2020届全国联考3月高三年级调研考试文科数学试题（解析版）

2020 年 3 月高三年级调研考试文科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集为 ，集合 ， ， ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集及补集的定义求解． 【详解】∵ ， 或 ， N={−1，0，1，2，3} ∴ {−1，2，3}. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题. 2.设复数 ，则 ( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数四则运算化简 z，可求 z 的模. 【详解】 ， . 故选：A. 【点睛】本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题. R { }0 2M x x= ≤ < { }1,0,1,2,3N = − ( ) =M N∩R { }0,1 { }1,0,1− { }1,2,3− { }1,0,2,3− { }0 2M x x= ≤ < ={ 0M x x > b a c> > b c a> > c b a> > a b c 0 1 a b c 3logy x= ( )0, ∞+ 3 3 1log log 1 05a = < = 1 3 logy x= ( )0, ∞+ 1 1 3 3 1 1log log 15 3b = > = 3xy = R 1 030 3 3 −< < 0 1c< < b c a> > ( )0,α π∈ α 7cos ,sin6 6A π π     α = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π α 1sin 6 2 π = 7 3cos cos cos6 6 6 2 π π ππ = + = − = −   2 2 sin cos 16 6 π π   + − =      . 又 ， . 故选：D. 【点睛】本题考查角的概念，属于基础题. 5.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】 由题可判断 ，根据 列方程 得 ，再代入 可得 ，根据公式可得 . 【详解】当数列 的公比 时， ， ， ， . ，得 . ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数 列公比为 1 的求和公式，属于基础题. 6.已知 ， 是空间内两条不同的直线， ， 是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 【 cos 36cos =1 2 π α − ∴ = − ( )0,α π∈ 5 6 πα∴ = { }na n nS 4 23S S= 2 6 15a a+ = 4a = 1q ≠ 4 23S S= ( ) ( )4 2 1 11 1 31 1 a q a q q q − − = ×− − 2 2q = 2 6 15a a+ = 2 3a = 4a { }na 1q = 4 14S a= 2 13 6S a= 4 23S S≠ 1q∴ ≠ ( ) ( )4 2 1 11 1 31 1 a q a q q q − − ∴ = ×− − 2 2q = ( )4 2 6 2 1 15a a a q+ = + = 2 3a∴ = 2 4 2 6a a q∴ = = m n α β m n⊥ m α⊥ //n α α β⊥ mα β = n m⊥ n α⊥ mα β = //n α //m n m α⊥ βn// //α β m n⊥A.若 ， ，则 或 .B.若 ， ， ，若 ，不成立，C.若 ， ， 与 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断. 【详解】若 ， ，则 或 ，故 A 不正确，； 若 ， ， ，若 ，则 ，故 B 不正确， 若 ， ， 与 的关系是异面或平行，故 C 不正确， 若 ， ， ，又因为 ，所以 ，故 D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 7.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 切线方程 ，得 ， ，代入 可得切点坐标，对 求导代入可得切线斜率，求解出方程即可. 【详解】由切线方程 ，得 ， . 设 ， 则 ， ， ， 曲线 在点 处的切线方程为 ， m n⊥ m α⊥ n α n ⊂ α α β⊥ mα β = n m⊥ n β⊄ mα β = //n α m n m n⊥ m α⊥ n α n ⊂ α α β⊥ mα β = n m⊥ n β⊂ n α⊥ mα β = //n α m n m α⊥ //α β m β⊥ βn// m n⊥ ( )y f x= 0x = 3 1y x= + ( ) x f xy e = 0x = 2 1y x= − 2 1y x= + 1y x= − 1y x= + ( )y f x= 3 1y x= + ( )0 1f = ( )0 3f ′ = ( ) x f xy e = ( ) x f xy e = 3 1y x= + ( )0 1f = ( )0 3f ′ = ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x xx e f x e f x f x f xg x ee ′ ′− −′ = = ( ) ( ) 0 00 1fg e ∴ = = ( ) ( ) ( ) 0 0 00 2f fg e ′ −′ = = ∴ ( ) x f xy e = 0x = 1 2y x− =即 ， 故选：B. 【点睛】本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基 础题. 8.执行如图的程序框图，最后输出结果为 8.若判断框填入的条件是 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据循环结构程序框图的运算，求得 k=7 及 k=8 时 s 的值，判断框填入的条件是 ，即可得 a 的取值范 围. 【详解】 ， ， ①条件不满足， ， ；②条件不满足， ， ； ③条件不满足， ， ；④条件不满足， ， ； ⑤条件不满足， ， ；⑥条件不满足， ， ； ⑦条件不满足， ， ；满足条件，退出循环. . 故选：A. 【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺 序依次计算即可，属于基础题. 9.函数 的最小正周期是 ，则函数 在区间 上的零点个 数为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】 2 1y x= + s a≥ a ( ]21,28 [ )21,28 ( ]28,36 [ )28,36 s a≥ 1k = 0s = 1s = 2k = 3s = 3k = 6s = 4k = 10s = 5k = 15s = 6k = 21s = 7k = 28s = 8k = 21 28a∴ < ≤ ( ) ( )3sin cos 1 0f x x x aω ω= + − > π ( )f x [ ]0,100先用辅助角法，将 ，转化为 ，再由最小正 周期是 ，求得解析式，然后求零点即可. 【详解】因为 . 最小正周期是 ， . ， 令 ，得 . 或 ， . 或 ， . ， 当 时， ， ， ， ， ， 共 32 个； 当 时， ， ， ， ， 共 32 个. 函数 在区间 上的零点总共有 64 个. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10.过双曲线 的右焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为点 ，垂线交 轴于点 ， 且 .若 的面积为 （ 是坐标原点），则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A ( ) 3 12 sin cos 12 2f x x xω ω = + −    ( ) 2sin 16f x x πω = + −   π ( ) 3 12 sin cos 12 2f x x xω ω = + −    2sin 16x πω = + −    π =2ω∴ ( ) 2sin 2 16f x x π ∴ = + −   ( ) 0f x = 1sin 2 6 2x π + =   2 26 6x k π ππ∴ + = + 52 26 6x k π ππ+ = + k ∈Z x kπ∴ = 3x k ππ= + k ∈Z 0 100x≤ ≤ ∴ x kπ= 0x = π 2π 3π  31π 3x k ππ= + 3x π= 3 ππ + 2 3 ππ +  31 3 ππ + ∴ ( )f x [ ]0,100 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F A y B 3AB FA=  OAB 3 3 2 O 2 2 13 x y− = 2 2 13 2 x y− = 2 2 13 yx − = 2 2 12 3 x y− =【解析】 【分析】 由题意及点到直线距离公式可得 ， ，由 可得 ， 根据面积公式可得 ，又根据垂线 的方程为 ，得点 的坐标为 ，利用 勾股定理可得 ，结合 联立解出 a、b 即可得双曲线方程. 【详解】过右焦点 作渐近线 的垂线，渐近线方程即 . ， ， 又 可得 ， 则 . ①. 又垂线 的方程为 ，得点 的坐标为 ， 中， ②. 由①②及 ，得 ， ， 双曲线的标准方程为 . 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于 a、b、c 的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题. 11.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 表示.早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖 冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第 7 位的人， 这比欧洲早了约 1000 年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计 的值：在区间 内随机取 个数，构成 个数对 ，设 ， 能与 1 构成钝角三角形三边的数对 有 对，则通过随机 FA b= OA a= 3AB FA=  3AB b= 3ab = AF ( )ay x cb = − − B 0, acB b      2 2 2 2 29 a ca b b + = 2 2 2+ =a b c ( ),0F c by xa = 0bx ay− = 2 2 bcFA b a b = = + OA a∴ = 3AB FA=  3AB b= 1 1 3 332 2 2OABS OA AB a b= = × × =△ 3ab∴ = AF ( )ay x cb = − − B 0, acB b      Rt OAB∴ ∆ 2 2 2 2 29 a ca b b + = 2 2 2+ =a b c 2 3a = 2 1b = ∴ 2 2 13 x y− = π π ( )0,1 2m m ( ),x y x y ( ),x y n模拟的方法得到的 的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据在区间 内随机取 个数，则有 ，试验的全部结果构成以 1 为边长的正方形，其面积 为 1.因为 ， 能与 1 构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得 求得相应的面积，再利 用几何概型的概率公式求解. 【详解】依题有 ，试验的全部结果构成以 1 为边长的正方形，其面积为 1. 因为 ， 能与 1 构成钝角三角形， 由余弦定理的及三角形知识得 ， 构成如图阴影部分， 其面积为 ， 由几何概型概率计算公式得 ， 解得 . 故选：C 【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档 题. 12.已知三棱锥 的所有顶点在球 的球面上， 平面 ， 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是( ) π 2m n m + 2m n n + 2 4m n m + 2 2 m n n + ( )0,1 2m 0 1 0 1 x y <  0nb > 2 1 1n n nb b a+ += 1 1n n na b b+ +∴ = 2n ≥ 1 1 2n n n n nb b b b b− ++ = 2n∴ ≥ 1 1 2n n nb b b− ++ = 1 1n n n nb b b b+ −− = −数列 是等差数列. 又 ， ， ， 首项 ，公差 ， . ， . ，其中 适合此式， . 故答案为： . 【点睛】本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化， 属于中等题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校 1000 名学生按照 的比例进行抽样调查，得到 身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表 男生身高 （单位：厘米） 频数 7 10 19 18 4 2 女生身高频数分布表 女生身高 （单位：厘米） 频数 3 10 15 6 3 3 ∴ { }nb 1 2 12a a b+ = 1 2b∴ = 2 2 2 1 9 2 ab b = = 1 2b = 2 1 2 2d b b= − = ( ) ( )2 22 1 12 2nb n n∴ = + − = + ( )21 12nb n∴ = + ( )( )1 1 1 1 22n n na b b n n+ +∴ = = + + ( )1 12na n n∴ = + 1 1a = ( )1 12na n n∴ = + ( )1 12 n n + 10:1 [ )160 165, [ )165 170, [ )170 175, [ )175,180 [ )180 185, [ ]185,190 [ )150,155 [ )155 160, [ )160 165, [ )165 170, [ )170 175, [ ]175,180（1）估计这 1000 名学生中女生的人数； （2）估计这 1000 名学生中身高在 的概率； （3）在样本中，从身高在 的女生中任取 2 名女生进行调查，求这 2 名学生身高在 的概 率.（身高单位：厘米） 【答案】（1）400 名；（2）0.49；（3） . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 男 生 、 女 生 身 高 频 数 分 布 表 可 知 ， 抽 了 60 名 男 生 ， 40 名 女 生 ， 则 女 生 的 人 数 为 ； （2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在 的有 49 人，又共抽取 100 人，计算可得概率； （3）身高在 的女生有 3 名，身高在 的女生有 3 名，列举法可得抽取 2 名共 15 种，其 中 2 名学生的身高都在 的情况有 3 种，可求概率. 【详解】（1）由频率分布表可得样本中男生为 60 名，女生为 40 名， 估计这 1000 名学生中女生的人数大约是 （名）. （2）由表知，样本中身高在 的人数为 ， 样本容量是 100， 样本中身高在 的概率为 ， 估计这 1000 名学生中身高在 的概率为 0.49. （3）依题意，身高在 的女生有 3 名，记为 ， ， ， 身高在 的女生有 3 名，记为 ， ， ， 则从身高在 的女生中任取 2 名， 所有情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15 种， 其中 2 名学生的身高都在 的情况有 ， ， 共 3 种， 这 2 名学生身高都在 的概率为 . [ ]170,190 [ ]170,180 [ )170 175, 1 5 401000 40040 60 × =+ [ ]170,190 [ )170 175, [ ]175,180 [ )170 175, 401000 40040 60 × =+ [ ]170,190 19 18 4 2 3 3=49+ + + + + ∴ [ ]170,190 49 100 ∴ [ ]170,190 [ )170 175, a b c [ ]175,180 d e f [ ]170,180 ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef [ )170 175, ab ac bc ∴ [ )170 175, 3 1 15 5 =【点睛】本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握， 属于基础题. 18.如图，平面 平面 ，四边形 和 都是边长为 2 的正方形，点 ， 分 别是 ， 的中点，二面角 的大小为 60°. （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由中位线性质可知 ，又 平面 ， 平面 即可求证； （2）根据题目条件不难得出 就是二面角 的平面角，连接 ，解三角形可得 为直角三角形，由 进一步求证可得 平面 ,又 平面 ，可得点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可. 【详解】（1）证明： ， 分别是 ， 的中点， . 平面 ， 平面 ， 平面 . （2） 四边形 和 都是边长为 2 的正方形， ， ， 就是二面角 的平面角， . 连接 ，在 中， ， ， ， ， . ， . ABCD  ABEF AB= ABCD ABEF M N AF AB D AB F− − / /MN BCF M BCF− 3 3 / /MN BF MN ⊄ BCF BF ⊂ BCF DAF∠ D AB F− − DM DAM△ DM AM⊥ DM ⊥ ABEF / /CD ABEF C ABEF D ABEF M N AF AB / /MN BF∴ MN ⊄ BCF BF ⊂ BCF / /MN∴ BCF  ABCD ABEF DA AB∴ ⊥ FA AB⊥ DAF∴∠ D AB F− − 60DAF∴∠ = ° DM DAM△ 2DA = 1AM = 60DAM∠ = ° 2 2 2 2 cos60 3DM AM AD AM AD∴ = + − ⋅ ⋅ ° = 3DM∴ = 2 2 2DM AM AD∴ + = DM AM∴ ⊥， ， ， 平面 ， . 平面 . 平面 ， 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，为 . ， 为 的中点， ， 平面 ， . . 【点睛】本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题. 19. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的外接圆半径为 ，面积为 ，已知 为 锐角，且 . （1）求 ； （2）若 ，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出 sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角 A 的值； （2）将 a，A 的值代入余弦定理，得到关系 b，c 的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值． 【详解】（1） ， DA AB⊥ FA AB⊥ FA DA A= AB∴ ⊥ ADM AB DM∴ ⊥ DM∴ ⊥ ABEF / /CD ABEF ∴ C ABEF D ABEF 3 FA AB⊥ N AB 2AF AB= = 1 1 2 12NBFS∴ = × × =△ / /MN BCF M BCF N BCF C NFBV V V− − −∴ = = 1 333 3M BCF NBFV S−∴ = × =△ ABC A B C a b c ABC R S A ( )2 2 22 tan =4b c R A S+ − A =1a S 4 π ( )1 2 14 + ( )2 2 22 tan 4b c R A S+ − =， 即 ， ， 由余弦定理得 ， 由正弦定理得 ，得 ， 为锐角， . （2）由余弦定理，得 ， . ，取等号的条件是 ， . . 的最大值为 . 【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属 于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题. 20.已知椭圆 ，过 的焦点且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为 ，椭圆 的离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）经过右焦点 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据通径可求过 的焦点且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为 ，再由椭圆 的离心率为 及椭圆解得 a、b，可得椭圆方程； ( )2 2 2 sin 12 4 sincos 2 Ab c R bc AA ∴ + − = × 2 2 22 2 cosb c R bc A+ − = 2 2 22 cos 2b c bc A R∴ + − = 2 22a R= ( )2 22 sin 2R A R= 2sin 2A = A 4A π∴ = 2 2 22 12b c bc+ − × = 2 2 2 1b c bc∴ + = + 2 2 2b c bc+ ≥ b c= 2 2 2bc +∴ ≤ ( )1 2 1sin 2 12 4 4S bc A bc∴ = = ≤ + S∴ ( )1 2 14 + ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > C x C 2 C 2 2 C F l C A B AB y 10, 3      l 2 2 12 x y+ = 1y x= − 1 1 2 2y x= − C x C 22b a C 2 2（2）依题意，得直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，与椭圆联立利用韦达定理可得线段 的中点为 ，可得线段 的垂直平分线的方程为 ，代 入 解得 或 ，由此得出直线 的方程. 【详解】（1）过 的焦点且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为 ， ，解得 ， . 椭圆 的标准方程为 . （2）依题意，得直线 的斜率存在且不为 0， ， 设直线 的方程为 ， ， ， 由 ，得 . 可得 ， ， ， 线段 的中点为 . 线段 垂直平分线的方程为 . 令 ，得 . 的 l l ( )1y k x= − AB 2 2 2 2 ,1 2 1 2 k k k k  − + +  AB 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k ky xk k k  + = − − + +  10, 3      1k = 1 2k = l C x C 22b a 2 2 2 2 2 2 2 2 b a c a a b c  =  ∴ =  = +   2a = 1b c= = ∴ C 2 2 12 x y+ = l ( )1,0F l ( )1y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 2 1 12 y k x x y  = − + = ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 28 8 0k∆ = + > 2 1 2 2 4 1 2 kx x k ∴ + = + 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k −= + ( )1 2 1 2 2 22 1 2 ky y k x x k + = + − = − + ∴ AB 2 2 2 2 ,1 2 1 2 k k k k  − + +  AB 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k ky xk k k  + = − − + +  0x = 21 2 ky k = +，解得 或 . 直线 的方程为 或 . 【点睛】本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于 a、b、c 的方程组求解 即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属 于中等题. 21.已知函数 的导函数为 . （1）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若函数 的极值为正数，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 对任意 恒成立，求出 代入分离参数，将问题转化为 ， 由二次函数的最值可得 a 的取值范围； （2）由函数 的极值为正数，则 有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对 a 进行分类 讨论，可得当 时，方程 有两个不等实根 ， 且异号，设 ， ，可得出 是函数 在 上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得 ，又 得实数 的取值范围. 【详解】（1） ， 对任意 恒成立，即 . . ，当 时有最小值-1， ， . 2 1 1 2 3 k k ∴ =+ 1k = 1 2k = ∴ l 1y x= − 1 1 2 2y x= − ( ) 2ln 2f x x ax x= + + ( )f x′ ( ) 2 1f x x ′ ≤ − 0x > a ( )f x a 1 4a −≤ 1 02 a− < < ( ) 2 1f x x ′ ≤ − 0x > ( )f x′ 2 min 1 24a x x  ≤ −   ( )f x ( )=0f x′ 0a < 24 1 0ax x+ + = 1x 2x 1 0x < 2 0x > 2x x= ( )f x ( )0, ∞+ 2 1>x 2 2 2 14 xa x += − a ( ) 1 4 1f x axx ′ = + + 1 24 1 1axx x ∴ + + ≤ − 0x > 2 1 24a x x ≤ − 2 min 1 24a x x  ∴ ≤ −   2 2 1 2 1 1 1x x x  − = − −   1x = 4 1a∴ ≤ − 1 4a∴ ≤ −（2） . ①当 时， ， 在 上递增， 此时 无极值； ②当 时，设方程 ， . 方程 有两个不等实根 ， ， ， ， 一正一负， 设 ， ，结合函数 的图象可知， 当 时， ；当 时， ， 在 上递增，在 上递减， 是函数 在 上的唯一极值点且是极大值 点. . 令 ，易知 在 上递增，又 ， 时， ， . ， . . 【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值 范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数分离，转化为求区间上函数 的最值问题即可解决，已知极值范围求参数取值范围通过求导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利 用分类讨论及转化思想进行求解，是难题. 选修 4-4：坐标系与参数方程 ( ) ( )21 4 14 1 0ax xf x ax xx x + +′ = + + = > 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x 0a < 24 1 0ax x+ + = 1 16 0a∆ = − > 24 1 0ax x+ + = 1x 2x 1 2 1 04x x a = 24 1y ax x= + + ( )20,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x∴ ( )20, x ( )2 ,x +∞ 2x x= ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 0, 4 1 0, f x ax x x ax x  = + + >∴ + + = 2 2 1 1ln 02 2x x∴ + − > ( ) 1 1ln 2 2h x x x= + − ( )h x ( )0, ∞+ ( )1 0h = ( ) 0h x∴ > 1x > 2 1x∴ > 2 2 24 1 0ax x+ + = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 14 2,02 4 xa x x  +∴ = − = − + + ∈ −    1 02 a− < λ 3 3 0x y− − = ( )2 22 4x y− + = 7 13 6 λ += t 4cosρ θ= A B 1t 2t ( )1,0P l C 2 1 t t λ = − l C 11 2 3 2 x t y t  = +  = t 3 3 0x y− − = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4x y x+ = C ( )2 22 4x y− + = A B 1t 2t ( )1,0P l C 2 1 t t λ∴ = − l C 2 3 0t t− − = 1 2 1t t∴ + = 1 2 3t t = −， ， 得 ， . ， . 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化 化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为 ，已知 ， 且 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将函数去绝对值，得 ，然后分段求解. （2）先求分段函数的最小值， .将 ，转化为 ，再利用基本不等式 有 求解. 【详解】（1） ， 当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ，得 . 综上所述，原不等式的解集为 . . ( )2 1 2 1 2 1 3 t t t t +∴ = − 2 1 1 2 7 3 t t t t ∴ + = − 2 1 7 13 6 t t − ±= 2 1 7 13 6 t t λ ±∴ = − = 1λ > 7 13 6 λ +∴ = ( ) 2 1 2f x x x= + + − ( ) 6f x ≤ ( )f x m 0a > 0b > 2ab a b m+ − = + +a b { }2 2x x− ≤ ≤ 4 ( ) 3 , 1 2 1 2 4, 1 2 3 , 2 x x f x x x x x x x − ≤ − = + + − = + − < ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 1 4a b a b a b+ = − + + ≥ − + = 1 1a b− = + ( )( )1 1 4a b− + = 3a = 1b = 3a∴ = 1b = +a b