2020 年高考（文科）数学（4 月份）模拟试卷
一、选择题（共 12 小题）
1．设集合 A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合 A 的真子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，复数 z1，z2 在复平面上分别对应点 A，B，则 z1•z2＝（ ）
A．0 B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣1+2i
3．若向量 ＝（x﹣4，2）与向量 ＝（1，﹣1）平行，则| |＝（ ）
A． B．2 C． D．8
4．若函数 f（x）＝ 的图象关于 y 轴对称，则常数 a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．0
5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2016 年 1 月至
2018 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，判断下列结论：
（1）月接待游客量逐月增加；
（2）年接待游客量逐年增加；
（3）各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月；
（4）各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳．
其中正确结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
6．若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线 的一个焦点，则 p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．函数 y＝（x3﹣x）•2|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵
”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．已知 ，则（ ）
A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， ，则角 C
为（ ）
A． B． C． 或 D．
11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为 2.4.6，A 点为长方体的一一个顶点，
B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从 A 点到 B 点的最短距离为（ ）A． B． C． D．
12．倾斜角为 45°的直线与双曲线 交于不同的两点 P，Q，且点 P、Q 在 x 轴上
的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 +2 B．2 +2 C． +1 D． +1
二、填空题
13．已知数列{an}满足 an+1＝tan，n∈N*，t 为常数，a1＝2，a8＝256，则 t＝ ．
14．曲线 在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
15．函数 在 x＝x0 处取得极大值，则 tanx0＝ ．
16．若函数 ，则不等式 的解集为 ．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分
17．某地自 2014 年至 2019 年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根据表中的数据判断从 2014 年到 2019 年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描
述该地人只数量的变化趋势；
（2）研究人员用函数 拟合该地的人口数量，其中 t
的单位是年，2014 年年初对应时刻 t＝0，P（t）的单位是千人，经计算可得 P（6.5）≈
2450，请解释 P（6.5）≈2450 的实际意义．
18 ． 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ． 满 足 S3 ＝ 6 ， a3 ＝ 3 ， 数 列 {bn} 满 足
，且 bn＞0，数列{bn}的前 n 项和为 T．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求 T99．19．已知椭圆，C 的中心为 O，左、右焦点分别为 F1，F2．上顶点为 A，右顶点为 B，且|OB|
、|OA|、|OF2|成等比数列．
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）判断△F1AB 的形状，并说明理由．
20．如图，在四棱锥 C﹣ABEF 中，底面 ABEF 为菱形，且菱形 ABEF 所在的平面与△ABC
所在的平面相互垂直，AB＝4，BC＝2，BC⊥BE，∠ABE＝60°．
（1）求证：AB∥平面 CEF；
（2）求四棱锥 C﹣ABEF 的最长侧棱的长．
21．已知函数 f（x）＝﹣x+lnx，f（x）的最大值为 a．
（1）求 a 的值；
（2）试推断方程|2x（x+alnx）|＝2lnx+x 是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝r（常数 r＞0），曲线 C2 的参数方程为 （t 为
参数）．
（1）求曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程；
（2）若曲线 C1、C2 有两个不同的公共点，求实数 r 的取值范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝m﹣|x﹣1|，（m＞0），且 f（x+1）≥0 的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若正实数 a，b，c 满足 ，求证：a+2b+3c≥3．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合 A 的真子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】可以求出集合 A，然后即可得出集合 A 的真子集个数．
解：∵A＝{0，1}，
∴A 的真子集个数为 22﹣1＝3．
故选：C．
2．如图，复数 z1，z2 在复平面上分别对应点 A，B，则 z1•z2＝（ ）
A．0 B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣1+2i
【分析】由已知求得 z1，z2，代入 z1•z2，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由图可知，z1＝﹣1+2i，z2＝i，
则 z1•z2＝（﹣1+2i）i＝﹣2﹣i．
故选：C．
3．若向量 ＝（x﹣4，2）与向量 ＝（1，﹣1）平行，则| |＝（ ）
A． B．2 C． D．8
【分析】利用向量平行的性质列方程组求出 x，由此能求出| |．
解：∵向量 ＝（x﹣4，2）与向量 ＝（1，﹣1）平行，
∴ ，解得 x＝2，
∴ ＝（﹣2，2），
∴| |＝ ＝2 ．
故选：A．4．若函数 f（x）＝ 的图象关于 y 轴对称，则常数 a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．1 或﹣1 D．0
【分析】由函数为偶函数可由 f（﹣1）＝f（1），建立方程解出 a，再验证即可．
解：可知函数 f（x）为偶函数，则 f（﹣1）＝f（1），即 ，解得 a＝﹣1，
将 a＝﹣1 代入解析式验证，符合题意．
故选：A．
5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2016 年 1 月至
2018 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，判断下列结论：
（1）月接待游客量逐月增加；
（2）年接待游客量逐年增加；
（3）各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月；
（4）各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知折线图图象，对每一选项逐一分析真假，可得答案．
解：（1）因为由图可知，这三年 8 月至 9 月的月接待游客量在减少，所以月接待游客量
逐月增加错误；
（2）根据已知折线图年接待游客量逐年增加正确；
（3）根据已知折线图各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月正确；
（4）根据已知折线图各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳正确．
其中正确结论的个数为（2）（3）（4）；
故选：C．
6．若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线 的一个焦点，则 p＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】利用已知条件，求出抛物线的焦点坐标，与双曲线的焦点坐标，列出方程求解
即可．
解：抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线 的一个焦点，
可得 ＝ ，解得 p＝16，
故选：D．
7．函数 y＝（x3﹣x）•2|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由函数为奇函数，可排除 D，由函数零点，可排除 A，由特殊点的函数值，可
排除 B．
解：f（﹣x）＝（﹣x3+x）•2|x|＝﹣f（x），即函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对
称，故排除 D；
函数有﹣1，0，1 三个零点，故排除 A；
当 x＝2 时，函数值为正数，故排除 B．
故选：C．
8．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的
体积．
解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱 ABC﹣A′B′C′，
底面是一个直角三角形，两条直角边为 ＝ ，斜边为 2，
且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，
∴几何体的体积为 V＝Sh＝ × × ×2＝2．
故选：A．
9．已知 ，则（ ）
A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵ ，∴1＜x＜ ，
∵0＜log32＜log33＝1，∴0＜y＜1，
∴y＜x＜z，
故选：B．
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， ，则角 C
为（ ）
A． B． C． 或 D．
【分析】由已知利用正弦定理结合 sinA≠0，可求 sinB＝ ，根据 B 的范围可求 B 的
值，根据三角形内角和定理即可求 C 的值．
解：在△ABC 中，∵ ，∴B∈（0， ），
∴由正弦定理可得 sinA＝ sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝ ，可得 B＝ 或 ，
∴C＝π﹣A﹣B＝ 或 ．
故选：C．
11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为 2.4.6，A 点为长方体的一一个顶点，
B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从 A 点到 B 点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别求出 B 点所在的棱长为 2，4，6 时，沿着长方体的表面从 A 到 B 的距离，
由此能求出沿着长方体的表面从 A 点到 B 点的最短距离．
解：当 B 点所在的棱长为 2，
则沿着长方体的表面从 A 到 B 的距离可能为 ＝ ，
当 B 点所在的棱长为 4，
则沿着长方体的表面从 A 到 B 的距离可能为 ＝2 ，
当 B 点所在的棱长为 6，
则沿着长方体的表面从 A 到 B 的距离可能为 ＝ ．
综上所述，沿着长方体的表面从 A 点到 B 点的最短距离为 ．
故选：C．
12．倾斜角为 45°的直线与双曲线 交于不同的两点 P，Q，且点 P、Q 在 x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 +2 B．2 +2 C． +1 D． +1
【分析】根据双曲线的性质可得△QOF2 为等腰直角三角形，利用勾股定理得到 QF1＝
c，结合双曲线定义可得 c﹣c＝2a＝4，解出 c 即可．
解：根据双曲线对称性可知直线过原点，则△QOF2 为等腰直角三角形，
所以∠QOF2＝45°，则 F1F2＝2c，QF2＝c，QF1＝ c，
又由双曲线定义可得 QF1﹣QF2＝2a，即 c﹣c＝2a＝4，所以 c＝ +1，
所以 2c＝2 +2，
故选：B．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知数列{an}满足 an+1＝tan，n∈N*，t 为常数，a1＝2，a8＝256，则 t＝ 2 ．
【分析】数列{an}是公比为 t 的等比数列，利用等比数列通项公式能求出 t．
解：∵数列{an}满足 an+1＝tan，n∈N*，t 为常数，
∴数列{an}是公比为 t 的等比数列，
∵a1＝2，a8＝256，
∴2t7＝256，解得 t＝2．
故答案为：2．
14．曲线 在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝﹣x+1 ．
【分析】先求 f（0），再求导数进而求出切线斜率，然后写出点斜式的切线方程．
解：f（0）＝1，故切点为（0，1），
又 ，
∴f′（0）＝﹣1，
∴切线为 y＝﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x+1．
15．函数 在 x＝x0 处取得极大值，则 tanx0＝ ．
【分析】先利用两角和的余弦公式对已知的解析式进行整理，再结合余弦函数的性质求
解即可．
解：因为 ＝3cosx+4sinx＝5（ sinx+ cosx）；令 ＝cosα，sinα＝ ，则 f（x）＝5cos（x﹣α）；
由题意得：cos（x0﹣α）＝1⇒x0＝2kπ+α；k∈Z．
∴tanx0＝tanα＝ ＝ ．
故答案为： ．
16．若函数 ，则不等式 的解集为 （﹣4，2） ．
【分析】先求出 ，则不等式可等价为 ，进一步得
到 ，由此即容易得解．
解： ，
∴不等式 即为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴﹣3＜x+1＜3，
∴﹣4＜x＜2，即不等式的解集为（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分
17．某地自 2014 年至 2019 年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根据表中的数据判断从 2014 年到 2019 年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描
述该地人只数量的变化趋势；（2）研究人员用函数 拟合该地的人口数量，其中 t
的单位是年，2014 年年初对应时刻 t＝0，P（t）的单位是千人，经计算可得 P（6.5）≈
2450，请解释 P（6.5）≈2450 的实际意义．
【分析】（1）分别计算 5 个跨年度的人口增长数量，再比较即可；
（2）根据题意 P（6.5）≈2450 实际意义为：到 2020 年，该地的总人数大约可增长到 2450
千人，或到 2020 年 6 月末或 7 月初，该地的总人数大约可增长到 2450 千人．
解：（1）从 2014 年到 2015 年该地的人口增长数量：2135﹣2082＝53，
从 2015 年到 2016 年该地的人口增长数量：2203﹣2135＝68，
从 2016 年到 2017 年该地的人口增长数量，2276﹣2203＝73，
从 2017 年到 2018 年该地的人口增长数量，2339﹣2276＝63，
从 2018 年到 2019 年该地的人口增长数量，2385﹣2339＝46，
故 2016 年到 2017 年的人口的增长数量最大，
从 2014 年到 2019 年该地每年人口的增长数量是先递增后递减的趋势；
（2）P（6.5）≈2450，其实际意义为：到 2020 年，该地的总人数大约可增长到 2450 千
人，或到 2020 年 6 月末或 7 月初，该地的总人数大约可增长到 2450 千人．
18 ． 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ． 满 足 S3 ＝ 6 ， a3 ＝ 3 ， 数 列 {bn} 满 足
，且 bn＞0，数列{bn}的前 n 项和为 T．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求 T99．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，根据已知条件，联立解方程组，求出首项和
公差，求出通项公式；
（2）由 得， ，求出 ，再求出结论
．
解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，
由 S3＝6，a3＝3 得，
，得 d＝1，a1＝1，
所以 an＝n，n∈N*；（2）由 得， ，
所以 ，
因为 bn＞0，所以 ，
所以 T99＝b1+b2+…+b99＝ ＝ ．
19．已知椭圆，C 的中心为 O，左、右焦点分别为 F1，F2．上顶点为 A，右顶点为 B，且|OB|
、|OA|、|OF2|成等比数列．
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）判断△F1AB 的形状，并说明理由．
【分析】（1）由题意可得 A，B，F2 的坐标，再由|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列．可得，
ab，c 之间的关系，再由椭圆中 a，b，c 之间的关系求出离心率；
（2）由题意知 A，B，F1 的坐标，和题意 b2＝ac，可得向量以 ＝0，即可得向
量的垂直，即三角形为直角三角形．
【解答】解（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为 2a，2b，2c，
则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由题设可得 b2＝ac 及 b2＝a2﹣c2 可得 c2+ac﹣a2＝0，
即 e2+e﹣1＝0，解得 e＝ ，而 e∈（0，1），
所以椭圆的离心率为 e＝ ；
（2）设椭圆的方程为： + ＝1（a＞b＞0），则 A（0，b），B（a，0），F1（﹣c
，0），
因为 b2＝ac， ＝（﹣c，﹣b）， ＝（a，﹣b），
所以 ＝﹣ac+b2＝0，所以 AF1⊥AB，
即△ABF1 为直角三角形．
20．如图，在四棱锥 C﹣ABEF 中，底面 ABEF 为菱形，且菱形 ABEF 所在的平面与△ABC
所在的平面相互垂直，AB＝4，BC＝2，BC⊥BE，∠ABE＝60°．
（1）求证：AB∥平面 CEF；
（2）求四棱锥 C﹣ABEF 的最长侧棱的长．【分析】（1）由菱形性质可知 AB∥EF，再由线面平行的判定定理即可得到 AB∥平面
CEF；
（2）先由 OE⊥BC，BC⊥BE，可证 BC⊥平面 ABEF，进而得到 BC⊥AB，BC⊥BF，
由此判断棱 CF 最长，在 Rt△BCF 中解三角形即可得解．
解：（1）在菱形 ABEF 中，AB∥EF，AB 不在平面 CEF 内，EF 在平面 CEF 内，
∴AB∥平面 CEF；
（2）取 AB 中点 O，连接 OE，BF，由已知易得，△ABE 是正三角形，
∴OE⊥AB，
又∵平面 ABEF⊥平面 ABC，且交线为 AB，
∴OE⊥平面 ABC，
又 BC 在平面 ABC 内，
∴OE⊥BC，
又∵BC⊥BE，OE∩BE＝E，
∴BC⊥平面 ABEF，
又 AB，BF 在平面 ABEF 内，
∴BC⊥AB，BC⊥BF，
在菱形 ABEF 中，BF＞AB，BF＞BE，
∴CF 最长，
在△BCF 中， ，即四棱锥 C﹣ABEF 的最长侧棱的长为 ．21．已知函数 f（x）＝﹣x+lnx，f（x）的最大值为 a．
（1）求 a 的值；
（2）试推断方程|2x（x+alnx）|＝2lnx+x 是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集．
【分析】（1）由题意得：当 x＞0 时，f′（x）＝﹣1+ ＝ ，可求得 a＝f（x）max＝
f（1），从而可求得 a 的值；
（2）由题意，|2x（x+alnx）|＝2lnx+x⇔|（x+alnx）|＝ + ；设 g（x）＝ + ，
g′（x）＝ ，可求得 g（x）min＝g（e）＝ + ＜1，从而可得答案．
解：（1）由题意得：当 x＞0 时，f′（x）＝﹣1+ ＝ ，
当 0＜x＜1，f′（x）＞0；
当 x＞1，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴a＝f（x）max＝f（1）＝﹣
1．
（2）由题意，|2x（x+alnx）|＝2lnx+x⇔|（x+alnx）|＝ + ，
由（1）知，﹣x+lnx≤﹣1，
|x﹣lnx|≥1，
设 g（x）＝ + ，g′（x）＝ ，
令 g′（x）＞0，得 0＜x＜e，
令 g′（x）＜0，得 x＞e，
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），
∴g（x）min＝g（e）＝ + ＜1，
∴g（x）＜1，
∴|x﹣lnx|＞ + ，
∴方程|2x（x+alnx）|＝2lnx+x 没有实数解．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝r（常数 r＞0），曲线 C2 的参数方程为 （t 为
参数）．
（1）求曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程；
（2）若曲线 C1、C2 有两个不同的公共点，求实数 r 的取值范围．
【分析】1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．
（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．
解：（1）曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝r（常数 r＞0），转换为直角坐标方程为 x2+y2＝r2
．
曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 2x+y﹣1＝0，（
x ）．
（2）若曲线 C1、C2 有两个不同的公共点，则： ，整理得 5x2﹣4x+1﹣r2＝
0，
由于△＝20r2﹣4＞0，解得 r ，
当圆经过（ ）时，r＝ ，由于曲线 C2 有是不经过（ ）的直线，
所以 r 的范围为（ ） ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝m﹣|x﹣1|，（m＞0），且 f（x+1）≥0 的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）若正实数 a，b，c 满足 ，求证：a+2b+3c≥3．
【分析】（Ⅰ）f（x+1）≥0 等价于|x|≤m，求出解集，利用 f（x+1）≥0 的解集为[﹣3，
3]，求 m 的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，利用柯西不等式即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：因为 f（x+1）＝m﹣|x|，所以 f（x+1）≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集为[﹣m，m]，（m＞0）
又由 f（x+1）≥0 的解集为[﹣3，3]，故 m＝3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，
又∵a，b，c 是正实数，
∴a+2b+3c＝ ．
当且仅当 时等号成立，
所以 a+2b+3c≥3．
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