2020 年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
2．函数 的定义域为 A，集合 B＝{x|log2（x+1）＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x 值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．要得到函数 的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移6．已知 ，（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．已知 l 为抛物线 x2＝4y 的准线，抛物线上的点 M 到 l 的距离为 d，点 P 的坐标为（4，1
），则|MP|+d 的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
8．不等式组 表示的平面区域为 Ω，则（ ）
A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5
C． D．
9．平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，且
．则向量 在 上的投影为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
10．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝60°，b＝3，AD 为 BC 边
上的中线，若 AD＝ ，则△ABC 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数 a＞0，a≠1，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．1≤a≤5 B．2≤a≤5 C．a≥1 D．a≤5
12．△ABC 是边长为 2 的等边三角形，E、F 分别在线段 AB、AC 上滑动，EF∥BC，
沿 EF 把△AEF 折起，使点 A 翻折到点 P 的位置，连接 PB、PC，则四棱锥 P﹣BCFE
的体积的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
二、填空题
13．已知函数 f（x）＝x2+ax 的图象在点 A（1，f（1））处的切线与直线 l：x﹣3y+2＝0 垂
直，则实数 a 的值为 14．在一个袋子中装有分别标注 1、2、3、4、5 的 5 个小球，这些小球除标注的数字外完
全相同，现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的
概率是
15．已知已知 a、b 为正实数，直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为
，则 ab 的最小值为
16．在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为（4，0），则 的取值范围为
三、解答题：解答）ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2 对一切 n∈N*成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 中，△ABD 为等边三角形，△BCD 是等腰三角
形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD，平面 PBD⊥平面 ABCD，M 为 PA 中点．
（1）求证：DM∥平面 PBC；
（2）若 AB＝2 ，PD⊥PB，求三棱锥 P﹣BDM 的体积．
19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚
决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进
行了前瞻性的部署，即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社
会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品
加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利 5 万元，
未售出的商品，每吨亏损 2 万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需
求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产 210 吨该产品，以 x（
单位：吨，180≤x≤230）表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视 x 分布在各区间内的频率为相应的概率．
（1）求实数 a 的值；
（2）将 Y 表示成 x 的函数，并求出解析式；
（3）估计销售利润不少于 910 万元的概率．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为抛物线 y2＝4x 的焦点
F．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之
积为﹣ ．
求证：△MON 的面积为定值．
21．已知函数 f（x）＝eax﹣x（a∈R，e 为自然对数的底数）．
（1）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 f（x）有两个零点 x1、x2，且 x1＜x2．，求证： ．
请考生在 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标
系与参数方程]
22．已知点 A 为圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作直线 OA
的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴），垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点 M 的轨迹的极坐标方程；
（2）直线 l 的极坐标方程为 ，连接 OA 并延长交 l 于 B，求 的
最大值．[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|．
（1）求不等式 f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；
（2）若正数 m、n 满足 m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．参考答案
一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解：z＝ ＝1﹣i．
∴|z|＝ ＝ ．
故选：D．
2．函数 的定义域为 A，集合 B＝{x|log2（x+1）＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：集合 A＝{x|﹣2≤x≤2}，log2（x+1）＞1，可得 x＞1，即 B＝{x|x＞1}，
则 A∩B＝{x|1＜x≤2}，
故选：A．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x 值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据程序框图一步一步倒着进行运算．
解：由于输出结果 y＝3，根据跳出循环时条件可知：
若 3＝log2（x+1），解之得 x＝7，符合题意；
若 3＝x2﹣1，解之得 x＝±2，符合题意；
所以 x 可以取 7，±2，
故选：C．
4．函数 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性可排除选项 B，再由特殊点的函数值可排除 C，由函数在
时的范围可排除 D．
解： ，故函数 f（x）为奇函数，其图
象关于原点对称，由此可排除选项 B；
又 ，故可排除 C；
又 时，xcosx＜ln（ex+e﹣x），故 ，由此可排除 D．
故选：A．
5．要得到函数 的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】令 y＝f（x）＝sin2x，则 f（x+ ）＝sin2（x+ ）＝sin（2x+ ），从而可
得答案．
解：令 y＝f（x）＝sin2x，则 f（x+ ）＝sin2（x+ ）＝sin（2x+ ），
∴要得到函数 y＝sin2（x+ ）的图象，只须将函数 y＝sin2x 的图象向左平移 个单
位，
故选：C．
6．已知 ，（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵ ， ， ，
∴c 最大，
∵ ＞ ，∴a＞b，
∴b＜a＜c，
故选：A．
7．已知 l 为抛物线 x2＝4y 的准线，抛物线上的点 M 到 l 的距离为 d，点 P 的坐标为（4，1
），则|MP|+d 的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
【分析】由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且
仅当 P，F，M 三点共线时，且 P，M 在 F 的同一侧时|MP|+d 取到最小值．
解：由抛物线的方程可得 P 在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点 M 到准
线的距离等于到焦点的距离，
所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当 P，M，F 三点共线时取等号，
故选：B．8．不等式组 表示的平面区域为 Ω，则（ ）
A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3 B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5
C． D．
【分析】画出对应的平面区域，转化为求 z＝x+2y 和 k＝ 的取值范围，数形结合求
解即可．
解：不等式组对应的平面区域如图：
⇒A（1，2）； ⇒B（2，1）；
令 z＝x+2y，平移 x+2y＝0，则当其过点 A 时，z＝x+2y 取最大值：1+2×2＝5，
当其过点 O 时，z＝x+2y 取最小值：0+2×0＝
0；
即：0≤x+2y≤5；
故 AB 都错；
∵设 k＝ 表示平面区域内的点与定点 D（1，﹣2）连线的斜率；
由图可得：k≥kBD＝ ＝3 或 k≤kOD＝﹣2；
∴C 错 D 对；
故选：D．
9．平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，且
．则向量 在 上的投影为（ ）A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据其数量积以及已知条件可以求得 cos∠DAB，再代入投影的定义求解即可．
解：如图 ；
因为 AB＝4，AD＝3，点 E、F 分别满足 ，
所以：AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2；
∵ ＝（ + ）•（ + ）＝（ + ）•（﹣ + ）＝ ﹣
• ﹣ ＝ ×32﹣ ×3×4×cos∠DAB ×42．
∴cos∠DAB＝ ；
向量 在 上的投影为：| |cos∠DAB＝3× ＝ ．
故选：C．
10．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝60°，b＝3，AD 为 BC 边
上的中线，若 AD＝ ，则△ABC 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设 CD＝DB＝x，利用两次余弦定理求得 c2＝2x2+ ；再利用角 A＝60°，即
可求出 c，进而求得结论．
解：如图；
设 CD＝DB＝x；
则 cos∠ADC＝ ＝ ＝ ； ①
cos∠ADB＝ ＝ ＝ ； ②
∵∠ADC+∠ADB＝180°；∴①+②＝0⇒c2＝2x2+ ③；
∵A＝60°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcos∠CAB⇒（2x）2＝c2+32﹣2c×3× ＝c2+9﹣3c④
③④联立得：c2+3c﹣40＝0⇒c＝5（﹣8 舍）；
∴△ABC 的面积为： bcsinA＝ ．
故选：B．
11．已知实数 a＞0，a≠1，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．1≤a≤5 B．2≤a≤5 C．a≥1 D．a≤5
【分析】根据题意，对于函数分 2 段分析：当 x＜1，f（x）＝ax，由指数函数的性质分
析可得 a＞1①，当 x≥1，f（x）＝x2+ +alnx，由导数与函数单调性的关系可得 f′（x
）＝2x﹣ + ≥0 在[1，+∞）上恒成立，变形可得 a≥2②，再结合函数的单调性，
分析可得 a≤1+4③，联立三个式子，分析可得答案．
解：根据题意，函数 f（x）＝ 在 R 上单调递增，
当 x＜1，f（x）＝ax，若 f（x）为增函数，则 a＞1，①
当 x≥1，f（x）＝x2+ +alnx，若 f（x）为增函数，必有 f′（x）＝2x﹣ + ≥0 在[1
，+∞）上恒成立，
变形可得：a≥ ﹣2x2，
又由 x≥1，分析可得 ﹣2x2≤2，
若 a≥ ﹣2x2 在[1，+∞）上恒成立，则有 a≥2，②若函数 f（x）在 R 上单调递增，则有 a≤1+4，③
联立①②③可得：2≤a≤5，
故选：B．
12．△ABC 是边长为 2 的等边三角形，E、F 分别在线段 AB、AC 上滑动，EF∥BC，
沿 EF 把△AEF 折起，使点 A 翻折到点 P 的位置，连接 PB、PC，则四棱锥 P﹣BCFE
的体积的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
【分析】先根据平面 AEF⊥平面 EFCB 时，体积才最大，再设 EF＝2a；把所求体积转
化为关于 a 的函数，利用导数，即可求出当 a 为何值时，四棱锥 A﹣EFCB 的体积最大，
并求出最大值．
解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，
当平面 AEF⊥平面 EFCB 时，体积才最大；设 EF＝2a；
设 O 为 EF 的中点，如图：
∵等边△ABC 中，点 E，F 分别为 AB，AC 上一点，且 EF∥BC，
∴AE＝AF，
∵O 为 EF 的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面 AEF⊥平面 EFCB，平面 AEF∩平面 EFCB＝EF，
∴AO⊥平面 EFCB，
∵EF＝2a，∴AO＝ a．
∴四棱锥 A﹣EFCB 的体积 V＝ × ×（2a+2 ）×（3﹣ a）× a＝a（a+ ）
（ ﹣a）＝3a﹣a3，
∴V′＝3﹣3a2＝0，∴a＝1 （负值舍），
0＜a＜1，V 单调递增， ＞a＞1，V 单调递减，
∴a＝1，四棱锥 A﹣EFCB 的体积最大，最大值为：3﹣1＝2．
故选：D．二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上.
13．已知函数 f（x）＝x2+ax 的图象在点 A（1，f（1））处的切线与直线 l：x﹣3y+2＝0 垂
直，则实数 a 的值为 ﹣5
【分析】根据切线与已知直线垂直，切线的斜率可求，再利用切点处导数值就是切线斜
率列出方程，求出 a 的值．
解：f′（x）＝2x+a，切线的斜率为﹣3，
所以 f′（1）＝2+a＝﹣3，
所以 a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．在一个袋子中装有分别标注 1、2、3、4、5 的 5 个小球，这些小球除标注的数字外完
全相同，现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的
概率是
【分析】现从 5 个小球中随机取出 2 个小球，基本事件总数为： ＝10，求出取出的小
球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的包括的基本事件，即可得出概率．
解：现从 5 个小球中随机取出 2 个小球，基本事件总数为： ＝10，
则取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的包括以下四个基本事件：（1，3），（
2，4），（3，5），（1，5）（数字没有先后顺序）．
∴取出的小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率 P＝ ＝ ．
故答案为： ．
15．已知已知 a、b 为正实数，直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为
，则 ab 的最小值为
【分析】由已知利用垂径定理可得 a+b＝1，结合 a、b 为正实数，得 0＜a＜1，则 ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，再由二次函数求最值．
解：由直线 x+y+1＝0 截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4 所得的弦长为 ，
得圆心（a，b）到直线 x+y+1＝0 的距离 d＝ ，
即 a+b＝1．
∵a、b 为正实数，∴0＜a＜1，
则 ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，当 a＝ 时，ab 取得最小值为 ．
故答案为： ．
16．在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为（4，0），则 的取值范围为 （12，+∞）
【分析】根据 sinB﹣sinC＝ sinA，结合正弦定理得到点 A 在以 B，C 为焦点的双曲线
的左支上，且不在 X 轴上；设出 A 的坐标，代入数量积即可求解结论．
解：设 A（x，y），
因为在△ABC 中，B、C 的坐标分别为 ，且满足 sinB﹣sinC＝
sinA，
所以：b﹣c＝ a；
即|AC|﹣|AB|＝ ×4 ＝4＜|BC|＝4 ；
∴点 A 在以 B，C 为焦点的双曲线的左支上，且不在 X 轴上
且 a＝2，c＝2 ；
∴ ﹣ ＝1（x＜﹣2）；
则 ＝（﹣x，﹣y）•（4﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣6；
∵x＜﹣2；
∴ ＞12；
∴ 的取值范围为（12，+∞）；
故答案为：（12，+∞）．
三、解答题：解答）ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2 对一切 n∈N*成立．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
【分析】本题第（1）题先将 n＝1 代入题干中表达式计算出 a1 的值，当 n≥2 时，由 21•
a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2，可得 21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•an﹣1＝（n﹣
2）•2n+2，两式相减，进一步计算可得 an 的表达式，再验证下 a1 是否符合表达式，即可
得到数列{an}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的
通项公式，然后运用裂项相消法计算出前 n 项和 Sn．
解：（1）由题意，当 n＝1 时，21•a1＝2，解得 a1＝1，
当 n≥2 时，由 21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2，可得
21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•an﹣1＝（n﹣2）•2n+2，
两式相减，可得
2n•an＝（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n﹣2＝[2（n﹣1）﹣（n﹣2）]•2n＝n•2n，
∴an＝n，
当 n＝1 时，a1＝1 也符合上式，
∴an＝n，n∈N*．
（2）由（1）知， ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴Sn＝ + + + +…+ +
＝ （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）+ （
﹣ ）
＝ （1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）
＝ （1+ ﹣ ﹣ ）
＝ ．
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 中，△ABD 为等边三角形，△BCD 是等腰三角
形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD，平面 PBD⊥平面 ABCD，M 为 PA 中点．
（1）求证：DM∥平面 PBC；
（2）若 AB＝2 ，PD⊥PB，求三棱锥 P﹣BDM 的体积．【分析】（1）设 AB 的中点为 N，连结 MN，DN，则 DN⊥AB，推导出 CB⊥AB，由 DN
⊥AB，得 DN∥BC，从而 DN∥平面 PBC，推导出 MN∥PB，从而 MN∥平面 PBC，进
而平面 DMN∥平面 PBC，由此能证明 DM∥平面 PBC．
（2）设 BD 中点为 O，连结 AO，CO，推导出 BD⊥平面 PCO，三棱锥 P﹣BDM 的体
积为：VP﹣BDM＝ ＝ ，由此能求出结果．
解：（1）证明：设 AB 的中点为 N，连结 MN，DN，
∵△ABD 是等边三角形，∴DN⊥AB，
∵DC＝CB，∠DCB＝120°，
∴∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°+30°＝90°，∴CB⊥AB，
∵DN⊥AB，∴DN∥BC，
∵BC⊂平面 PBC，DN⊄平面 PBC，∴DN∥平面 PBC，
∵MN 为△PAB 的中位线，∴MN∥PB，
∵PB⊂平面 PBC，MN⊄平面 PBC，
∴MN∥平面 PBC，
∵MN，DN 为平面 DMN 内二相交直线，
∴平面 DMN∥平面 PBC，
∵DM⊂平面 DMN，∴DM∥平面 PBC．
（2）解：设 BD 中点为 O，连结 AO，CO，
∵△ABD 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴A，C，O 共线，
∵PC⊥BD，BD⊥CO，PC∩CO＝C，PC、CO⊂平面 PCO，
∴BD⊥平面 PCO，
∵PO⊂平面 PCO，∴BD⊥PO，∵平面 PBD⊥平面 ABCD，交线为 BD，PO⊂平面 PBD，
∴PO⊥平面 ABCD，
∵AB＝2 ，∴AO＝3，
∵PD⊥PB，O 为 BD 中点，∴PO＝ BD＝ ，
∴三棱锥 P﹣BDM 的体积为：
VP﹣BDM＝ ＝ ＝ ＝ ．
19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚
决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进
行了前瞻性的部署，即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社
会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品
加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利 5 万元，
未售出的商品，每吨亏损 2 万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需
求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产 210 吨该产品，以 x（
单位：吨，180≤x≤230）表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下
一个销售周期市场的销售总利润，视 x 分布在各区间内的频率为相应的概率．
（1）求实数 a 的值；
（2）将 Y 表示成 x 的函数，并求出解析式；
（3）估计销售利润不少于 910 万元的概率．
【分析】（1）根据频率之和为 1，可解得，（2）根据题意求出每一段的解析式，
（3）由（2）算出符合不少于 910 万元的频率，再算出概率．
解：（1）由（0.01+0.015+a+0.03+0.01）×10＝1，
解之得 a＝0.035．
（2）当 x≥210 时，Y＝210×5＝1050，
当 x＜210 时，Y＝5x﹣（210﹣x）×2＝7x﹣420，
∴ ．
（3）当 210≤x≤230 时，Y＝1050＞910，
由 7x﹣420≥910 得：x≥190，
P（x≥190）＝1﹣0.01×10＝0.9．
∴估计销售利润不少于 910 万元的概率为 0.9．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为抛物线 y2＝4x 的焦点
F．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之
积为﹣ ．
求证：△MON 的面积为定值．
【分析】（1）由题意可知，c＝1，再结合离心率可求出 a 的值，再利用 a2＝b2+c2 求出 b
的值，即可得到椭圆 C 的标准方程；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），由 kOM•kON＝﹣ 可得 4x1x2+5y1y2＝0，当直线 MN
的斜率不存在时，易求 S△MON＝ ＝ ，当直线 MN 的斜率存在时，
设 y＝kx+b，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入 4x1x2+5y1y2＝0，可得 4+5k2＝2b2，利
用弦长公式求出|MN|＝4 ，又原点（0，0）到直线 MN 的距离 d＝
，所以 S△MON＝ ，故△MON 的面积为定值．
解：（1）由题意可知，F（1，0），∴c＝1，又∵e＝ ，∴a＝ ，b2＝a2﹣c2＝4，
∴椭圆 C 的标准方程为： ；
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），
∴kOM•kON＝ ，
∴4x1x2+5y1y2＝0，
①当直线 MN 的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2，
∴ ，又∵ ，
∴ ， ，
∴S△MON＝ ＝ ；
②当直线 MN 的斜率存在时，设 y＝kx+b，
联立方程 ，消去 y 得：（4+5k2）x2+10kbx+5b2﹣20＝0，
∴ ， ，
∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝ ＝ ，
∴4x1x2+5y1y2＝ + ＝ ＝0，
∴4+5k2＝2b2，
∴ |MN| ＝ ＝ 4 ＝ 4
，
又∵原点（0，0）到直线 MN 的距离 d＝ ，∴S△MON＝ ＝ 4 • ＝ ，
综上所求，△MON 的面积为定值 ．
21．已知函数 f（x）＝eax﹣x（a∈R，e 为自然对数的底数）．
（1）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 f（x）有两个零点 x1、x2，且 x1＜x2．，求证： ．
【分析】（1）f（x）有两个零点⇔a＝ 有两个相异实根，构造函数，利用导数求出
函数的值域，即可确定 a 的范围；
（2）f（x）有两个零点 x1、x2，可得 a＝ ，a（x1+x2）＝lnx1+lnx2，要证 x1x2
＞e2，只要证 lnx1+lnx2＞2，转化为 lnt+ ﹣2＞0，再构造函数，求出函数最值即可证
明．
解：（1）f（x）有两个零点⇔关于 x 的方程 eax＝x 有两个相异实根，
由 eax＞0，知 x＞0，
∴f（x）有两个零点⇔a＝ 有两个相异实根，
令 g（x）＝ ，
∴g′（x）＝ ，
由 g′（x）＞0，可得 0＜x＜e，由 g′（x）＜0，可得 x＞e，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴g（x）max＝g（e）＝ ，
∵g（1）＝0，
∴当 0＜x＜1 时，g（x）＜0，当 x＞1 时，g（x）＞0，
当 x→+∞时，g（x）→0，
∴f（x）有两个零点时，实数 a 的取值范围为（0， ）．
（2）由题意可得 ，∴x1＞0，x2＞0，
∴ax1＝lnx1，ax2＝lnx2，
∴a（x1+x2）＝lnx1+lnx2，
∴a（x1﹣x2）＝lnx1﹣lnx2，
∵x1＜x2．
∴a＝ ，
要证 x1x2＞e2，
只要证 lnx1+lnx2＞2，
∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2）＝ （x1+x2）＝ •ln ，
设 t＝ ＞1，
∴只要证 lnx1+lnx2＝ •lnt＞2，
即证 lnt＞ ＝2﹣ ，
即证 lnt+ ﹣2＞0，
设 h（t）＝lnt+ ﹣2，t＞1，
∴h′（t）＝ ﹣ ＝ ＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）＝0，
∴lnt+ ﹣2＞0，
即 lnx1+lnx2＞2，
故 x1x2＞e2．
请考生在 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标
系与参数方程]22．已知点 A 为圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上的动点，O 为坐标原点，过 P（0，4）作直线 OA
的垂线（当 A、O 重合时，直线 OA 约定为 y 轴），垂足为 M，以 O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点 M 的轨迹的极坐标方程；
（2）直线 l 的极坐标方程为 ，连接 OA 并延长交 l 于 B，求 的
最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的
转换求出结果．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（1）设点 M 的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM 中，有 ρ＝4sinθ，
所以点 M 的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．
（2）设射线 OA：θ＝α，（α∈（ ）），圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．
由 得到|OA|＝ρ1＝2cosα．
由 得： ，
所以 ＝ ＝
＝ ．
由于 α∈（ ），
所以 ，
当 ，即 ，
故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|．
（1）求不等式 f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；
（2）若正数 m、n 满足 m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．【分析】（1）将所求不等式转化为不等式组求解即可；
（2）利用基本不等式可知 m+2n≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．
解：（1）f（x）≤4﹣|2x﹣3|等价于 或 或
，
解得 或 或 ，
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤2}；
（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n＝mn，
∴ ，
∴m+2n≥8，当且仅当 m＝4，n＝2 时取等号，
∴f（m）+f（﹣2n）＝|m+1|+|﹣2n+1|≥|m+2n|≥8，当且仅当﹣2n+1≤0 时取等号，
∴f（m）+f（﹣2n）≥8．
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