大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一）
数学（文科）
（本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分）
★祝考试顺利★
注意事项
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上黑色
笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
参考公式：
锥体的体积公式： （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简求出复数 ，然后可得到其在复平面所对应的点，即可得答案
【详解】复数 ，复数 对应点 ，是第四象限的点，
故选：D.
【点睛】此题考查复数的运算，复数与复平面内的点的对应关系，属于基础题
2.已知集合 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
1= 3V Sh S h
z ( )1 2 3z i i+ = + i z
z
( )( )
( )( )
3 1 23 5 5 11 2 1 2 1 2 5
i ii iz ii i i
+ −+ −= = = = −+ + − 1z i= − ( )1, 1−
{ }2,3,5,7,8,9U = { }2,3,5,8A = { }2,5,7B =
A B⊆ B A⊆ { }2,5A B = ( ) { }7,9U A B =【解析】
【分析】
由已知可知集合 中的元素不都全在集合 中，且集合 中的元素不都全在集合 中，所以 不是 的子
集， 也不是 的子集，而集合 和集合 的公共元素为 2 和 5，从而可选出答案
【详解】因为集合 中含有元素 3，集合 中含有元素 7，所以 不是 的子集， 也不是 的子集，故
选项 A，B 错误； ，选项 C 正确； ，所以 ，选项 D 错误.
故选：C.
【点睛】此题考查集合间的关系，集合的运算，属于基础题
3.已知单位向量 满足 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由两向量垂直，得其数量积等于零，列方程可求出 的值
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】此题考查的是向量垂直、数量积的运算，属于基础题
4.成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹，引申为
策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵
十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目
的算筹，其中 1~5 分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9 则以上面的算筹再加下面相应的算筹来
表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇
零则置空.那么 2536 用算筹可表示为（ ）
A B B A A B
B A A B
A B A B B A
{ }2,5A B = { }7,9U A = ( ) { }2,5,7,9U A B =
,a b , 3a b
π= ( )a a tb⊥ − t
1
2
2 3
3
t
( )a a tb⊥ − ( ) 0a a tb⋅ − =
( ) 22
cos ,a a tb a ta b a t a b a b⋅ − = − ⋅ = − = 11 02 t− = 2t =A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件发现其对应的规律即可
【详解】由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536 的个位是 6，
用纵式；十位是 3，用横式；百位是 5，用纵式；千位是 2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答
案为 ，
故选：B.
【点睛】此题考查归纳推理的应用，属于基础题
5.函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过求函数的定义域、判断奇偶性、取特殊值可选答案
【详解】由题知，函数的定义域为 ，因为 ，所以函数
为奇函数，排除选项 A，B，又因为 ，所以选项 D 错误，
故选：C.
【点睛】此题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、奇偶性、特殊点的位置是判断函数图象的常
用方法，属于中档题.
6.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
( ) 21
x xe ef x x
−−= −
{ }| 1x x ≠ ± ( ) ( ) ( )2 211
x x x xe e e ef x f xxx
− −− −− = = − = −−− −
( )f x ( ) 2 2 2 2
22 01 2 3
e e e ef
− −− −= = −
2 2log 3 log 7a c= > = 1a c b> > >
( ) sin 3 cosf x x x= + x∈ ( )f x 1
3
θ ( )0θ > y θ（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因 ，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的 后所得函数的解析式
为 ， 图像在 轴左侧的第一条对称轴 ，故至少向右平移 个
单位就可以得到关于 轴对称的图像，选 C.
点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和 轴附近的
对称轴或对称中心有关.
9.已知实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的 不小于 63 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：运行该程序框图，第一次循环 ；第二次循环 ；第
三次循环 ；推出循环输出 ，由 得 ，由几何概型概率公式
可得输出的 不小于 的概率为 ，故选 B.
考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几
9
π
3
π 5
18
π 2
3
π
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = +
1
3
( ) 2sin 3 3g x x
π = +
( )y g x= y 5
18x
π= − 5
18
π
y
y
[ ]1,10x∈ x
4
9
1
3
2
5
3
10
2 1, 2x x n= + = ( )2 2 1 +1=4 3, 3x x x n= + + =
2 1 8 7, 4x x x n= + = + = 8 7x + 8 7 63x + ≥ 7x ≥
x 63 10 7 1
10 3
− =点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循
环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；
（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条
件即可.
10.已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 为过 且斜率为
的直线与双曲线的一个交点，且 ，则 的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由于直线的斜率为 ，所以此直线的倾斜角为 ，即 ，再由 ，得
，从而得 为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得 的关系，
从而可求出离心率.
【 详 解 】 由 题 意 ， 直 线 过 左 焦 点 且 倾 斜 角 为 ， ，
∴ ， ， ∴ ， 即 .∴ ， ∴
，根据双曲线定义有 ，∴离心率 .
故选：B
【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.
11.已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 ， ， 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平
面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再由棱长求出高，然后由体积公式计算即可.
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 1F 2F P 1F 3
3
2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ C
3 1+ 3 2
3
3
30° 1 2 30PF F∠ = ° 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠
2 1 60PF F∠ = ° 1 2PF F∆ ,a c
( )3
3y x c= + 1F 30° 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠
1 2 30PF F∠ = ° 2 1 60PF F∠ = ° 1 2 90F PF∠ = ° 1 2F P F P⊥ 2 1 2
1
2PF F F c= =
1 1 2 sin 60 3PF F F c= ° = 21 3 2PF PF c c a− = − = 3 1= = +ce a
P ABC− PA PB PC
2 6 P ABC−
3
2
π 6
3
π 6
2
π 3
3
π【详解】三棱锥 展开后为一等边三角形，设边长为 ，则 ，所以 ，
∴三棱锥 棱长为 ，三棱锥 的高为 ，
设内切球的半径为 ，则 ，所以 ，
∴三棱锥 的内切球的体积为 ，
故选：A.
【点睛】此题考查锥体的体积，考查等体积的运用，属于基础题.
12.比利时数学家 Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的
侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，
如图所示，在一个高为 10，底面半径为 2 的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个
球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如 图 ， 作 出 圆 柱 的 轴 截 面 ， 由 于 ,所 以 ， 而 由 已 知 可 求 出
的长，从而可得 ，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得 ，由此可求出
离心率.
【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为 ， ，延长 与圆柱面相交于 ， ，过点
作 ，垂足为 .
P ABC− a 4 6 sin
a
A
= 6 2a =
P ABC− 3 2 P ABC− 2 3
r 1 14 2 33 3ABC ABCr S S∆ ∆× × = × 3
2r =
P ABC− 34 3
3 2rπ π=
3
3
2
3
65
13
5
3
AOB OCD∠ = ∠ sin sinAOB OCD∠ = ∠
, ,OB AB OD 3a OC= = 2b =
A 1A 1AA C 1C O
OD DC⊥ D在直角三角形 中， ， ，
所以 ，又因为 ，
所以
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即 ，则可求得
，
所以 ，
故选：D.
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.曲线 在点 处的切线方程为 ，则 _______.
【答案】3
【解析】
【分析】
先函数求导，然后将切点的横坐标 1 代入导函数中，使其值等于切线的斜率 1，得到方程可求出 的值.
【详解】因为 ，所以曲线在点 处的切线斜率 ，所以 .
故答案为：3
【点睛】此题考查的是导数的几何意义,属于基础题.
14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 ________.
.
ABO 2AB = 10 2 2 32BO
− ×= =
2sin 3
ABAOB BO
∠ = = 2 2sin sin 3
rAOB OCD OC OC
∠ = ∠ = = =
3a OC= =
2 4b =
2 2 9 4 5c a b= − = − =
5
3
ce a
= =
2lny a x x= − ( )1, 1− 2 0x y− − = a =
a
2ay xx
′ = − ( )1, 1− 2 2 11
ak a= − = − = 3a =
nS { }na n 3 2n nS a= − na =【答案】
【解析】
【分析】
由 求解 .
【详解】当 时， ，即 ；
当 时， ，①
，②
①-②得 ，即 ，
所以 是公比为 ，首项为 1 的等比数列，故 .
故答案为：
【点睛】此题考查的是数列的前 项和与通项间的关系,属于基础题.
15.已知 为第四象限的角， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
给 两边平方先求出 ,然后利用完全平方公式求出 ,再利用公式
可得结果.
【详解】∵ ，两边平方得： ，∴ ，
∴ ，
∵ 为第四象限角，∴ ， ，∴ ，
13
2
n-æ öç ÷ç ÷è ø
1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥ na
1n = 1 13 2S a= − 1 1a =
2n ≥ 3 2n nS a= −
1 13 2n nS a− −= −
13 3n n na a a −= − 1
3
2n na a −=
{ }na 3
2
13
2
n
na
− =
13
2
n-æ öç ÷ç ÷è ø
n
θ 3sin cos 3
θ θ+ = cos 2θ =
5
3
3sin cos 3
θ θ+ = 2sin cosθ θ cos sinθ θ−
2 2cos2 cos sinθ θ θ= −
3sin cos 3
θ θ+ = 11 sin 2 3
θ+ = 2sin2 3
θ = −
( )2 5sin cos 1 sin 2 3
θ θ θ− = − =
θ sin 0θ < cos 0θ > 15cos sin 3
θ θ− =∴ .
故答案为：
【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.
16.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升水时，水面恰好
经过正四棱锥的顶点 ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点 ，则下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
②若往容器内再注 升水，则容器恰好能装满；
③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点 ；
④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 .
其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）.
【答案】②③
【解析】
【分析】
若设图（1）水的高度 ，几何体的高为 ，则由已知得 ，当容器侧面水平放置时， 点在长方
体中截面上，水占容器空间的一半，所以水面也恰好经过 点，当水面与四棱锥的一个侧面重合时，水的
体积为 ，由此得到正确的结论.
【详解】设图（1）水的高度 ，几何体的高为 ，底面边长为 ，
图（1）中水的体积为 ，图（2）中水的体积为 ，
所以 ，所以 ，故①错误；由题意知 升水占容器内空间的一半，所以②正确；
当容器侧面水平放置时， 点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可
知③正确；
假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 矛盾，故④不正
确.故答案为②③.
( )( ) 5cos2 cos sin cos sin 3
θ θ θ θ θ= − + =
5
3
a
P P
a
P
P
2h 1h 1 2
5
3h h= P
P
2 2
2 2
25 2
36 3b h b h>
2h 1h b
2
2
2
3 b h ( )2 2 2
1 2 1 2b h b h b h h− = −
( )2 2
2 1 2
2
3 b h b h h= − 1 2
5
3h h= a
P
2 2
2 2
25 2
36 3b h b h>故答案为：②③
【点睛】此题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，属于难题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)由已知条件列出关于 的方程组,求出 ,可得 的通项公式;
(2)由(1)求出的 ,可得数列 的通项公式,然后利用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）设数列 的公差为 ，因为 是等差数列，由 得
解得
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以数列 的前 项和
.
【点睛】此题考查的是等差数列的基本量计算，裂项相消求和法，属于基础题.
18.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
{ }na n nS 2 5a = 7 63S =
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅ { }nb n
2 1na n= + 1 1
6 4 6n
− +
1,a d 1,a d { }na
2 1na n= + { }nb
{ }na d { }na 2
7
5,
63
a
S
=
=
1
1
5,
7 21 63.
a d
a d
+ =
+ =
1 3,
2,
a
d
=
=
2 1na n= +
( )( )1
1 1 1 1 1
2 1 2 3 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+
= = = − ⋅ + + + +
{ }nb n 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 2 5 7 2 7 9n nT b b b = + + + = − + − + − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 3 2 3 5 5 7 7 9 2 1 2 3n n n n
− = − + − + − + + − + + + +
1 1 1 1 1
2 3 2 3 6 4 6n n
= − = − + +
ABC∆ A B C a b c sin cos 6b A a B
π = −
B（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理将边转化为角，化简统一成角 的三角函数，可求出的角 ；
（2）由正弦定理得 ，然后由角 的值，可求出角 的取值范围，
从而得到 的取值范围，而 ，所以可求得 面积的取值范围.
【详解】解：（1）在 中，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，得 ，
即 ，可得 .
又因为 ，可得 .
（2）由题设及（1）知 的面积 .
由正弦定理得 .
由于 为锐角三角形，故 ， ，
由（1）知 ，所以 ，
故 ，
从而 .
ABC∆ 1c = ABC∆
3B
π= 3 3,8 2
B B
2sinsin 3 13
sin sin 2tan 2
Cc Aa C C C
π − = = = + B C
a 3
4ABCS a∆ = ABC∆
ABC∆
sin sin
a b
A B
= sin sinb A a B=
sin cos 6b A a B
π = − sin cos 6a B a B
π = −
sin cos 6B B
π = − tan 3B =
( )0,B π∈
3B
π=
ABC∆ 3
4ABCS a∆ =
2sinsin 3 13
sin sin 2tan 2
Cc Aa C C C
π − = = = +
ABC∆ 0 2A
π< < 0 2C< < π
2
3A C
π+ =
6 2C
π π< <
1 22 a< <
3 3
8 2ABCS∆< − − 1x∀ > a
[ )0,+∞为 ，所以要分情况讨论求解其单调区间；
（2）要 对 恒成立，只要 对 恒成立，然后构造函数，
求此函数的最小值，只要最小值大于零即可求 的取值范围.
【详解】解：（1） （ ），
令 .
①当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
②当 时， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
③当 时， 时， ， 单调递增；
④当 时， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
（2） 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 ，则 ，
(0, )+∞
( ) 1f x ax> − − 1x∀ > 2 2 ln 1 0x x a x− + + > 1x∀ >
a
( ) ( ) ( )22 22 2 x a x aaf x x a x x
− + +′ = − + + = 0x >
( ) ( ) ( )( )22 2 2 1g x x a x a x a x= − + + = − −
0a ≤ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0 2a< < 0, 2
ax ∈
( ) 0f x′ > ( )f x
,12
ax ∈
( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
2a = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
2a > ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1, 2
ax ∈
( ) 0f x′ < ( )f x
,2
ax ∈ +∞
( ) 0f x′ > ( )f x
0a ≤ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
0 2a< < ( )f x ,12
a
0, 2
a
( )1,+∞
2a = ( )f x ( )0, ∞+
2a > ( )f x 1, 2
a
( )0,1 ,2
a +∞
( ) 1f x ax> − − 1x∀ > 2 2 ln 1 0x x a x− + + > 1x∀ >
( ) 2 2 ln 1h x x x a x= − + + ( )min 0h x >又 .
，令 .
①当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，符合题意；
②当 时，设 的两根为 ， ，且 ，
则 ， .
（ⅰ）若 ，则 时 ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
，舍去；
（ii）若 ，则 时， ， 单调递增； ，符合题意，
由 的图象可知，若满足 ，则 ，又 ，即 .
综上， 的取值范围为 .
【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，属于常规题.
22.已知点 在圆 上运动，动点 满足以下条件：①以 为直径的圆过原点；② 过点
且与直线 相切.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知点 ， ，过点 的直线 交 于 ， 两点，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
分析】
（1）由以 为直径的圆过原点可得， ,若设 ， ，则 ，再由
过点 且与直线 相切，得 ，而点 在圆 上，得
，三个方程消去 ，可得到点 的轨迹 的方程；
【
( )1 1 2 ln1 1 0h a= − + + =
( ) 22 22 2 a x x ah x x x x
− +′ = − + = ( ) 2
2 1 12 2 2 2 2t x x x a x a = − + = − + −
1
2a ≥ ( ) 22 2 0t x x x a= − + ≥ ( )h x
1x > ( ) ( )1 0h x h> =
1
2a < ( ) 22 2 0t x x x a= − + = 1x 2x 1 2x x<
1 2 1x x =+ 1 2 2
ax x =
2 1>x ( )21,x x∈ ( ) 0t x < ( )h x ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0t x > ( )h x
( ) ( ) ( )2min 1 0h x h x h= < =
2 1x ≤ ( )1,x∈ +∞ ( ) 0t x > ( )h x ( ) ( )min 1 0h x h> =
( )t x 2 1x ≤ ( )1 2 2 0t a= − + ≥ 1
2a < 10 2a≤ <
a [ )0,+∞
A 2 2 4x y+ = M MA M A
2 0y + =
M E
( )0,1P ( )0, 1Q − P l E M N PM QN QM PN=
2 4x y=
MA MO AO⊥ ( ),M x y ( )0 0,A x y 0 0 0x x y y+ =
M A 2 0y + = ( ) ( ) ( )2 2 2
0 0 2x x y y y− + − = + A 2 2 4x y+ =
2 2
0 0 4x y+ = 0 0,x y M E（2）要证： ，即证 ，即证 为 的角平分线，而 在
轴上，所以只要证 ，将 用点 ， 的坐标表示出来，即
，下来只要直线方程和抛物线方程联立成方程组，再用
根与系数的关系，代入上式即可证明.
【详解】解：（1）设 ， ，根据已知可得：
整理得： ，即 方程为 .
（2）证明：易知直线 的斜率一定存在.
法一：设直线 的方程为： ，代入拋物线方程得： .
设点 ， ，
则 ， ， .
要证： ，即证 ，
即证 为 的角平分线，
因为 在 轴上，即证 ，
，
所以
法二：设直线 的方程为： ，代入抛物线方程得
设点 ， ，
的
PM QN QM PN= PM QM
PN QN
= PQ MQN∠ PQ y
0QM QNk k+ = QM QNk k， ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 1
QM QN
y y x y x x y xk k x x x x
+ + + + ++ = + =
( ),M x y ( )0 0,A x y
( ) ( ) ( )
0 0
2 2
0 0
2 2 2
0 0
0,
4,
2 ,
x x y y
x y
x x y y y
+ = + =
− + − = +
2 4x y= E 2 4x y=
l
l 1y kx= + 2 4 4 0x kx− − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − 2 2
1 2
1 2 14 4
x xy y = ⋅ =
PM QN QM PN= PM QM
PN QN
=
PQ MQN∠
PQ y 0QM QNk k+ =
1 2 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 1
QM QN
y y x y x x y xk k x x x x
+ + + + ++ = + =
( )1 2 1 2
1 2
2 2 8 8= 04
kx x x x k k
x x
+ + − += =−
PM QN QM PN=
l 1y kx= + 2 4 4 0x kx− − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y则 ， ，所以 ，所以 .
因为 是拋物线的焦点，
， ， ， ，
，
所以
即 .
【点睛】此题考查的是求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和运算能力，属于
较难题.
1 2 4x x k+ = 2 2
1 2
1 2 14 4
x xy y = ⋅ =
2 2
1 2
1 2 14 4
x xy y = ⋅ = 2
1
1y y
=
( )0,1P
1 1PM y= + 2 1PN y= + ( )22
1 1 1QM x y= + + ( )22
2 2 1QN x y= + +
1 1
1
12
1
1 1
11
PM y y yyPN y
y
+ += = =++
( )
( )
22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 22
2 2 2 2 2 1 12 2 2 2
1 1 1
1 4 2 1 6 1 6 1 6 1
1 64 2 1 6 1 6 11 1
x yQM y y y y y y y y y
QN y y y y y y yx y
y y y
+ + + + + + + + + + += = = = =
+ + + + + + ++ + + +
1y=
1
PM QM yPN QN
= =
PM QN QM PN=
微信/支付宝扫码支付