高三数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共 9 题，每小题 5
分，共 45 分.
1.设集合 （ 为实数集）， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合交集与补集运算,即可求得 .
【详解】集合 , ,
所以
所以
故选:A
【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
2.下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.
【详解】因为函数 和 在 递增，而 在 递减.
故选：C
【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.
3.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【
U = R R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= ≥ UA C B =
{ }1| 0x x< < { }| 0 1x x< ≤ { }| 1x x ≥ { }| 0x x >
UA C B∩
U = R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= ≥
{ }1UC B x x= <
{ } { } { }0 1 0 1UA C B x x x x x x∩ = ∩ < = < <
(0, )+∞
1
2y x= 2xy = 1
2
logy = x 1y x
= −
1
2 , 2xy x y= = 1y x
= − (0, )+∞ 1
2
logy x= (0, )+∞
a lnπ= 1
2
log 5b = 1
2c e
−=
a b c> > b a c> > c b a> > a c b> >【解析】
【分析】
根据与中间值 0，1 的大小关系，即可得到本题答案.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题.
4.设 ，则“ “是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【详解】由 ，得 ，又由 ，得 ，
因为集合 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了 200 分到 450 分之间的 2000 名学生
的成绩，并根据这 2000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在 ， 内的学
生人数为（ ）
1
02
1 1
2 2
ln ln 1,log 5 log 1 0,0 1e e eπ −> = < = < < =
a c b> >
x∈R | 1| 2x − < 2x x<
| 1| 2x − < 1 3x- < < 2x x< 0 1x< <
{ | 0 1} { | 1 3}x x x x< < ⊂ − < <
| 1| 2x − < 2x x<
[250 350]A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1600
【答案】B
【解析】
【分析】
由图可列方程算得 a，然后求出成绩在 内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在
内的学生人数.
【详解】由频率和为 1，得 ，解得 ，
所以成绩在 内的频率 ，
所以成绩在 内的学生人数 .
故选：B
【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
6.已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于
，则 的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
[250,350]
[250,350]
(0.002 0.004 2 0.002) 50 1a+ + + × = 0.006a =
[250,350] (0.004 0.006) 50 0.5= + × =
[250,350] 2000 0.5 1000= × =
( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= − > ( )y f x= 2y =
π ( )f x
12x
π= −
12x
π=
3x
π= −
3x
π=由题，得 ，由 的图象与直线 的两个相邻交点
的距离等于 ，可得最小正周期 ，从而求得 ，得到函数的解析式，又因为当 时，
，由此即可得到本题答案.
【详解】由题，得 ，
因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 的最小正周期 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 是函数 的一条对称轴，
故选：D
【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
7.设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2
交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A. B.
C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
又 ， 为以 为直径的圆的半径，
为圆心 ．
( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x
πω ω ω = − = − ( )y f x= 2y =
π T π= ω
3x
π= 2 26x ππ− =
( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x
πω ω ω = − = −
( )y f x= 2y = π
( )y f x= T π= 2 2T
πω = =
( ) 2sin 2 6f x x
π = −
3x
π= 2 26x ππ− =
3x
π= ( ) 2sin 2 6f x x
π = −
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 3
5
PQ x A PQ x⊥
| |PQ OF c= = | | ,2
cPA PA∴ = ∴ OF
A∴ | | 2
cOA =，又 点在圆 上，
，即 ．
，故选 A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避
免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练
习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
8.已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，即 ，所以数列 是以
为首项，公比为 的等比数列，所以 ，即 ，所以数列 的通项公
式是 ，故选 D．
考点：数列的通项公式．
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则
（ ）
,2 2
c cP ∴ P 2 2 2x y a+ =
2 2
2
4 4
c c a∴ + =
2 2
2 2
2, 22
c ca e a
= ∴ = =
2e∴ =
{ }na 1 3a = 1 4 3n na a+ = + ( )*n N∈ { }na
2 12 1n− + 2 12 1n− − 22 1n + 22 1n −
1 4 3n na a+ = + ( )1 1 4 1n na a+ + = + 1 1 41
n
n
a
a
+ + =+ { }1na + 1 1 4a + =
4 1 21 4 4 4 2n n n
na −+ = × = = 22 1n
na = − { }na
22 1n
na = −
,a b∈R 3 2
, 0
( ) 1 1 ( 1) , 03 2
x x
f x x a x ax x
1, 0a b> − < 1, 0a b> − >
0x < ( ) (1 )y f x ax b x ax b a x b= − − = − − = − − 0x
3 2 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1)3 2 3 2y f x ax b x a x ax ax b x a x b= − − = − + + − − = − + −
0x < ( ) (1 ) 0y f x ax b x ax b a x b= − − = − − = − − =
1
bx a
= − ( )y f x ax b= − −
0x
3 2 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1)3 2 3 2y f x ax b x a x ax ax b x a x b= − − = − + + − − = − + −
2 ( 1)y x a x= +−′
1 0a + 1a − 0y′ ( )y f x ax b= − − [0 )+∞ ( )y f x ax b= − −
1 0a + > 1a > − 0y′ > [ 1x a∈ + )+∞ 0y′ < [0x∈ 1)a +
( )y f x ax b= − − ⇔ ( )y f x ax b= − − ( ,0)−∞ [0
)+∞
∴ 01
b
a
+ − + + − 310 ( 1 16 ,)b aa> > − + ∴ > −
C【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步
分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.
10.已知复数 ，其中 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则实数 的值是__．
【答案】2
【解析】
【分析】
由题，得 ，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.
【详解】由题，得 ，又复数 为纯虚数，
所以 ，解得 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
11.在 的展开式中， 的系数等于__．
【答案】7
【解析】
【分析】
由题，得 ，令 ，即可得到本题答案.
【详解】由题，得 ，
,a b
( 2 )(1 )z a i i= + + i z a
( 2 )(1 ) 2 ( 2)z a i i a a i= + + = − + +
( 2 )(1 ) 2 ( 2)z a i i a a i= + + = − + + z
2 0a − = 2a =
81( )
2
x
x
+ x
81 1
42 2
1 8 8
1 1
2 2
r r r
r r r
rT C x x C x
−
− −
+
= =
3r =
81 1
42 2
1 8 8
1 1
2 2
r r r
r r r
rT C x x C x
−
− −
+
= = 令 ，得 x 的系数 .
故答案为：7
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.
12.一个袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从中任意摸取 3 个小球，每个小球被取出的可能
性相等，则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】
由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3 里面选和②有两个数字 4，另
外一个数字从 1，2，3 里面选，由此即可得到本题答案.
【详解】满足题目要求的情况可以分成 2 大类：①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3 里面选，一共有
种情况；②有两个数字 4，另外一个数字从 1，2，3 里面选，一共有 种情况，又从中任意摸取 3
个小球，有 种情况，所以取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
13.曲线 在点 处的切线方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，从而切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.
14.已知 ， ， ，则 的最小值是__．
3r =
3
3
8
1 72C = =
3
10
1 2
2 6C C 2 1
2 6C C
3
10C
1 2 2 1
2 6 2 6
3
10
3
10
C C C CP C
+= =
3
10
2( 1) xy x e= + (0,1)
1 0x y− + =
2( 1) xy x e= + ( )2 2 1 xy x x e= + +′ 1k =
1 1( 0)y x− = − 1 0x y− + =
1 0x y− + =
0x > 0y > 3 5x y xy+ = 2x y+【答案】 ．
【解析】
【分析】
因为 ，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 ，
取等号.
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
15.已知向量 ， 满足 ， ，且已知向量 ， 的夹角为 ， ，则 的
最小值是__．
【答案】
【解析】
【分析】
求 的最小值可以转化为求以 AB 为直径的圆到点 O 的最小距离，由此即可得到本题答案.
【详解】
如图所示，设 ，
由题，得 ，
又 ，所以 ，则点 C 在以 AB 为直径的圆上，
取 AB 的中点为 M，则 ，
设以 AB 为直径 圆与线段 OM 的交点为 E，则 的最小值是 ，的
2 6 15
+
1 1 32 ( 2 )5x y x yy x
+ = + +
3 5x y xy+ = 1 3 5y x
+ =
1 1 3 1 6 1 6 2 62 ( 2 ) 5 (5 2 ) 15 5 5 5
x y x yx y x yy x y x y x
+ = + + = + + ≥ + ⋅ = + 6x y=
2 6 15
+
a b | | 2a = | | 3b = a b 60° ( ) ( ) 0a c b c− − = | |c
19 7
2
−
| |c
, ,OA a OB b OC c= = =
,| | 2,| | 3, , , 2 3 cos60 33AOB OA OB CA a c CB b c a b
π °∠ = = = = − = − ⋅ = × × =
( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − = CA CB⊥
1 ( )2OM OA OB= +
| |c | |OE因为 ，
又 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量 综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解
决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边 c，然后由余弦定理可求得边 b；
（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.
【详解】（Ⅰ）因为 ，
由正弦定理可得， ，
又 ，所以 ，
所以根据余弦定理得， ，
解得， ；
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
， ，
则 ．
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.
的
2 221 1 1 19| | ( ) 2 4 2 3 94 2 2 2OM OA OB OA OA OB OB= + = + ⋅ + = × + × + =
2 2 12 cos60 4 9 2 2 3 72AB OA OB OA OB °= + − ⋅ ⋅ = + − × × × =
| |c 1 19 7| | 2 2OE OM ME OM AB
−= − = − =
19 7
2
−
ABC∆ A B C a b c sin 3 sinb A c B= 3a = 2cos 3B =
b
cos(2 )6B
π−
6b = 4 5 3
18
−
sin 3 sinb A c B=
3ab bc=
3a = 1c =
22 9 1
3 6
b+ −=
6b =
2cos 3B = 5sin 3B =
2 1cos2 2cos 1 9B B= − = − 4 5sin 2 2sin cos 9B B B= =
3 1 3 1 1 4 5 4 5 3cos(2 ) cos2 sin 2 ( )6 2 2 2 9 2 9 18B B B
π −− = + = × − + × =17.已知数列 是各项均为正数的等比数列 ， ，且 ， ， 成等差数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，记 ，证明： ．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 ，且 成等差数列，可求得 q，从而可得本题答案；
（Ⅱ）化简求得 ，然后求得 ，再用裂项相消法求 ，即可得到本题答案.
【详解】（Ⅰ）因为数列 是各项均为正数的等比数列 ， ，可设公比为 q， ，
又 成等差数列，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），则 ， ；
（Ⅱ）证明： ，
， ，
则 ，
因为 ，所以
即 .
【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算
求解能力和推理证明能力.
18.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上且不在 轴上的一个动点， 为坐标原点，过右焦点 作 的平行线交椭圆于
{ }na ( *)n N∈ 1 2a = 12a 3a 23a
{ }na
2logn nb a= nS { }nb n
1 2 3
1 1 1 1
n
n
T S S S S
= + + +……+ 1 2nT
1 3 22 , ,3a a a
3 1 22 2 3a a a= + 22 2 4 3 2q q× = + ×
2q =
1
2q = − 1
1 2n n
na a q −= = *n N∈
2 2log log 2n
n nb a n= = =
1 ( 1)2nS n n= + 1 2 1 12( 1) 1nS n n n n
= = − + +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 12(1 ) 2(1 )2 2 3 1 1n
n
T S S S S n n n
= + + +……+ = − + − +…+ − = −+ +
1 10 1 2n
< ≤+
11 2 1 21n
≤ − > 2
2
6(1, )2
C
Q C x O F OQ M、 两个不同的点，求 的值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题，得 ， ，解方程组，即可得到本题答案；
（Ⅱ）设直线 ，则直线 ，联立 ，得
，联立 ，得
，由此即可得到本题答案.
【详解】（Ⅰ）由题可得 ，即 ， ，
将点 代入方程得 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设直线 ，则直线 ，
联立 ，整理得 ，
所以 ，
联立 ，整理得 ，
N 2
| MN |
| OQ |
2 2
14 2
x y+ =
2
2
ce a
= = 2 2
1 12
3
a b
+ =
:OQ x my= : 2MN x my= + 2 2
14 2
x my
x y
= + =
2 2
2 2 2
2 2 2
4 4 4 4| | 2 2 2Q Q
m mOQ x y m m m
+= + = + =+ + + 2 2
2
14 2
x my
x y
= +
+ =
2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
2 2 8 4 4| | 1 ( ) 4 1 ( )2 2 2
m mMN m y y y y m m m m
+= + + − = + + =+ + +
2
2
ce a
= = 2 21
2c a= 2 21
2b a=
61, 2
2 2
1 12
3
a b
+ = 2 2
1 3 1a a
+ = 2 4a =
C
2 2
14 2
x y+ =
( 2,0)F
:OQ x my= : 2MN x my= +
2 2
14 2
x my
x y
= + =
2
2
2
4
2Q
mx m
= +
2
2
4
2Qy m
= +
2 2
2 2 2
2 2 2
4 4 4 4| | 2 2 2Q Q
m mOQ x y m m m
+= + = + =+ + +
2 2
2
14 2
x my
x y
= +
+ =
( )2 22 2 2 2 0m y my+ + − =设 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.
19.已知数列 前 项和为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明： ．
【答案】（Ⅰ） ， ．（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）由 ，分 和 两种情况，即可求得数列 的通项公式；
（2）由题，得 ，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.
【详解】（Ⅰ）解：由题，得
当 时， ，得 ；
当 时， ，整理，得 ．
数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
， ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ，
故
的
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 22 2
2 2 2,2 2
my y y ym m
+ = − = −+ +
2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
2 2 8 4 4| | 1 ( ) 4 1 ( )2 2 2
m mMN m y y y y m m m m
+= + + − = + + =+ + +
2
2
22
2
4 4
| | 2 14 4| |
2
m
MN m
mOQ
m
+
+= =+
+
{ }na n nS 2 1( *)n nS a n N= − ∈
{ }na
2
1
1 4
3
n
k ka=
( )0,1 ( ) 0f x′ < (1, )+∞
(1) 0f =
1 1( ) axf x ax x
−′ = − = 10 a e
< 1a ≥ 1 1ae
< < ( )f x [1, ]e
( )I 1a = ( ) 1f x lnx x= − + 1 1( ) 1 xf x x x
−′ = − =
0 1x< < ( )' 0f x > 1x > ( ) 0f x′ <
1x = (1) 0f =
( )0,1 (1, )+∞
1 1( ) ( ) axII f x ax x
−′ = − =
10 a e
< ( ) 0f x′ ( )f x [1, ]e (1) ( ) ( )f f x f e≤ ≤ [0,1 ]a ae+ −
1a ≥ ( ) 0f x′ ( )f x [1, ]e ( ) ( ) (1)f e f x f≤ ≤ [1 ,0]a ae+ −
1 1ae
< < 1[1, )x a
∈ ( )' 0f x > ( )f x [1, ]e 1 ,x ea
∈ ( ) 0f x′
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