2019 学年第二学期高三 3 月检测
数学
参考公式：
若事件 ， 互斥，则
若事件 ， 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
台体的体积公式
其中 ， 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 为全集， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再求 .
( ) ( ) ( )P AB P A P B= A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
A B
A p n A k
( ) ( ) ( )1 0,1,2, ,n kk k
n nP k C p p k n−= − =
( )1 1 2 2
1
3V S S S S h= + +
1S 2S h
V Sh=
S h
1
3V Sh=
S h
24S Rπ=
34
3V Rπ=
R
{ }1,0,1,2A = − { }2| 2 0,B x x x x Z= − − < ∈ AB =
{ }1,0,1− { }1,0− { }1,2− { }0,1,2
{ }0,1B = AB【详解】由
又全集为 ，所以
故选：C
【点睛】本题考查解二次不等式和求集合的补集，属于基础题.
2.已知双曲线 的离心率 ，其中一个焦点的坐标为 ，则该双曲线 的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一个焦点为 可得到 ，再由离心率 ，可得到 的值，然后根据 可求出双曲
线的方程.
【详解】双曲线 的一个焦点的坐标为 则其焦点在 轴上，且 .
又离心率 ，则 .
由 ，所以
所以双曲线的方程为：
故选：D
【点睛】本题考查根据离心率和焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.
3.某正三棱锥的三视图（单位： ）如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
{ } { } { }2| 2 0, | 1 2, 0,1B x x x x Z x x x Z= − − < ∈ = − < < ∈ =
{ }1,0,1,2A = − { }1,2AB = −
C 2e = ( )0,2 C
2
2 13
yx − =
2
2 15
yx − =
2
2 15
xy − =
2
2 13
xy − =
( )0,2 2c = 2e = a 2 2 2c a b= +
C ( )0,2 y 2c =
1 2ce a a
= = = 1a =
2 2 2c a b= + 2 2 2 3b c a= − =
2
2 13
xy − =
cmA. B.
C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知该三棱锥的底面边长为 3，高为 4，则其体积可求.
【详解】由正三棱锥的三视图可知：
该正三棱锥的底面边长为 3，高为 4.
所以该三棱锥的体积为：
故选：A
【点睛】本题考查利用三视图求原三棱锥的体积,属于基础题.
4.若 是定义在 上的函数，则“ 是奇函数”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
当 是奇函数时，设 ，可得 不成立，反之取 ，可得
，令 ，可得 ，即得到答案.
【详解】当 是奇函数时，设
3 3 9 3
6 3
21 1 1 3S 3 4 3 33 3 2 2V h= = × × × × =
( )f x R ( )f x ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
( )f x ( ) sinf x x= ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + 0x y= =
( )0 0f = y x= − ( ) ( )f x f x= − −
( )f x ( ) sinf x x=若取 ，则 ，
，显然此时 .
所以当 是奇函数不能得到 成立.
若 成立时，取 ，可得
即得到 .
令 ，则有 ，即
所以此时 是奇函数.
所以“ 是奇函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和函数奇偶性的判断以及应用，属于基础题题.
5.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 ，然后由诱导公式和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得
到答案.
【详解】由 可得 ，则
A. ，所以不正确.
B. ,所以不正确.
, 2x y
ππ= = ( ) 12
πf x y f π + = + = −
( ) ( ) ( ) =12
πf x f y f π f + = +
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ ≠ +
( )f x ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + 0x y= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f= +
( )0 0f =
y x= − ( ) ( ) ( )0 0f f x f x= + − = ( ) ( )f x f x= − −
( )f x
( )f x ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
( ) 1cos 2
π α− = −
( ) 3sin 2
α− = 3sin 2 2
π α + = −
( ) 1cos 2
π α+ = ( ) 1cos 2
α π− = −
( ) 1cos 2
π α− = − 1cos 2
α =
( ) 1cos 2
π α− = − 1cos 2
α = 3sin 2
α = ±
( ) 3sin sin 2
α α− = − = ±
1sin cos2 2
π α α + = = C. ,所以不做正确.
D. ,所以正确.
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.
6.已知实数 ， 满足 ，则关于目标函数 的描述正确的是（ ）
A. 最小值为-2 B. 最大值为 3
C. 最大值为 2 D. 无最大值也无最小值
【答案】A
【解析】
分析】
先根据条件作出可行域，然后由目标函数的几何意义分析其最值情况.
【详解】由实数 ， 满足 作出可行域，如图.
标函数 可以化为 .
则 表示直线 在 轴上的截距的相反数.
由图可知，当直线 过点 时，直线 在 轴上的截距最大，无最小值.
所以 有最小值 ，无最大值.
故选：A
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于中档题.
【
( ) 1cos cos 2
π α α+ = − = −
( ) 1cos cos 2
α π α− = − = −
x y
2 2 0
1 0
2 2 0
x y
x y
x y
+ − ≥
+ − ≥
− + ≥
3z x y= −
x y
2 2 0
1 0
2 2 0
x y
x y
x y
+ − ≥
+ − ≥
− + ≥
3z x y= − 3y x z= −
z 3y x z= − y
3y x z= − B 3y x z= − y
z 2−7.已知实数 ， 满足 且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将条件变形为 ，可求出答案.
【详解】由实数 ， 满足 且 .
两边同时除以 ，有： .
所以 ，即 或 .
故选：C
【点睛】本题考查不等式的性质和解二次型不等式，变形是关键，属于中档题.
8.已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有 2 只熊猫，1 只狗；乙盒中有 1 只熊
猫，2 只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲盒
中的熊猫只数为 ，乙盒中的熊猫只数为 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ， ，再分别求出 ， 的分布列，分别求出 ， 的期望和方差，从而得
到答案.
x y ( )( )2 1x y x y+ − = 0y ≠ x
y
( )1, 2,2
−∞ − ∪ +∞
( ) ( ), 2 1,−∞ − ∪ +∞
( ) ( ), 1 2,−∞ − +∞ ( )1, 2,2
−∞ +∞
2
11 2 0x x
y y y
+ − = >
x y ( )( )2 1x y x y+ − = 0y ≠
2y 2
11 2 0x x
y y y
+ − = >
1 2 0x x
y y
+ − >
2x
y
> 1x
y
< −
1
ξ 2
ξ
( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ= ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ=
( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ> ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ<
1 0,1ξ = 2 0,1ξ = 1
ξ 2
ξ 1
ξ 2
ξ【详解】根据题意可得 ，
,
所以 的分布列为：
0 1
,
所以 的分布列为：
0 1
则 ,
所以 ，
故选：B
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差，属于中档题.
9.已知无穷项数列 ，满足 ，且 ，下列关于数列 描述正确 是（ ）
A. 当且仅当 时，数列 单调递增 B. 存在 ，使得数列 为单调数列
C. 当 时，存在 ，使得 D. 当 时，数列 一定存在无限多项的值大于
的
1 0,1ξ = 2 0,1ξ =
( )1
2 1 10 3 2 3P ξ ×= = =× ( )1
2 1 21 23 2 3P ξ ×= = × =×
1
ξ
1
ξ
P
1
3
2
3
( )2
2 1 20 23 2 3P ξ ×= = × =× ( )2
2 1 11 3 2 3P ξ ×= = =×
2
ξ
2
ξ
P
2
3
1
3
( )1
1 2 20 13 3 3E ξ = × + × = ( )2
2 1 10 13 3 3E ξ = × + × =
( ) 2 2
1
2 1 2 2 20 13 3 3 3 9D ξ = − × + − × =
( ) 2 2
1
1 2 1 1 20 13 3 3 3 9D ξ = − × + − × =
( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ=
{ }na 1 0a > 1 lnn n na a a+ = ⋅ { }na
1a e> { }na 1
1 ,a ee
∈
{ }na
1a e< 0n 0 0 1n na a +≤
1
1a e
> { }na
1
e【答案】C
【解析】
【分析】
设函数 ，分析出函数 的单调区间，作出函数 的图像，根据函数的性质结合数列
的递推关系 ，对选项进行逐一分析，可得答案.
【详解】设函数 ，由 ，
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
且当 时， ，则可以作出 ，如图.
且 ，
为无穷项数列，则 .
选项 A. 当 时，由函数图像有 ，
，所以此时数列 单调递增，所以 A 不正确.
选项 B. (1)当 时，由函数图像可得 ，且 ，
由 ，根据上面对选项 A 的分析可知，数列从第 2 项起单调递增.
(2)当 时，由函数图像可得 ，且 ，
( ) lnf x x x= ( )f x ( )f x
1 lnn n na a a+ = ⋅
( ) lnf x x x= ( )ln 1 lnx x x′⋅ = +
lny x x= 10, e
1,e
+∞
1x e
= 1= −y e
( ) lnf x x x=
( ) ( )1 1 , 1 0,f f f e ee e
= = =
{ }na 1 1a ≠
1
10,a e
∈ 2
10,a e
∈ 3
10, , ,a e
∈
10,na e
∈
1 ln 1n
n
n
a aa
+ = > { }na
( )1 01a x∈ ， 2 1 1
1ln 0,a a a e
= ∈ 1 2a a>
2
10,a e
∈
( )1 0 1a x x∈ ， 2 1 1
1ln 1a a a e
= ∈ ， 1 2a a>，且 ，根据上面对选项 A 的分析可知，数列从第 3 项起单调递增.
（3）当 时，由函数图像可得 .
如图，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，过点 轴的垂线交 于点
，
过点 作 轴 平行线交直线 于点 ，过点 轴的垂线交 于点
，
依此作下去，可得在开始阶段数列 是递减的，如图，其值一定会递减至 中.
若 是第一个满足 ，可得 ，
由前面的证明可得，从数列 从第 项开始是递增的.
所以 时，数列 不是单调的,所以 B 不正确.
选项 C.当 时,由选项 A 的推导，可知数列 单调递增，显然满足条件.
当 时,由选项 B 的推导，可知数列 第 项开始是递增的, 显然满足条件. 所以 C 正确
.
选项 D. 由对选项 B 的判断过程可知，当 时，数列 先减后增，只有前面有限多项的值大于
，递增部分的无限多项的值都小于 ，所以 D 错误.
的
3 2 2
1ln 0a a a e
= ∈ ， 2 3a a>
( )1 1a x e∈ ， ( )2 1 1ln 1a a a e= ∈ ，
( )1 2,a a x y x= ( )2 2,a a ( )2 2,a a x ( )y f x=
( )2 3,a a
( )2 3,a a x y x= ( )3 3,a a ( )3 3,a a x ( )y f x= ( )3 4,a a
{ }na 10, e
ma 10 ma e
< < 1 2 ma a a> > >
{ }na ( )2m m ≥
1
1 ,a ee
∈
{ }na
1
10,a e
∈
{ }na
1
1 ,a ee
∈
{ }na ( )2m m ≥
1
1 ,a ee
∈
{ }na 1
e
1
e故选：C
【点睛】本题考查利用函数的性质来探究递推数列的性质，属于难题.
10.如图，在长方形 中， ，现将 沿 折至 ，使得二面角 为锐
角，设直线 与直线 所成角的大小为 ，直线 与平面 所成角的大小为 ，二面角
的大小为 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
先 证 明 最 小 角 定 理 ， 再 过 点 作 平 面 ,过 点 作 平 面 ,连 接 ,过 作
,连接 ，可得 ， ，由等体积法可得 ，进而可得
的大小，在平面 内， ,所以 .所以 等于直线 与 所成
的角 也为直线 与平面 所成的角，根据上面已证的最小角定理有 ，从而得到
答案.
【详解】解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜
线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于
直线与平面内其他直线的夹角．
证明如下：
直线 与平面 斜交，斜足为 ， 平面 ， ，
由 平面 ， ，可证明 平面 ，则 ．
则 ， ， ，
所以 ，
ABCD AD CD< ACD∆ AC 'ACD∆ 'A CD B− −
'AD BC α 'BD ABC β
'A CD B− − γ α β γ
α β γ> > α γ β> >
γ α β> >
D¢ D O′ ⊥ ABC B BO′ ⊥ ACD′ OB O′
O H CD′ ′⊥ BH BHO γ′∠ = D BO β′∠ = BO D O′ ′= β γ，
AD C′ ,AD D C O H D C′ ′ ′ ′⊥ ⊥ / /AD O H′ ′ α O H′ BC
BHO′∠ O H′ BCD′ BHO α′∠ <
AB α B AO ⊥ α BC OC⊥
AO ⊥ α BC OC⊥ BC ⊥ AOC BC AC⊥
cos BOABO AB
∠ = cos BCABC AB
∠ = cos BCOBC BO
∠ =
cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB
∠ ⋅ ∠ = × =即 ，
故 ， ．
过点 作 平面 ,过点 作 平面 ,连接 .
过 作 ,连接 ，如图.
则 为直线 与平面 所成角，即
由 平面 ，则 ,又 ，且
所以 平面 ，则
所以 为二面角 的平面角，即
又 ,即 且 .
所以 .
由 ，由
所以 ，即 ，也即 .
又在平面 内， ,所以 .
所以 等于直线 与 所成的角
也为直线 与平面 所成的角.
根据上面已证的最小角定理有 .
所以
故选：B
cos cos cosABC ABO OBC∠ = ∠ ⋅ ∠
cos cosABC ABO∠ < ∠ ABC ABO∠ > ∠
D¢ D O′ ⊥ ABC B BO′ ⊥ ACD′ OB
O′ O H CD′ ′⊥ BH
D BO′∠ 'BD ABC D BO β′∠ =
BO′ ⊥ ACD′ BO CD′ ′⊥ O H CD′ ′⊥ BO O H O′ ′ ′∩ =
D C′ ⊥ BO H′ CD BH′ ⊥
BHO′∠ 'A CD B− − BHO γ′∠ =
D ABC B AD CV V′ ′− −= 1 1
3 3ABC AD CS OD S O B′′ ′× × = × ×△ △
1
2AD C ABCDS ABC S S′= = 矩形△△
BO D O′ ′=
sin ,BOBHO BH
′′∠ = sin D OD BO BD
′′∠ = ′ BH BD′<
sin BHO′∠ > sin D BO′∠ BHO′∠ > D BO′∠ γ β>
AD C′ ,AD D C O H D C′ ′ ′ ′⊥ ⊥ / /AD O H′ ′
α O H′ BC
BHO′∠ O H′ BCD′
BHO α′∠ <
α γ β> >【点睛】本题考查异面直线成角、线面角、二面角的大小的比较，考查翻折问题，属于难题.
非选择题部分
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
11.若复数 （ 为虚数单位），则 ______， ______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用复数的除法先求出 ，然后利用公式求模长.
【详解】由复数 ，则
所以
故答案为: (1). (2).
【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模长，属于基础题.
12.已知 ， ，则 的最大值为______；若 ，则 的值是______.
【答案】 (1). (2). ，
【解析】
【分析】
由向量数量积公式结合辅助角公式有 ，可求出 的最大值.由
可得 ，可求出 的值.
【详解】由 ， .
则 ，其中 .
当 时， 有最大值 ，则 的最大值为 .
若 ,则 ，即 ，所以 .
所以 .
故答案为：(1). (2). ，
【点睛】本题考查向量的数量积和辅助角公式以及根据向量平行求参数的值，属于基础题.
( )1 2z i+ = i z = z =
1 i− 2
z 1 i= −
( )1 2z i+ = ( )
( )( )
2 12 11 1 1
iz ii i i
× −= = = −+ + −
( )221 1 2z = + − =
1 i− 2
( )1,sina x= ( )2cos ,1b x= a b⋅ / /a b x
5 4x k
ππ= + k Z∈
( )2cos sin 5 sina b x x x ϕ⋅ = + = + a b⋅ / /a b
1 2sin cos 0x x− = x
( )1,sina x= ( )2cos ,1b x=
( )2cos sin 5 sina b x x x ϕ⋅ = + = + tan 2ϕ =
( )sin x ϕ+ ( )5 sin x ϕ+ 5 a b⋅ 5
/ /a b 1 2sin cos 0x x− = sin 2 1x = 2 2 ,2x k k Z
ππ= + ∈
,4x k k Z
ππ= + ∈
5 4x k
ππ= + k Z∈13.已知等差数列 的前 项和为 ，若满足 ，且 ， 是方程 的两根，
则 的取值范围是______；当 ______时 最大.
【答案】 (1). (2). 4
【解析】
【分析】
由条件可得 ，即 进一步可得 ，将 化为 的表达
式，从而求出其范围.又由条件可得 ， ，且数列 的公差 ，所以可得当 时，
的值最大
【详解】 ， 是方程 的两根，所以 .
又 ， ，所以数列 的公差 .
即 ,则两边同时除以 ，得
所以 .
所以 ，则 .
所以 ，所以
又 ， ，所以数列 的公差 .
所以数列 单调递减，且 ，
即 为正，从第 5 项起为负，所以当 时， 的值最大.
{ }na n nS 1 0a > 4a 5a ( )2 1 0x mx m R+ − = ∈
5
4
S
S n = nS
5 ,16
4 5 1a a⋅ = − 1 1
2
13 4 0a a
d d d
+ ⋅ + = − 5 0a < { }na 0d < 4n = nS
4a 5a ( )2 1 0x mx m R+ − = ∈ 4 5 1a a⋅ = −
1 0a > 4 5 1a a⋅ = − { }na 0d <
( ) ( )1 13 4 1a d a d+ ⋅ + = − 2d 1 1
2
13 4 0a a
d d d
+ ⋅ + = − 5 0a <
1 2 3 4, , ,a a a a 4n = nS故答案为：(1). (2). 4
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式的应用和不等式的性质的应用以及前 项的最值，属
于中档题.
14.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ，
则 ______，角 的最大值是______.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
由条件有 ，利用正弦定理可得 ，即
，然后利用余弦定理结合均值不等式求出 的最小值，从而得到答案.
【详解】由 得 .
由正弦定理可得: ,即
所以 .
当且仅当 时，取等号
.
又 ,所以角 的最大值是 .
故答案为：(1). 2 (2).
【点睛】本题考查正弦定理进行边角互化和利用余弦定理求解三角形中的角的最值，属于中档题.
15.现有材质、大小完全相同的红、黄、绿颜色的小球各两个，将这 6 个小球按“1，1，1，3”数额分组后分
别放入四个不同的盒子中，则有______种不同搭配方案.（用数字作答）
【答案】96
【解析】
【分析】
分有 3 个球的一组中，球的颜色互不相同和有 3 个球的一组中，球的颜色有 2 个相同的情况分类处理，先
分组在分别放入四个不同的盒子中，可得到答案.
5 ,16
n n
ABC∆ A B C a b c sin sin sin sin cos2 1A B B C B+ + =
a c
b
+ = B
3
π
2sin sin sin sin 1 cos2 2sinA B B C B B+ = − = 22ab bc b+ = 2a c
b
+ =
cos B
sin sin sin sin cos2 1A B B C B+ + = 2sin sin sin sin 1 cos2 2sinA B B C B B+ = − =
22ab bc b+ = 2a c b+ =
2a c
b
+ =
2
2 2
2 2 2 2 23 3 2 6 2 12cos 2 2 2 2 2
a ca ca c b a c ac ac acB ac ac ac ac
+ + − + − + − − = = = ≥ = a c=
( )0,B π∈ B 3
π
3
π【详解】（1）若有 3 个球的一组中，球的颜色互不相同，
则将这 6 个小球按“1，1，1，3”数额分组有 1 种分组方法，
再分别放入四个不同的盒子中有 种不同搭配方案.
(2) 若有 3 个球的一组中，球的颜色有 2 个相同，则有 种选法.
则将这 6 个小球按“1，1，1，3”数额分组有 1 种分组方法，
再分别放入四个不同的盒子中有,共有 种不同搭配方案.
所以共有 种不同搭配方案.
故答案为：96
【点睛】本题考查分组分配问题，注意相同颜色的球看成是相同的元素，属于中档题.
16.已知函数 的最小值是与 无关的常数，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，然后进行讨论打开绝对值 ，利用单调性分别求
出函数的最小值，结合条件得出答案.
【详解】设
（1）若 ，则函数化为 在 上单调递增，无最小值.
(2) 若 则函数化
当 时， 在 上单调递减，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
若 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时，函数有最小值
为
4
4 24A =
3 2
1 1C C
4
1 1 4
3 2 722
AC C× × =
24+72=96
( ) x
xx te ef t= − + t t
1t ≥
0xe m= >
( )
( )0
tm t m tt my m t tm m t m tm
+ − ≥= − + =
− + <
0t ≤ ty m tm
= + − ( )0,+m∈ ∞
0t >
( )
( )0
tm t m tt my m t tm m t m tm
+ − ≥= − + =
− + < − + =
m t≥ ty m tm
= + − ( )0, t ( ),t +∞
t t> 0 1t< < ty m tm
= + − ( ),t t ( ),t +∞
m t= min 2 1y t t= − lnx x k− = 1x 2x
1 20 1x x< < < ( )f x ( )10 x， ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞
( ) ( )1 2,f x f x
( ) l' n ln1 xf x x x
x x
−= − =
( ) ( ) 1ln ' 1x xg x g x x
= − ⇒ = − ( )g x ( ]0,1 ( )1,+∞
( ) ( ) ( )min 1 1 0 ' 0g x g f x= = > ⇒ > ( )f x ( )0, ∞+
( ) n' l ln1 x kx x xf x x k
x
− −= − − = 1k > lnx x k− = 1x 2x
1 20 1x x< < < ( )f x ( )10 x， ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞
1x ( )f x 2x ( )f x
( )2 2 21 1 02 2
k kf e e e− − −= − < − < ( ) ( )1
11 2f x f> =
( )f x ( )10, x
( ) 2 2 2 2 21 1
2 2
nk nk nkf e e n k nk e n k= − − − > − n
( ) 2xh x e x= − ( ) 2xh x e x′ = − ( ) 2xh x e′′ = −
1x > ( ) 0h x′′ > ( ) 2xh x e x′ = − ( )1 +¥， ( ) ( )1 2 0h x h e′ ′≥ = − >
( ) 2xh x e x= − ( )1 +¥， ( ) ( )1 1 0h x h e≥ = − >
( ) 0nkf e > n
( )2f x
( ) 2
2 2 2 2
1 1ln ln2 2f x x x k x= − − − ( )2
2 2 2 2 2
1 1ln ln ln2 2x x x x x= − − − −
2
2 2 2 2
1 1ln ln2 2x x x x= − + −
( ) 21 1ln ln2 2F x x x x x= − + − ( ) ( )1 lnln' 1 1 ln 0x xxF x xx x
−⇒ = + − − = ≤ ( ) 0f e =①当 时， 在 递增，得 ，此时 ，则函数
在 上只有一个零点.
②当 时，显然 ，函数 在 上有两个零点.
③当 时， 在 递增，得 ，此时 ，则函数
在 上有三个零点.
综上， ，函数 在 上有一个零点；
时，函数 在 上有两个零点；
，函数 在 上有三个零点.
【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性和讨论函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想，属于难
题.
21 x e< < 2 2lnk x x= − ( )1,e ( )1, 1k e∈ − ( ) ( )2 2 0f x F x= > ( )f x
( )0, ∞+
2x e= 1k e= − ( )f x ( )0, ∞+
2x e> 2 2lnk x x= − ( ),e +∞ ( )1,k e∈ − +∞ ( ) ( )2 2 0f x F x= < ( )f x
( )0, ∞+
( )1, 1k e∈ − ( )f x ( )0, ∞+
1k e= − ( )f x ( )0, ∞+
( )1,k e∈ − +∞ ( )f x ( )0, ∞+
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