浙江省宁波市十校2019-2020学年高三下学期3月联考数学试题（解析版）

浙江省宁波市十校 2020 届高三 3 月联考 数学试题 参考公式： 如果事件 ， 互斥，那么 如果事件 ， 相互独立，那么 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概 率 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的 高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据交集的定义计算 即可得到答案. 【详解】因为 ， ， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题. A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅ A p n A k ( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k n np k C p p k n−= − =  1 1 2 2 1 ( )3V h S S S S= + + 1 2S S， h V sh= S h 1 3V Sh= S h 24S Rπ= 34 3V Rπ= R { | 1 1}P x x= − < < { | 0 2}Q x x= < < P Q = ( 1,2)− (0,1) ( 1,0)− (1,2) P Q { | 1 1}P x x= − < < { | 0 2}Q x x= < < { | 0 1}P Q x x= < < < 0, 1 0.4a b> − < ≤ 0, 1 0a b< − < < 0,0 1a b< < ≤ 0 1b< ≤ 0a < ( ) ( )2 2 x b af x − = ( ) ( ) 2 2 x af x b f b x+ = − = x b= 0 1b< ≤ ( )2x bu a −= ( ) 2uf u = ( ) 2uf u = ( )2x bu a −= 0a 2 0x x a+ + = 2 0x x a+ + = 1 4 0a∆ = − ≥ 1 4a ≤ p q⇒ p q q p⇒ p q 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1BD PC AB α PC ABC β PBC A− γ β γ α< < α β γ< < γ β α< < γ α β< < P 1AC ,AC BD O BC K , , , ,PO PK PC PD KO , ,PCD PKO PCOα γ β= ∠ = ∠ = ∠ tan ,tan ,tanα β γ P 1AC ,AC BD O BC K连接 ，则 面 .设正方体的边长为 . 由题意知 . ， ，则 ； 则 ； .因为 ，所以 . 故选:A. 【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路， 一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解. 8.已知随机变量的分布列如下 ： 则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 0 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】 由所有概率之和为 1 求出 ,进而可求 ， ，结合 ，可求最值. , , , ,PO PK PC PD KO PO ⊥ ABCD 2a , ,PCD PKO PCOα γ β= ∠ = ∠ = ∠ KO PO a= = 2CO a= 3PC CD a= = tan 1a a γ = = 2 2 23 4 3 3cos 32 3 2 a a a a a α + −= = ⋅ ⋅ tan 2α = 2tan 22 PO a CO a β = = = tan tan tanβ γ α< < β γ α< < 10 2a < <     ξ 0 1 2 P b a− b a ( )E ξ 1 2 ( )E ξ 3 2 ( )D ξ ( )D ξ 1 2 1 2b = ( ) 12 2E aξ = + ( ) 21 14 4 2D aξ  − − +   = 10 2a< ( )21 0na − > 1 0n na a+ − > { }na 2 1 1n n na a a+ = − + ( )2 1 1 1n n n n na a a a a+∴ − = − = − ( )1 1 1 1 1 1 1 1n n n n na a a a a+ ∴ = = −− − − 1 1 1 1 1 1n n na a a + = −− − 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ...1 1 1 1 1 1 1 1n n n na a a a a a a a a a a+ + + + + = − + − + + − = −− − − − − − − − 1 11 1na + = − − { }na 1 1 01na + >− 1 11 11na + − < 0 3 3,0 0,6 6y    ∈ − ∪       ( )( ): 1 0l y k x k= + ≠ ( )1,0− 'F ' 2 4, ' 2 4AF AF a BF BF a+ = = + = = ABF∆ ' ' 4 4 8AB AF BF AF AF BF BF+ + = + + + = + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ABF 0y 1 2 1 2 0 0 3 3 y y y yy + + += = ( ) 2 2 14 3 1 x y y k x  + =  = + 2 2 3 64 9 0y yk k  + − − =   2 2 2 36 3 136 4 144 1 0k k k    ∆ = + + = + >       1 2 2 2 6 6 3 4 34 kky y k k + = = ++ 1 2 0 2 2 2 33 4 3 4 y y ky k k k += = =+ + 0k > 34 2 4 3 4 3k k + ≥ × = 34k k = 3 2k = 0 2 3 64 3 y ≤ = k 0< ( )3 3 34 4 2 4 4 3k k kk k k    + = − − − ≤ − − ⋅ − = −       34k k − = − 3 2k = − 0 2 3 64 3 y ≥ − = −综上所述： .所以 的重心纵坐标的最大值是 . 故答案为: ; . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形 问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未 对 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等. 15. 的值域为___________；若函数 的两个不同零点 ，满足 ，则实数 的取值范围是___________ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意， 的零点必然在 和 上或者 和 上，分类讨论结合已知即可求出. 【详解】解： ，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为 . 由 得 ，显然，零点必然在 和 上或 和 上， 令 ，解得 ，又 ，则 ， 由 ，可得 ；令 ，解得 ， 又 ，则 ，同时 ，得 . 0 3 3,0 0,6 6y    ∈ − ∪       ABF 3 6 8 3 6 k ( ) 1 2 1f x x x= − − + ( ) ( )g x f x a= − 1 2,x x 1 22 10x x≤ − ≤ a ( ],2−∞ 15, 2  −   ( )f x a= ( ], 1−∞ − [ ]1,1− ( ], 1−∞ − [ )1,+∞ ( ) 3, 1 3 1, 1 1 3, 1 x x f x x x x x + ≤ − = − − − < B x P AB C C AP x Q //AQ BP BP CQ x 1S BOC 2S λ 1 2S Sλ= λ 1 2 λ = ( )2 0 02 ,2B pt pt ( )2 1 12 ,2C p pt BC ( )0,A a BC 0 1 2 at t p = 2 2x Py= B ( )0 ,0P pt CQ ( )1,0Q pt 0 1 2AQ BP ak t kpt = − = = ,BP CQ T 1 PQTS S∆= AQTP 1 2 λ =得 . 【详解】解：（1）证明：设 ， ，则直线 的方程为 由 在 可知， ，又 在 处的切线的方程为 ， 令 可得 即 ∴ .直线 的方程为 ，令 可得 即 ∴ 即 （2）设 和 相交于点 则 ，由（1）可知，四边形 为平行四边形 ∴ ， ∵ ，∴ ，即存在 【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应 注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条 直线斜率都不存在. 22.已知函数 ，其中 为自然对数的底. （1）试求函数 的单调区； （2）若函数 的定义域为 ，且存在极小值 . ①求实数 的取值范围； ②证明： .（参考数据： ） 【答案】（1）函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减（2）① ②证明见 解析 【解析】 【分析】 （1）求出导数为 ，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究 随 的变化情况，即可求出单调区间. （2）①由定义域为 可知 恒成立，所以 ，可求出 ，求出 1 2S Sλ= ( )2 0 02 ,2B pt pt ( )2 1 12 ,2C p pt BC ( )0 1 0 12y t t x pt t= + − ( )0,A a BC 0 1 2 at t p = 2 2x Py= B 2 0 02 2y t x pt= − 0y = 0px Pt= ( )0 ,0P pt 0 AP ak pt = − CQ ( ) ( )2 1 1 1 1 0 2 2 2 2ay pt x pt t x ptpt − = − − = − 0y = 1Qx pt= ( )1,0Q pt 0 1 2AQ BP ak t kpt = − = = AQ BP∥ BP CQ T 1 PQTS S= △ AQTP 1 1 0 1 1 2 2PQT AQP Q PS S S OA x x ap t t= = = − = −   2 1 0 1 1 22 2OBC B CS S OA x x a p t t= = − = ⋅ −  1 2 1 2 =S S 1 2 λ = ( ) ( ) 211 2 xf x x e x−= + − 2.71828e ≈ ( )f x ( ) 2 1 2 xeg x x x a += + + R b a 1 3 2 5b e< < 1.64 1.65e< < ( )f x ( ,0]−∞ (0, )+∞ ( )1,4a∈ ( ) ( 1)x xf x xe x x e− −′ = − − = − + '( ), ( )f x f x x R 2 2 0x x a+ + ≠ 4 4 0a= − ，令 得 ，结合第一问的单调性可知 ，即 .②由 及 可知存在 ，使 ，则极小值 .结合导数可证明 在 上递增，从而可求 . 【详解】（1）求导得 ，由 ，解得 . 当 时， ；当 时， .又因为函数 的定义域为 ， 故函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. （2）①因为函数 的定义域为 ，则 恒成立 故 ，即 又 则 等价于 ， 由（1）知 在 上递增，在 上递减， 故函数 存在极小值，必有 ，即 . ②又 ， ，故对任意 ， 存在 ，使 ，即 ， 因此， 在 上递增，在 上递减， 所以，极小值 . 记函数 ， ，则 ，即 在 上递增， 故 ，即 ，所以， . 【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不 等式恒成立问题. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 2 xx a e x g x x x a + − − +′ = + + ( ) 0g x′ = ( )2 2a f x− = ( )2 2 0 2a f− < = 1 4a< < ( )2 1 1 2f a− = − < − 3 3 5 92 22 1.64 4f a  < − < −   ( )1 2 31,0 0, 2x x∈ − ∈    ， ( ) 0g x′ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 x x xe e eb g x x x a x x f x x + += = = =+ + + + + ( ) ( )2 1 xeh x x = + 30 2x< < 1 3 2 5 5 eb e e< < < ( ) ( 1)x xf x xe x x e− −′ = − − = − + ( ) 0f x′ = 0x = 0x < ( ) 0f x′ ≥ 0x > ( ) 0f x′ < ( )f x R ( )f x ( ,0]−∞ (0, )+∞ ( )g x R 2 2 0x x a+ + ≠ 4 4 0a= − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 x x xx x a x e x a e x g x x x a x x a e + + − + + + − − + ′ = = + + + + ( ) 0g x′ = ( ) ( )22 2 1 2xa x e x f x−− = + − = ( )2y f x= ( ,0]−∞ (0, )+∞ ( )g x ( )2 2 0 2a f− < = 1 4a< < ( )2 1 1 2f a− = − < − 3 3 5 9 5 92 22 4 1.64 4f a e e   = − < − < −   ( )1,4a∈ ( )1 2 31,0 0, 2x x∈ − ∈    ， ( ) 0g x′ = ( )2 2 , 1,2ia f x i− = = ( )g x 1 2( , ),( , )x x−∞ +∞ ( )1 2,x x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 x x xe e eb g x x x a x x f x x + += = = =+ + + + + ( ) ( )2 1 xeh x x = + 30 2x< < ( ) ( )2 0 2 1 xxeh x x ′ = > + ( )h x 30, 2      ( ) ( ) 3 20h h x h< <     1 3 2 5 5 eb e e< < < 1 3 2 5b e<