2020 年高考（理科）数学第三次模拟试卷
一、选择题.
1．设集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合 B＝{y|y＝2x}，则 A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，2，8} C． D．∅
2．命题“∀x＞0，tanx＞sinx”的否定为（ ）
A．∃x＞0，tanx≤sinx B．∃x≤0，tanx＞sinx
C．∀x＞0，tanx≤sinx D．∀x≤0，tanx≤sinx
3．已知复数 z＝1+2i，则 ＝（ ）
A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i
4．已知向量 ， ， ，且 ，则实数 m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．任意实数
5．已知 n∈N*，且 n＞1，三个数 ln 、 、 的大小关系是（ ）
A． ＞ln ＞ B．ln ＞ ＞
C． ＞ ＞ln D． ＞ ＞ln
6．不等式 x2﹣ax+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，则 的展开式中常数项为（ ）
A．﹣64 B． C． D．
7．抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ，则该
双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A． B． C． D．
9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗
，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”
；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一
步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为坐标原
点，以 F1F2 为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、Q，点 B 为
圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若∠POF2＝∠QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．3+ B． C．1+ D．
11．已知定义域为 R 的函数 f（x），对任意 x∈R 有 f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数 f（x）
的导函数），若 y＝f（x）﹣1 为奇函数，则满足不等式 f（x）＞ex 的 x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
12．已知 a，b＞0， ，则当 取最小值时， 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
二、填空题
13．不等式组 所表示的平面区域的面积为 ．
14．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ，则 S2018＝ ．15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知△ABC 的面积为 3 ，b
﹣c＝2，cosA＝﹣ ，则 a 的值为 ．
16．已知直线 l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a 及圆 M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，设直线 l1
，l2 分别与圆 M 交于点 A，B 和点 C，D，现随机向圆 M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入
四边形 ACBD 内的概率为 ．
三、解答题
17．如图，在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD＝6．
（Ⅰ）当△ACD 的面积最大时，求△ABC 的面积；
（Ⅱ）若 ，求 AB．
18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题 2
分，李华同学做对一题的概率为 ，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读 E（共 4 题）
时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出 1，2，
5 选 A，丢出 3 选 B，丢出 6 选 D（已知 4 道题的正确答案依次为 A，C，D，D）
（1）求李华同学听力的 6 分的概率；
（2）记随机变量李华做阅读 E 时做对的题数为 ξ，求 ξ 的分布列与期望．
19．设数列{an}的前 n 项和 Sn，已知 a1＝1， ＝an+1﹣ ﹣n﹣ ，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否对一切正整数 n，有 ？说明理由．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 P 作两直线 l1 与 l2 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，若直线 l1 与 l2 的斜率互为相
反数，求|AB|的最大值．21．已知定义域为（0，+∞）的函数 f（x）满足 （其中 f'（x）是 f（x
）的导函数，e＝2.71828…）， ．
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（Ⅱ）若对于任意正实数 a，b 都有 成立，求 x 的取值范围．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为
极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为
．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 ，求 a 的值；
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式 m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．参考答案
一、选择题
1．设集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合 B＝{y|y＝2x}，则 A∩B＝（ ）
A．{1，2} B．{1，2，8} C． D．∅
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
解：A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{y|y＞0}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：A．
2．命题“∀x＞0，tanx＞sinx”的否定为（ ）
A．∃x＞0，tanx≤sinx B．∃x≤0，tanx＞sinx
C．∀x＞0，tanx≤sinx D．∀x≤0，tanx≤sinx
【分析】根据命题“∀x＞0，tanx＞sinx”是全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改
为“∃”，“＞“改为“≤”即可得答案．
解：∵命题“∀x＞0，tanx＞sinx”是特称命题，
∴命题的否定为：∃x＞0，tanx≤sinx．
故选：A．
3．已知复数 z＝1+2i，则 ＝（ ）
A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i
【分析】先求出共轭复数 ，再求出 z ，再代入所求式子，利用复数代数形式的乘除
运算化简即可．
解：∵z＝1+2i，∴ ，
∴ ＝6，
∴ ＝ ＝ ＝2+i，
故选：B．
4．已知向量 ， ， ，且 ，则实数 m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．任意实数【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
解：∵向量 ， ， ，且 ，
∴（ ﹣2 ）• ＝（3，0）•（m，2）＝3m+0＝0，
则实数 m＝0，
故选：B．
5．已知 n∈N*，且 n＞1，三个数 ln 、 、 的大小关系是（ ）
A． ＞ln ＞ B．ln ＞ ＞
C． ＞ ＞ln D． ＞ ＞ln
【分析】构造函数 f（x）＝x﹣ln（1+x），x＞0，利用导数判断 f（x）的单调性，得出 x
＞ln（1+x），令 x＝ 得 ＞ln ；同理，设 g（x）＝ln（1+x）﹣ ，x＞0，得出
ln ＞ ，即得 ＞ln ＞ ．
解：设函数 f（x）＝x﹣ln（1+x），x＞0，
∴f′（x）＝1﹣ ＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）＝0，
∴x＞ln（1+x）；
令 x＝ ，n∈N*，且 n＞1，
则 ＞ln（1+ ）＝ln ；
同理，设 g（x）＝ln（1+x）﹣ ，x＞0，
∴g′（x）＝ ﹣ ＝ ＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）＝0，
∴ln（1+x）＞ ；
令 x＝ ，n∈N*，且 n＞1，∴ln（1+ ）＞ ，
即 ln ＞ ；
综上， ＞ln ＞ ．
故选：A．
6．不等式 x2﹣ax+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，则 的展开式中常数项为（ ）
A．﹣64 B． C． D．
【分析】由题意求得 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得 的展开
式中常数项．
解：∵不等式 x2﹣ax+b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，∴1 和 2 是 x2﹣ax+b＝0 的两个实数根
，
∴1+2＝a，1×2＝b，即 a＝3，b＝2，
故 ，即 ，它的展开式的通项公式为 Tr+1＝ • •26﹣r•
，
令 r﹣3＝0，求得 r＝2 （不合题意），
故展开式中常数项为 • •16＝ ，
故选：D．
7．抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ，则该
双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲
线的离心率即可．
解：抛物线 y2＝4x 的焦点（1，0）到双曲线 的渐近线 bx﹣ay＝0 的距离是 ，
可得： ，可得 b2＝3a2，所以 c2＝4a2，因为 e＞1，
所以双曲线的离心率为 e＝ ＝2，
故选：C．
8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列{ }的前 10 项的和，采用
裂项相消法可求解．
解：由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列{ }的前 10 项的和．
∵ ＝ ，
所以
＝
＝ ．
故选：B．
9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗
，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”
；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一
步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】假设甲说的话是真话，推出来矛盾，则甲说的话是假话，然后判断其他人说的
话即可．
解：若甲说的是真话，则乙，丙说的也是真话，矛盾；
则甲说的是假话，不是丁，则丙说的也是假话，乙丙说的是真话，
因为乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”，且不是丁，
所以是甲盗的．
故选：A．
10．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为坐标原
点，以 F1F2 为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、Q，点 B 为
圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若∠POF2＝∠QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．3+ B． C．1+ D．
【分析】联立圆与双曲线的方程，求得 P 的坐标，tan∠QOF2＝tan∠POB，化简即可求
得双曲线的离心率．
解：∵∠POF2＝∠QOB，
∴∠QOF2＝∠POB，
双曲线的一条渐近线方程为 y＝ x，
则 tan∠QOF2＝ ，
由题意可知：以线段 F1F2 为直径的圆的方程 x2+y2＝c2，
联立 ，
解得 x＝ ，y＝ ，
∴tan∠POB＝ ，
∴ ＝ ，即 2+ ＝ ，
∵e2＝1+ ，
∴2+ ＝（e2﹣1）2，
解得 e＝ ，
故选：D．
11．已知定义域为 R 的函数 f（x），对任意 x∈R 有 f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数 f（x）
的导函数），若 y＝f（x）﹣1 为奇函数，则满足不等式 f（x）＞ex 的 x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】令 g（x）＝ ，根据 f'（x）＞f（x），'可得 g′（x）＝ ＞
0，可得函数 g（x）在 R 上单调性．利用单调性即可得出不等式 g（x）＜g（0）的解集
．
解：令 g（x）＝ ，
又 f'（x）＞f（x），'
则 g′（x）＝ ＞0，
∴函数 g（x）在 R 上单调递增．
∵y＝f（x）﹣1 为奇函数，∴f（0）﹣1＝0，
∴g（0）＝ ＝1．
∴不等式 ＜1，即 g（x）＜g（0）的解集为：{x|x＜0}．
故选：A．
12．已知 a，b＞0， ，则当 取最小值时， 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】由已知可利用基本不等式进行配凑即可求解．
解 ： 由 得 ，，
等号成立时 ，即 b＝2a，此时
故选：C．
二、填空题
13．不等式组 所表示的平面区域的面积为 8 ．
【分析】不等式组等价于 或 ，画出不等式组表示的平面区域，
计算它的面积即可．
解：不等式组 等价于 或 ，
画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示；
计算阴影部分的面积为 S＝ ×4×4＝8．
故答案为：8．
14．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ，则 S2018＝ 1008 ．
【分析】本题根据通项公式中正弦函数的性质可先分奇数项与偶数项分别分析，数列{an}
的奇数项是常数列，偶数项经过代入计算后又分为 4 的倍数项和非 4 的倍数项进行分析，
再分别计算出前 2018 项中奇数项与偶数项分别的和，最后相加即可得到结果．
解：由题意，可知
①当 n 为奇数时，设 n＝2k﹣1，k∈N*，则an＝a2k﹣1＝（2k﹣1）•sin（ π）+1＝（2k﹣1）•sinkπ+1＝1，
∴数列{an}的奇数项是常数列．
∴a1+a3+…+a2017＝1+1+…+1＝1×1009＝1009．
②当 n 为偶数时，设 n＝2k，k∈N*，则
an＝a2k＝2k•sin（ π）+1＝2k•sin（kπ+ ）+1，
（i）当 k＝2m，m∈N*，即 n＝4m 时，
an＝a2k＝a2•2m＝2•2m•sin（2mπ+ ）+1＝4m+1＝n+1，
（ii）当 k＝2m﹣1，m∈N*，即 n＝4m﹣2 时，
an＝a2k＝a2•（2m﹣1）＝2•（2m﹣1）•sin（2mπ﹣ ）+1＝﹣（4m﹣2）+1＝﹣n+1，
∴数列{an}的偶数项为﹣1，5，﹣5，9，﹣9，…
∵a4m+a4m+2＝4m+1﹣（4m+2）+1＝0，
∴a4+a6＝0，a8+a10＝0，…，a2016+a2018＝0，
∴a2+a4+…+a2018
＝a2+（a4+a6）+（a8+a10）+…+（a2016+a2018）
＝﹣1+0+0+…+0
＝﹣1．
∴S2018＝a1+a2+…+a2018
＝（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2018）
＝1009﹣1
＝1008．
故答案为：1008．
15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知△ABC 的面积为 3 ，
b﹣c＝2，cosA＝﹣ ，则 a 的值为 8 ．
【分析】由 cosA＝﹣ ，A∈（0，π），可得 sinA＝ ．利用 S△ABC＝
＝ ，化为 bc＝24，又 b﹣c＝2，解得 b，c．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA
即可得出．
解：∵A∈（0，π），∴sinA＝ ＝ ．∵S△ABC＝ ＝ bc＝ ，化为 bc＝24，
又 b﹣c＝2，解得 b＝6，c＝4．
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝36+16﹣48× ＝64．
解得 a＝8．
故答案为：8．
16．已知直线 l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a 及圆 M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，设直线 l1
，l2 分别与圆 M 交于点 A，B 和点 C，D，现随机向圆 M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入
四边形 ACBD 内的概率为 ．
【分析】由题可得 l1⊥l2，且两直线的交点为（2，a）恰为圆 M 的圆心，把问题转化为
正方形的面积与圆的面积之比即可．
解：∵直线 l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a 及圆 M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，
∴圆 M：（x﹣2）2+（y﹣a）2＝4；
∴l1⊥l2，且两直线的交点为（2，a）恰为圆 M 的圆心，所以 ACBD 为正方形，且对角
线 AB 为圆的直径 4，即正方形 ACBD 边长为 ．
∴现随机向圆 M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形 ACBD 内的概率为： ＝
＝ ，
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD＝6．
（Ⅰ）当△ACD 的面积最大时，求△ABC 的面积；
（Ⅱ）若 ，求 AB．【分析】（Ⅰ）根据题意选择△ACD 的面积公式，由于面积最大，可求角，然后求△ABC
的面积；
（Ⅱ）选择合理的余弦定理，求 AC，再求 AB．
解：（Ⅰ）由 知当 时，S△ACD 最大，
此时 ， ，
此时△ABC 为等腰直角三角形 ；
（Ⅱ） ，
由余弦定理 AC2＝CD2+AD2﹣2CD•ADcosD＝48
所以 AB2＝AC2+BC2﹣AC•BCcos∠ACB＝64，AB＝8
18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题 2
分，李华同学做对一题的概率为 ，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读 E（共 4 题）
时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出 1，2，
5 选 A，丢出 3 选 B，丢出 6 选 D（已知 4 道题的正确答案依次为 A，C，D，D）
（1）求李华同学听力的 6 分的概率；
（2）记随机变量李华做阅读 E 时做对的题数为 ξ，求 ξ 的分布列与期望．
【分析】（1）每题 2 分，做对一题的概率为 ，得 6 分即做对 3 道题，
利用 X～B（5， ），计算 P（X＝3）即可；
（2）由题意知随机变量 ξ 的可能取值，计算对应的概率值，
再写出 ξ 的分布列，求出期望值值．
解：（1）根据题意，听力一共五题，每题 2 分，李华同学做对一题的概率为 ，
则听力得 6 分的概率为 P＝ • • ＝ ；
（2）由题意，随机变量 ξ 的可能取值为 0，1，2，3，4；
则 P（ξ＝0）＝ × × × ＝ ，
P（ξ＝1）＝ × × × + × × × + × × × + × × × ＝ ，
P（ξ＝2）＝ × × × + × × × + × × × + × × × + ×× × + × × × ＝ ，
P（ξ＝3）＝ × × × + × × × + × × × + × × × ＝ ，
P（ξ＝4）＝ × × × ＝ ；
则 ξ 的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
ξ 的期望值为 E（ξ）＝0× +1× +2× +3× +4× ＝1．
19．设数列{an}的前 n 项和 Sn，已知 a1＝1， ＝an+1﹣ ﹣n﹣ ，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否对一切正整数 n，有 ？说明理由．
【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数 n，有 ．考虑当 n≥3 时， ＝ ＜
＝ （ ﹣ ），再由裂项相消求和，即可得证．
解：（1）∵ ＝an+1﹣ ﹣n﹣ ，
∴2Sn＝nan+1﹣ n3﹣n2﹣ n＝nan+1﹣ ，①
∴当 n≥2 时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣ ，②
由①﹣②，得 2Sn﹣2Sn﹣1＝nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），
∵2an＝2Sn﹣2Sn﹣1，∴2an＝nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），
∴ ﹣ ＝1，∴数列{ }是以首项为 1，公差为 1 的等差数列．
∴ ＝1+1×（n﹣1）＝n，∴an＝n2（n≥2），
当 n＝1 时，上式显然成立．∴an＝n2，n∈N*．
（2）对一切正整数 n，有 ．
证明：当 n≥3 时， ＝ ＜ ＝ （ ﹣ ），可得 + +…+ ＝1+ + （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）
＝ + ﹣ （ + ）＝ ﹣ （ + ），
由 （ + ）﹣ ＝ （ ﹣ ）＝ ＞0，
可得 （ + ）＞ ，
即有 ﹣ （ + ）＜ ﹣ ，
则当 n≥3 时，不等式成立；
检验 n＝1，2 时，不等式也成立，
综上可得对一切正整数 n，有 ．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 P 作两直线 l1 与 l2 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，若直线 l1 与 l2 的斜率互为相
反数，求|AB|的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据题意，列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，从而得到
椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 AP 为 y＝k（x﹣2）+1，则直线 BP 为 y＝﹣k（x﹣2）+1，联立直线 AP
与椭圆方程，利用韦达定理求出点 A 的坐标，同理求出点 B 的坐标，再利用基本不等式
即可求出|AB|的最大值．
解：（Ⅰ）由题意有： ，解得 ，∴椭圆 C 的方程为： ；
（Ⅱ）设直线 AP 为 y＝k（x﹣2）+1，则直线 BP 为 y＝﹣k（x﹣2）+1，
联立方程有： ⇒（2k2+k）x2+（4k﹣8k2 ）x+（8k2 ﹣8k﹣4）＝0，
，
则 ，
同理可得： ， ．
所以 ．
21．已知定义域为（0，+∞）的函数 f（x）满足 （其中 f'（x）是 f（x
）的导函数，e＝2.71828…）， ．
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（Ⅱ）若对于任意正实数 a，b 都有 成立，求 x 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）对 g（x）求导，并且把已知代入可得：g′（x）＝ex• ，利用其单
调性即可得出 g（x）的最大值．
（Ⅱ）两次利用基本不等式的性质可得 + + ≥f（ ），等号成立时
即 ， 由 题 ， 由 （ Ⅰ ）
，得 进而得出函数 f（x）单调递减，
即可得出 x 的取值范围．解 ： （ Ⅰ ） ＝
，
所以 g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ．
（Ⅱ） ，
等号成立时 即 ，
由题 ①
由（Ⅰ） ，得 ，
又 得 f'（x）≤0，f（x）单调递减，
所以①式等价于 ，即 ．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为
极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为
．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 ，求 a 的值；
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间
进行转换．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．解：（Ⅰ） ，
曲线 C：x2+y2﹣2ax+2ay＝4，直线 l：y＝x﹣3a，
（Ⅱ）圆心为（a，﹣a）到直线 l 的距离 ，
圆 C：（x﹣a）2+（x+a）2＝2a2+4 的半径为 ，
直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 ，
解得 a＝±2．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）＞0；
（Ⅱ）若不等式 m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由 f（x）＞0 得|2x﹣1|＞|x﹣3|，两边平方后，化为一元二次不等式，解
出即可；
（Ⅱ）问题即为 m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，利用绝对值不等式的性质可得 m2﹣
4|m|＞5，解出即可．
解：（Ⅰ）f（x）＞0 即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，
∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即 4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，
∴3x2+2x﹣8＞0，解得 或 x＜﹣2，
∴不等式的解集为 ；
（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即 m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，
由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3 时等号成立），可知 m2﹣4|m|＞
5，
解得|m|＞5，
∴m＞5 或 m＜﹣5，即实数 m 的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．
微信/支付宝扫码支付