＝ex﹣x，
∴原命题等价于 xex≥lnx+mx+1 对一切 x∈（0，+∞）恒成立，
等价于 m≤ex﹣ ﹣ ，x＞0，
令 φ（x）＝ex﹣ ﹣ ，x＞0，∴m≤φ（x）min，
∴φ′（x）＝ex+ ＝ ，
令 h（x）＝x2ex+lnx，x∈（0，+∞），
则 h′（x）＝x2ex+2xex+ ＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又 h（1）＝e＞0，h（ ）＝ ﹣1＜e0﹣1＝0，
∴∃x0∈（ ，1），使得 h（x0）＝0，即 +lnx0＝0，①，
当 x∈（0，x0）时，h（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，
即 φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴φ（x）min＝φ（x0）＝ ﹣ ﹣ ，
由①可得 ＝﹣lnx0，
∴ ＝﹣ ＝ ln ＝（ln ） ，
∵函数 y＝xex 在（0，+∞）上单调递增，
∴x0＝ln ，即 x0＝﹣lnx0，
∴φ（x）min＝ ﹣ ﹣ ＝ +1﹣ ＝1，
∴m≤1，
∴实数 m 的取值范围为（﹣∞，1]．
请考生在 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标
系与参数方程]
22．已知点 A 为圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作直线 OA
的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴），垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点 M 的轨迹的极坐标方程；
（2）直线 l 的极坐标方程为 ，连接 OA 并延长交 l 于 B，求 的
最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的
转换求出结果．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）设点 M 的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM 中，有 ρ＝4sinθ，
所以点 M 的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．
（2）设射线 OA：θ＝α，（α∈（ ）），圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．
由 得到|OA|＝ρ1＝2cosα．
由 得： ，
所以 ＝ ＝
＝ ．
由于 α∈（ ），
所以 ，
当 ，即 ，
故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|．
（1）求不等式 f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；
（2）若正数 m、n 满足 m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．
【分析】（1）将所求不等式转化为不等式组求解即可；
（2）利用基本不等式可知 m+2n≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．
解：（1）f（x）≤4﹣|2x﹣3|等价于 或 或
，
解得 或 或 ，
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤2}；
（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n＝mn，∴ ，
∴m+2n≥8，当且仅当 m＝4，n＝2 时取等号，
∴f（m）+f（﹣2n）＝|m+1|+|﹣2n+1|≥|m+2n|≥8，当且仅当﹣2n+1≤0 时取等号，
∴f（m）+f（﹣2n）≥8．
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