高二下学期第一次测试数学试卷（文科）
时间：90 分钟 分值：100 分
一、单选题（每小题 4 分，共 36 分）
1．若 则一定有（ ）
A． B． C． D．
2．“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．己知{an}是等差数列，且 a3+a4=-4，a7+a8=-8，则这个数列的前 10 项和等于（ ）
A．-16 B．-30 C．-32 D．-60
4．已知 a∈R，则“a＜1”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．设 是实数，且 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．8
6．已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边， ， ，
，则 （ ）
A．2 B．5 C．2 或 5 D．3 或 5
7．若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
8．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ，
0, 0,a b c d> > < <
a b
c d
> a b
c d
< a b
d c
> a b
d c
<
0x∀ > 2 sinx x> ( )
0x∀ > 2 sinx x< 0x∀ > 2 sinx x≤
0 0x∃ ≤ 0 02 sinx x≤ 0 0x∃ > 0 02 sinx x≤
1 1a
>
a b、 2 3a b+ = 2 4a b+
4 2 2 6
3a = 3sin 3A =
2 6b = c =
3
2
x
x y
y x
≤
+ ≥
≤
，
，
，
( 7,0)F 1y x= − M两点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 ，若函数 至多有 个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 4 分，共 12 分）
10．已知函数 ，则 ______．
11．已知两个正实数 x、y 满足 ，并且 恒成立，则实数
m 的取值范围是______．
12．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为抛物线 上的动点，则
的最小值为____________.
三、解答题（17 题 12 分，其余每题 10 分，共 52 分）
13.已知函数 ， .
（1）若 时，解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
14．已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
N MN 2
3
−
2 2
13 4
x y− =
2 2
14 3
x y− =
2 2
15 2
x y− =
2 2
12 5
x y− =
1,( 0)( )
ln 2,( 0)
xxe xf x
x x x
+ ≤= − − >
( )y f x a= − 2 a
1,1 e
−∞ −
1,1 (1, )e
−∞ − +∞
11,1 e
− − [1,1 ]e+
( ) ( ) 21 2f x f x x′= + ( )1f ′ =
2 1 1x y
+ = 22 3 4x y m m+ > − +
2: 4C y x= − F ( )2,1A − P C
PF PA+
( ) | 2 | | 2 |f x x x m= − + + ( )m∈R
4m = ( ) 6f x ≤
x ( ) | 2 5 |f x x≤ − [0,2]x∈ m
{ }na n nS 3 2 6a S= = *n N∈
{ }na（2）若 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
15．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小：
（2）若 ， ．求 的面积．
16．已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ， ，
且点 在 轴的上方，过 作 的垂线交 于点 ，求 与 的面积
之比．
17．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在 上存在两个极值点 ， ，且 ，证明
.
( )( )
2
1 1n
n n
b a a
= − + { }nb n nT 1nT <
ABC△ A B C a b c sin cos 0a B b A− =
A
2 5a = 2b = ABC△
C ( 2,0)A − (2,0)B x
1
2
C
C D D x C M N
M x D AM BN E BDE BDN
( ) ln 1g x x mx= − −
( )g x
( ) ( )f x xg x= (0, )+∞ 1x 2x 1 2x x<
1 2ln ln 2x x+ >高二下学期第一次测试数学试卷（文科）
命题人：吴山秀 时间：90 分钟 分值：100 分
一、单选题（每小题 4 分，共 36 分）
1．
【答案】D
【解析】
本题主要考查不等关系．已知 ,所以 ，所以 ，故
．故选
2．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过命题的否定的形式进行判断．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，故“ ， ”的否定是“ ，
”.
故选 D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属基础题.
3．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算 ，然后根据等差数列的性质，可得 ，最后根据等差数列的前 项
公式，计算 ，并结合 ，可得结果.
0, 0a b c d> > < < 1 1 0d c
− > − > a b
d c
− > −
a b
d c
< D
0x∀ > 2 sinx x> 0 0x∃ >
0 02 sinx x≤
3 4 7 8a a a a+ + + 5 6a a+ n
10S 1 10 5 6a a a a+ = +【详解】
由题可知：
数列{an}是等差数列且
则 ，又
所以
由 ，且
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若 ，则 ，熟
练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.
4．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 a＜1，不一定能得到 （如 a=-1 时）；但当 ，一定能推出 a＜1，从而得到答
案．
【详解】
解：由 a＜1，不一定能得到 （如 a=-1 时）；
但当 时，有 0＜a＜1，从而一定能推出 a＜1，
则“a＜1”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，
是一种简单有效的方法．
3 4 7 84, 8a a a a+ = − + = −
3 4 7 8 12a a a a+ + + = − 3 7 5 4 8 62 , 2a a a a a a+ = + =
5 6 5 62 2 12 6a a a a+ = − ⇒ + = −
( )1 10
10
10
2
a aS
+ ×= 1 10 5 6a a a a+ = +
( )1 10
10
10 302
a aS
+ ×= = −
m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +
1 1a
> 1 1a
>
1 1a
>
1 1a
>
1 1a
>5．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接用均值不等式 化简即可．
【详解】
由题 ，当 时取最小值
．故选 B．
【点睛】
本题主要考查均值不等式 ，以及指数运用 ．
6．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由已知确定出 ，然后再利用余弦定理即可解决.
【详解】
∵ ，∴ ， ，由余弦定理得 ，解得 或 5.
故选：D.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
7．
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
2 4 2 2 4a b a b+ ≥ ⋅
2 22 4 2 2 4 =2 2 2 =2 2 2 8 4 2a b a b a b a b++ ≥ ⋅ ⋅ = = 2 4a b=
4 2
2a b ab+ ≥ m n m na a a +⋅ =
6cos 3A =
a b< A B< 6cos 3A =
2 2 26
3 2
b c a
bc
+ −= 3c =表示斜率为 的一组平行线，当 过点 时，目标函数取得最大值
，故选 D.
【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示
的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常
见的目标函数类型有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值时常将函数
转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出 的
最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如 ，而本题属
于截距形式.
8．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点差法得 ，再根据焦点坐标得 ，解方程组得 ， ，即得
结果.
【详解】
2z x y= + 1
2
− 2z x y= + ( )3,3C
max 3 2 3 9z = + × =
z ax by= +
z ax by= + a zy xb b
= − + z
b
z
( ) ( )2 2z x a y b= − + − y bz x a
−= −
2 2
2 5
a b
= 2 2 7a b+ = 2 2a = 2 5b =设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，设 ，
，则 的中点为 ，由 且 ，得
， ，即 ，联立
，解得 ， ，故所求双曲线的方程为 ．故选 D．
【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
9．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出函数 的图象，转化为 与函数图象至多有 2 个零点时，求 的取值范
围.
【详解】
解析：由 ，得 ，
，当 时， ，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
所以 时，函数的最小值 ，且
， ，
，当 时， ，
当 时， ，函数单调递减，
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 2 7a b+ = ( )1 1,M x y
( )2 2,N x y MN 2 5,3 3
− −
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
− =
( )( )1 2 1 2
2
x x x x
a
+ − = ( )( )1 2 1 2
2
y y y y
b
+ −
2
22 3
a
× −
=
（ ）
2
52 3
b
× −（ ）
2 2
2 5
a b
=
2 2 7a b+ = 2 2a = 2 5b =
2 2
12 5
x y− =
( )y f x= y a= a
( ) 0f x a− = ( )f x a=
1xy xe= + 0x ≤
( )1 xy x e′ = + 1x = − 0y′ =
( ), 1x∈ −∞ − 0y′ <
( )1,0x∈ − 0y′ >
0x ≤ ( ) 11 1f e
− = − ( )0 1f =
ln 2y x x= − − 0x >
11y x
′ = − 1x = 0y′ =
( )0,1x∈ 0y′
0x > ( )1 1f = −
( )y f x= y a= 11a e
< − 1a >
( )f x′ 1x =
( ) ( ) 21 2f x f x x′= + ( ) ( )2 1 2f x f x′′ = +
1x = ( ) ( )1 2 1 2f f ′′ = + ( )1 2f ′ = −
2−11．【答案】(－1,4)
【解析】
【分析】
由题意首先求得 的最小值，然后结合恒成立的结论得到关于 m 的不等式，求解不等式
即可确定实数 m 的取值范围.
【详解】
两个正实数 满足
恒成立，
，
求解出 的范围 .
则实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法，二次不等式的解法等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．【答案】
【解析】
【分析】
设点 在准线上的射影为 ，由抛物线的定义把问题转化为求 的最小值，同时可
推断出当 D，P，A 三点共线时， 最小，答案可得．
【详解】
设点 A 在准线上的射影为 D， 在抛物线内部，
由抛物线的定义可知 ，
2x y+
x y， 2 1 1x y
+ =
( ) 2 1 42 2 4 4 4 8y xx y x y x y x y
∴ + = + + = + + ≥ + =
22 2x y m m+ > +
28 2m m∴ > +
m 4 2m− < <
m ( )4 2− ，
3
P D PD PA+
PD PA+
( )2,1A −
PF PD=抛物线 ， ，
要求 的最小值，即求 的最小值，
只有当 D，P，A 三点共线时， 最小，且最小值为 （准线方程为
）.
故答案为： .
【点睛】
本题考查抛物线知识的应用，解题关键是根据抛物线的定义将求 的最小值的问题转
化为求 的最小值的问题，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.
三、解答题(17 题 12 分，其余每题 10 分，共 52 分）
13．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）零点分段法，分 ， ， 讨论即可；
（2）当 时，原问题可转化为：存在 ，使不等式 成立，
即 .
【详解】
解：（1）若 时， ，
2: 4C y x= − 1p =
∴ PF PA+ PD PA+
PD PA+ ( )1 2 3− − =
1x =
3
PF PA+
PD PA+
8| 03x x − ≤ ≤ [ 5,3]−
2x −≤ 2 2x− < < 2x ≥
[0,2]x∈ [0,2]x∈ 3 3 3x m x− − ≤ ≤ −
min max( 3) (3 3 )x m x − − ≤ ≤ −
4m = | 2 | | 2 4 | 6x x− + + ≤当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
综上述：不等式的解集为 ；
（2）当 时，由 得 ，
即 ，
故 得 ，
又由题意知： ，
即 ，
故 的范围为 .
【点睛】
本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.
14．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公
式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求
出结果．
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
2x −≤ 2 2 4 6x x− + − − ≤ 8
3x ≥ − 8 23 x− ≤ ≤ −
2 2x− < < 2 2 4 6x x− + + ≤ 0x ≤ 2 0x− < ≤
2x ≥ 2 2 4 6x x− + + ≤ 4
3x ≤ x∈ ∅
8| 03x x − ≤ ≤
[0,2]x∈ ( ) | 2 5 |f x x≤ − 2 | 2 | 5 2x x m x− + + ≤ −
| 2 | 3x m x+ ≤ −
3 2 3x x m x− ≤ + ≤ − 3 3 3x m x− − ≤ ≤ −
min max( 3) (3 3 )x m x − − ≤ ≤ −
5 3m− ≤ ≤
m [ 5,3]−
( )*2na n n N= ∈
{ }na d
3 2 6a S= = 1 1 12 6a d a a d+ = + + =
1 2a d= =所以数列 的通项公式为： .
（2）由（1）知： ，
所以 .
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放
缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15．
【答案】（1） （2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据 求出 ，即可确
定出 A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把 a，b，cosA 的值代入求出 c 的值，再由 b，sinA 的值，利
用三角形面积公式求出即可．
详解：在 中，由正弦定理得 ．
即 ，又角 为三角形内角， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
（2）在 中，由余弦定理得： ，
则 ． 即 ．
解得 （舍）或 ．
所以 ．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
{ }na ( ) ( )*2 1 2 2na n n n N= + − × = ∈
( )( ) ( )( )
2 2 1 1
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1n
n n
b a a n n n n
= = = −− + − + − +
1 1 1 1 1 11 1 13 3 5 2 1 2 1 2 1nT n n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − = − >
2
1
2
a
c
a
= =
1c =
2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
D C D (1,0)
2 2
14 3
1
x y
x
+ =
=
1
3
2
x
y
= =
1
3
2
x
y
= = −
M N 31, 2
31, 2
− 所以直线 的斜率为 ．
又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
直线 的方程为 ，即 ．
由 ，解得点 的纵坐标为 ．
又 的面积为 ，
的面积为 ，
所以 ，
所以 与 的面积之比为 ．
【点睛】
解析几何中的面积问题要善于观察图形的特点，将面积进行等价转化是解题的关键.
17．
【答案】（1）若 ，则 在定义域内递增；若 ，则 在 上单调递增，
在 上单调递减（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1） ，分 ， 讨论即可；
（2）由题可得到 ，故只需证
AM 1
2AMk =
AM DE⊥ DE 2DEk = −
DE 2( 1)y x= − − 2 2y x= − +
BN 3 ( 2)2y x= − 3 32y x= −
2 2
3 32
y x
y x
= − + = −
E 6
7Ey = −
BDE
1 | |2BDE ES BD y=△
BDN 1 | |2N NBDS BD y=△
6 3: : : 4:77 2BDE BDN E NS S y y= = =△ △
BDE BDN 4:7
0m ≤ ( )g x 0m > ( )g x 10, m
1 ,m
+∞
1( ) mxg x x
−′ = 0m ≤ 0m >
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ln ln ln ln ln ln2 x x x x x xm x x x x x x
+ −= = = =+ −， ，即 ，采用换元法，转化为函数的最值问
题来处理.
【详解】
由已知， ，
若 ，则 在定义域内递增；
若 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题意 ，
对 求导可得
从而 ， 是 的两个变号零点，因此
下证： ，
即证
令 ，即证： ，
对 求导可得 ， ， ，因为
故 ，所以 在 上单调递减，而 ，从而
所以 在 单调递增，所以 ，即
于是
1 2
1 2 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− >− + ( )1 2x x<
1
1 2
12
2
1
ln 2
1
x
x x
xx
x
−
< ⋅
+
' 1( ) mxg x x
−=
0m ≤ ( )g x
0m > ( )g x 10, m
1 ,m
+∞
2( ) lnf x x x mx x= − − 0x >
( )f x '( ) ln 2 , 0f x x mx x= − >
1x 2x ( )f x′
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ln ln ln ln ln ln2 x x x x x xm x x x x x x
+ −= = = =+ −
1 2
1 2 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− >− + ( )1 2x x<
1
1 2
12
2
1
ln 2
1
x
x x
xx
x
−
< ⋅
+
1
2
xt x
= ( ) ( 1)ln 2 2h t t t t= + − + (0,1)t ∈
( )h t ' 1( ) ln 1h t t t
= + − (0,1)t ∈
2
1( ) th t t
−′′ = 0 1t< <
''( ) 0h t < '( )h t (0,1) '(1) 0h = '( ) 0h t >
( )h t (0,1) ( ) (1) 0h t h< = ( ) 0h t <
1 2ln ln 2x x+ >【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归
能力，是一道有一定难度的压轴题.
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