北京市东城区 2019-2020学年高三数学第二学期线上检测(一)试卷 （无答案）

东城区 2019-2020 学年第二学期线上检测(一) 数学 2020.4 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合퐴 = {푥|푥(푥 ― 1) ≤ 0}，集合퐵 = {푥| ― 1 < 푥 < 1}，则 A ∪ B= （A）{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 1} （B）{푥| ― 1 < 푥 ≤ 0}（C）{푥| ― 1 < 푥 ≤ 1} （D）{푥|0 < 푥 < 1} （2）已知复数푧 = 1 ― 푖 2푖 （其中 i 是虚数单位），则|푧| = （A） 2 2 （B） 2 （C） 1 （D）2 （3）抛物线 x2 =4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为 （A） (0, ― 1 2) （B）(0,-1) （C） (0,-2) （D）(0,-4) （4）设函数푓(푥) = 푥 + 1 푥 ―2(푥 < 0)，则 f (x) （A） 有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 （5）已知曲线 C 的方程为푥2 푎 ― 푦2 푏 = 1，则“a>b”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）一排 6 个座位坐了 2 个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （A）12 （B）36 （C）72 （D）720 （7）已知圆 C 与直线 y=-x 及 x+y-4 = 0 的相切，圆心在直线 y = x 上，则圆 C 的方程为 （A）(x-1)2 +(y-1)2 = 2 （B）(x-1)2 +(y+1)2 = 2 （C）(x+1)2 +(y-1)2 = 4 （D）(x+1)2 +(y+1)2 = 4 （8）已知正项等比数列{푎푛}中，a1a5a9 = 27 ，a6 与 a7 的等差中项为 9，则 a10= （A）729 （B） 332 （C） 181 （D） 96 （9）春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可 以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了 （A）10 天 （B）15 天 （C）19 天 （D）2 天 （10） 某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8,10,14 ，若这三天中至少有一天开车上班 的职工人数是 20 ，则这三天都开车上班的职工人数至多是 （A）8 （B）7 （C） 6 （D）5 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。 （11） 设向量 a,b 不平行，向量휆a+b 与 a+2b 平行，则实数휆= ． （12） 已知角 ɑ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 ɑ 的终边按逆时针方向旋转휋 6 后经过点 (-1, 3) ，则 sinɑ= . （13） 某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____． 俯视图 （14） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),(2,1 2),(2,1),(4,2)中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是 ______． （15） 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整 后 y 与 x 的函数图象． 给出下列四种说法： ① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 侧(左)视图正(主)视图 2 2 1 ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是 . 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 如图 1，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，AB=AC=2 5，BC=4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ⊥ 平面 BCED，如下图． （Ⅰ）求证：A1O ⊥ BD； （Ⅱ）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值； （17） （本小题 14 分） 在①b2 + 2ac = a2 +c2,②acosB=bsin A,③sin B+ cos B= 2 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题 中,并解决该问题. 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b, c ______________, A =휋 3,b = 2 ,求△ABC 的面积. （18） （本小题 14 分） 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随 机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 t 体 元；乙公司规定每天 件以内 （含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元. （Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （Ⅱ）为了解乙公司员工 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 （单位： 元），求 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. （19） （本小题 15 分） 已知函数 f (x) = ln x ― 푎 푥 ―1. （Ⅰ）若曲线 y =f (x) 存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）设函数 g(x)= 푥 + 푎 푙푛푥 ，求证：当-1< a < 0 时， g(x) 在(1,+∞)上存在极小值. （20） （本小题 14 分） 已知椭圆 퐶:푥2 +3푦2 = 6的右焦点为 F． （Ⅰ）求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）直线퐼:푦 = 푘푥 + 푚(푘 ≠ 0)过点 ，且与椭圆 交于 P ，Q 两点，如果点 P 关于 轴的对称点为 ，判断 直线푃′푄是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由． (21) （本小题 14 分） 各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件： ①a1 =m (m ∈ N*) ；②an⩽ n-1 (n ≥ 2) ；③n 是 a1+a2 +‥+an 的因数（n ≥1）． （Ⅰ）当 m=5 时，写出数列{an}的前五项； （Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且 n≥3 时，an 为常数，求 m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M ，使得 n≥M 时，an 为常数．