数学试题第1页，共 8 页
56 级高一下学期开学学情检测试题（数学）
（满分 150 分，考试用时 120 分钟）
请将答案写在规定的位置，并及时上传。超出答题区域不予得分。
★祝考试顺利★
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设 2 11z i （i 是虚数单位），则 z （ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 23
2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10] 内的
一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高.现随机抽取10 位北京市民，他们的幸福感指数为 3，4，5，
5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 75% 分位数是（ ）
A．7 B． 7.5 C．8 D．8.5
3．已知向量 (1,2)a ， (2, 2)b ， ( , 1)c ，若 //(2 )c a b ，则 （ ）
A． 2 B． 1 C． 1
2 D． 1
2
4．某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）
A．“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”
B．恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”
C．“至少 1 名男生”与“全是男生”
D．“至少 1 名男生”与“全是女生”
5．已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 5
3 cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点 A 出发，沿圆锥侧
面爬行一周回到点 A .则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ）
A．8cm B．53cm C．10cm D．5 cm
6．如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 1
2
，且是互相独立的，灯
亮的概率为（ ）
A． 3
16
B． 3
4
C．13
16
D． 1
4
7．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O ，
且 2AE EO ，则 ED （ ） 数学试题第2页，共 8 页
A． 12
33AD AB B． 21
33AD AB
C． 21
33AD AB D． 12
33AD AB
8． ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ， M 在边 AB 上，且 1
3AM AB ， 2b ，
27
3CM ， 2sin sin
sin 2
A B c
Bb，则 ABCS （ ）
A． 33
4
B． 3 C． 23 D． 83
3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．如图是我国 2018 年 1 月至 12 月石油进口量统计图（其中同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比），
则下列说法正确的是（ ）
A．2018 年下半年我国原油进口总量高于 2018 年上半年
B．2018 年 12 个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152 万吨
C．2018 年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量
D．2018 年 1 月—5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量有增有减
10．在 ABC 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． 10, 45 , 70b A C
B． 45, 48, 60b c B
C． 14, 16, 45a b A
D． 7, 5, 80a b A
数学试题第3页，共 8 页
11．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ，点 ,,E F G 分别棱楼 1 1 1,,AB AA C D 的中点，下列结论中正确
的是（ ）
A．四面体 11ACB D 的体积等于 31
2 a
B． 1BD 平面 1ACB
C． 11//BD 平面 EFG
D．异面直线 EF 与 1BD 所成角的正切值
12．点 O 在 ABC 所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A．若 0OA OB OC ,则点 O 为 ABC 的重心
B．若 0AC AB BC BAOA OB
AC AB BC BA
,则点 O 为 ABC 的垂心
C．若( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC ,则点 O 为 ABC 的外心
D．若OA OB OB OC OC OA ,则点 O 为 ABC 的内心
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，用分层抽样的方法从这三个年级的
学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为 7，那么从高三学生中抽取
的人数为_______.
14．若复数 z 满足 2 3 i,zz 其中i 为虚数单位， z 为 z 的共轭复数，则 z 在复平面内对应的点位于第
_____象限.
15. 已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为 6 ，上、下底面的半径分别为 2 ， 4 ，则球O
的表面积为__________．
16. 已知 O 是 ABC 外接圆的圆心，若 4 5 6 0OA OB OC ，则 cosC __________．
填空题答题区：
13.
14.
15.
16.
数学试题第4页，共 8 页
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知复数 2z (m 5m 6) (m 2)i （ mR）．
（1）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值；
（2）若复数 z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m 的取值范围．
17.解：
18．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在
侧棱 B1B 上，且 11B D A F ， 1 1 1 1AC A B .
求证：（1）直线 DE 平面 A1C1F；
（2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
18.证明：
数学试题第5页，共 8 页
19．在 ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc，已知cos cos 3 0( sin )cosC A A B .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 1ac ，求b 的取值范围．
19.解：
20．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参
加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.05
合计 M 1
数学试题第6页，共 8 页
（1）求出表中 M，p 及图中 a 的值；
（2）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
20.解：
数学试题第7页，共 8 页
21. 某商店销售某海鲜，统计了春节前后 50 天海鲜的需求量 x ，（ 10 20x≤ ≤ ，单位：公斤），其频率分
布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处
理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 公斤可获利 30 元.假设商店每天
该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为 y 元.
（1）求商店日利润 y 关于需求量 x 的函数表
达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的
中点值代替.
①求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均
数；
②估计日利润在区间[580 760]， 内的概率.
21.解：
数学试题第8页，共 8 页
22.如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 090BAC ， AB AC =1， ,DE分别为
1AA 、 1BC的中点.
（1）证明： DE 平面 11BCC B ；
（2）已知 1BC与平面 BCD 所成的角为 030 ，求二面角 1D BC B 的余弦值.
22.解： 数学试题答案 第1页，共8页
56 级高一下学期开学学情检测试题（数学）答案
一、单项选择题：
1．【答案】C【解析】 ( )
( )( )
212 1 1 21 1 1
izii i i
−= + = + = −+ + − ，因此，
( )222 1 5z = + − = .故选：C.
2．【答案】C【解析】由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列，
因为75% 10 7.5= ，所以这 10 个人的75% 分位数是从小到大排列后第 8 个人的幸福指
数，即 8.故选：C
3.【答案】A【解析】 ( )1,2a = ， ( )2, 2b =− ( )2 4,2ab + =
( )// 2c a b+ 24 = − ，解得： 2 =− ，故选： A
4.【答案】D【解析】从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加演讲比赛，
“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”不互斥；
“恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”是互斥不对立事件；
“至少 1 名男生”与“全是男生”不互斥；
“至少 1 名男生”与“全是女生”是对立事件；故选：D
5. 【答案】B【解析】蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点 ，爬行的最短路程长为 1AA
如图
作 1OC AA⊥ ，由圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 5
3
cm，
所以 1
5 102 33l AA = = = cm， 由l OA= ，所以 2
3
=
即 1
2
3AOA = = ，所以
3AOC =
故 53sin 2AC OA AOC= = cm 所以 1 2 53AA CA == cm 故选：B
6. 【答案】C 【解析】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率， 数学试题答案 第2页，共8页
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的 2 个都开，上边的 2 个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
灯泡不亮的概率是 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
111
222 + + = ，
灯亮和灯不亮是两个对立事件， 灯亮的概率是 3 131 16 16−=，故选：C ．
7. 【答案】C【解析】画出图形，如下图．
选取 ,?AB AD 为基底，则 ( )2 1 1
3 3 3AE AO AC AB AD= = = + ，
∴ ( )1 2 1 3 3 3ED AD AE AD AB AD AD AB= − = − + = − ．故选 C．
8. 【答案】B【解析】 ABC 中， 2sin sin
sin 2
A B c
Bb
− = ，∴ 2sin sin sin
sin 2 sin
A B C
BB
− = ，
∴ 2sin cos 2sin sinC B A B=−，
∴ ( )2sin cos 2 sin cos cos sin sinC B B C B C B= + − ，
∴ 1cos 2C = ，又 ( )0,C ，∴ 60C =；
又 1
3AM AB= ，
∴ ( )11
33CM CA AM CA AB CA CB CA= + = + = + −
21
33CA CB=+，
∴32CM CA CB=+，∴ 2 2 2
9 4 4CM CA CB CA CB= + + ；
∴ 228 16 4aa= + + ，解得 2a = 或 6a =− （不合题意，舍去），
∴ 的面积为 1 2 2sin 60 32ABCS = = .故选：B.
二、多项选择题：
9.【答案】ABC 【解析】由图易知 A，B 正确；由数量同比折线图可知，除 6 月及 10 月
同比减少外，其他月份同比都递增，且 1 月，4 月，11 月，12 月同比增长较多，故 2018数学试题答案 第3页，共8页
年我国原油进口总量高于 2017 年我国原油进口总量，C 正确；2018 年 1 月至 5 月的同比
数据均为正数，故 2018 年 1 月—5 月各月与 2017 年同期相比较，我国原油进口量只增不
减，D 错误. 故选：ABC
10.【答案】BC 【解析】对于选项 A 中：由 45 , 70AC= = ，所以
180 65B A C= − − = ，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项 B 中：因为 csin 8 3sin 115
BC b= = ，且cb ，所以角C 有两解；
对于选项 C 中：因为 sin 4 2sin 17
bAB a= = ，且ba ，所以角 B 有两解；
对于选项 D 中：因为 sinsin 1bAB a=，且ba ，所以角 仅有一解.故选：BC.
11. 【答案】BD 【解析】延长 EF 分别与 11BA， 1BB的延长线交于 N ，Q ，连接GN
交 11AD 于 H ，设 HG 与 11BC 的延长线交于 P ，连接 PQ 交 1CC 于 I ，交 BC 于 M ，连
FH ， ，GI ， IM ， ME ， 11BD与 相交，故 与平面 EFG 相交，所以
不正确； 1 ⊥BD AC ， 11BD B C⊥ ，且 AC 与 1BC相交，所以 1BD ⊥平面 1ACB ，故
正确；平移可得异面直线 与 1BD 的夹角的正切值为 2
2
，故 D 正确；
四面体 11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为
3 3 31 1 14 3 2 3a a a− = ，故 A 不正确．故选： BD
12.【答案】AC 【解析】选项 A，设 D 为 的中点，由于
( ) 2OA OB OC OD= − + = − ，所以O 为 边上中线的三等分点(靠近点 D)，所以 O 为
ABC 的重心；
选项 B，向量 ,
| | | |
AC AB
AC AB
分别表示在边 和 AB 上的单位向量，设为 AC和 AB ，则
它们的差是向量 BC，则当 0
| | | |
AC ABOA
AC AB
− =
，即OA B C⊥ 时，点 O 在 BAC数学试题答案 第4页，共8页
的平分线上，同理由 0
| | | |
BC BAOB
BC BA
− =
，知点 O 在 ABC 的平分线上，故 O 为
ABC 的内心；
选项 C，OA OB+ 是以 ,OA OB为邻边的平行四边形的一条对角线，而 AB｜ ｜是该平行四边
形的另一条对角线， ( ) 0AB OA OB + = 表示这个平行四边形是菱形，即| | | |OA OB= ，
同理有| | | |OB OC= ，于是 O 为 的外心；
选项 D，由OA OB OB OC = 得 0OA OB OB OC − = ，
∴ ( ) 0OB OA OC − = ，即 0OB CA=，
∴OB CA⊥ ．同理可证 ,OA CB OC AB⊥⊥，
∴OB CA⊥ ，OA CB⊥ ，OC AB⊥ ，即点 O 是 的垂心；故选：AC．
三、填空题：
13.【答案】10 【解析】因为 210: 270:300 7:9:10,= 所以从高二年级应抽取 9 人，从
高三年级应抽取 10 人.
14.【答案】四 【解析】设 z a bi=+ ，则 z a bi=− ，代入可得3 i = 3 iab+−，由复数
相等的定义可得 1, 1ab= = − ，即 1zi=−，故 z 在复平面内对应的在第四象限.
15. 【答案】80 【解析】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面
距离为 6-x,结合勾股定理，建立等式 ( )22 2 22 4 + 6xx+ = − ，解得 4x = ，所以半径
2 2 22 20Rx=+=，因而表面积 24 80SR==
16. 【答案】 7
4
【解析】设 的外接圆的半径为 R ，
因为 4 5 6 0OA OB OC+ + = ，所以 4 5 6OA OB OC+ = − ，
则 2 2 2 216 25 40 cos 36R R R AOB R+ + = ，
即8cos 1AOB = − ，即 28(2cos 1) 1C − = − ，解得 7cos 4C = .
四、解答题： 数学试题答案 第5页，共8页
17.【解析】（1）因为复数 z 为纯虚数，所以
2 5 6 0{
20
mm
m
− + =
−
，
解之得， 3m = ．
（2）因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以
2 5 6 0{
20
mm
m
− +
−
，
解之得
23{ 2
m
m
，得 23m．
所以实数 m 的取值范围为（2，3）．
18.【解析】证明：（1）在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 11AC AC，
在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
所以 DE AC ，于是 11DE AC ，
又因为 DE 平面 1 1 1 1,AC F AC 平面 11AC F ，
所以直线 DE//平面 .
（2）在直三棱柱 中， 1 1 1 1AA A B C⊥ 平面
因为 11AC 平面 1 1 1A B C ，所以 1 1 1AA AC⊥ ，
又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A⊥ =， 平面 平面 ，
所以 11AC ⊥ 平面 11ABB A .
因为 1BD平面 ，所以 1 1 1AC B D⊥ .
又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A⊥ =， 平面 平面 ，
所以 1 1 1B D AC F⊥ 平面 .
因为直线 11B D B DE 平面 ，所以 1B DE平面 11 .AC F⊥ 平面
19.【解析】（1）∵cos cos 3sin )cos 0(C A A B+ − = ，
∴ cos( ) cos cos 3sin cos 0A B A B A B− + + − = ，
即 cos cos sin sin cos cos 3sin cos 0A B A B A B A B− + + − = ， 数学试题答案 第6页，共8页
∵sin 0A ，∴ tan 3B = ，∴
3B = ．
（2） 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 22( ) 3 1 3 ( )2
aca c ac += + − −
2111 3 ( )24= − = ，
∴ 1
2b ，又 1b a c + = ，∴b 的取值范围是 1[ ,1)2 ．
20.【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知 10
M
＝0.25，所以
M＝40.因为频数之和为 40，所以 10＋24＋m＋2＝40，解得 m＝4，p＝ 4
40
m
M = ＝0.10.因
为 a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以 a＝ 24
40 5
＝0.12.
(2)因为该校高三学生有 240 人，在[10,15)内的频率是 0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60.
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是15 20
2
+ ＝17.5.因为 n＝ 24
40
＝
0.6，所以样本中位数是 15＋ 0.5 0.25
a
− ≈17.1，估计这次学生参加社区服务人
数的中位数是 17.1.样本平均人数是 12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋
27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 17.25.
21. 【解析】（1）商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为：
( )
( )
50 14 30 14 ,14 20
50 10 14 ,10 14
xxy x x x
+ − = − −
， 化简得：
30 280,14 20
60 140,10 14
xxy xx
+ = −
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间 )10,12 的频率是 2 0.08 0.16=；
海鲜需求量在区间 )12,14 的频率是 2 0.12 0.24=；
海鲜需求量在区间 )14,16 的频率是 2 0.15 0.30=； 数学试题答案 第7页，共8页
海鲜需求量在区间 )16,18 的频率是 2 0.10 0.20=；
海鲜需求量在区间 18,20 的频率是 2 0.05 0.10=；
这50 50 天商店销售该海鲜日利润 y 的平均数为：
( ) ( ) ( ) (11 60 14 10 0.16 13 60 14 10 0.24 15 30 20 14 0.30 17 30 − + − + + + +
) ( )20 14 0.20 19 30 20 14 0.10 83.2 153.6 219 158 85 698.8 + + = + + + + = （元）
②由于 14x = 时，30 14 280 60 14 140 700 + = − =
显然
30 280,14 20
60 140,10 14
xxy xx
+ = −
在区间 10,20 上单调递增，
580 60 140yx= = − ，得 12x = ；
760 30 280yx= = + ，得 16x = ；
日利润 在区间 580,760 内的概率即求海鲜需求量 x 在区间 12,16 的频率：
0.24 0.30 0.54+=
22.【解析】（1）取 BC 中点 F ，连接 AF 、 EF ,
AB AC= AF BC⊥ ，
1BB ⊥ 平面 ABC ， AF 平面 1BB AF⊥ ，
而 BC 平面 11BCC B , 1BB 平面 , 1BC B B B=
AF ⊥ 平面 ．
E 为 1BC中点， 1EF BB ， 1
1
2EF BB= ，
EF DA ， EF DA＝ ，
四边形 ADEF 为平行四边形， AF DE ．
DE ⊥平面 ．
（2）设 1AB AC==， 1 2AA a= ，则 2BC = ， 2
2AF = , 21BD DC a= = + ，
2 2 2 1
2DF AD AF a = + = + 数学试题答案 第8页，共8页
21 2 1
22BDC
aS BC DF + = = ，
1 1
1 22BCBS BB BC a= = ，
D 到平面 1BCB 距离 2
2DE = ，设 1B 到面 BCD距离为 d ，
由 11B BDC D BCBVV−−= ，得
1
11
33BCB BDCS DE S d = ，即
21 2 1 2 123 2 3 2
aad+ = ，
2
2
21
ad
a
=
+
．
因为 1BC与平面 所成的角为30 ，所以 1 2
222sin30 21
daB C d
a
= = = +
，
而在直角三角形 1B BC 中 2 2 2
11 42B C BB BC a= + = + ，
所以 2
2
24 2 2
21
aa
a
+=
+
，解得 2
2a = ．
因为 AF ⊥ 平面 11BCC B ， BC 平面 ,所以 AF BC⊥ ，
EF ⊥ 平面 ， 平面 所以 EF BC⊥ ，所以 BC ⊥ 平面 DEFA，
DF 平面 DBC , EF 平面 1B BC
所以 EFD 为二面角 1D BC B−−的平面角，
而 2
2DA AF==,可得四边形 DAFE 是正方形，所以 45EFD = ，
所以二面角 的余弦值为 2
2
．
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