高二线上考试数学理试卷
考试时间： 90 分钟 总分：100 分
一．选择题（每小题 4 分，共 36 分）
1.复数 ＝1﹣i， 为 z 的共轭复数，则 +i ＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
2.已知双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，过点（ ，2），且渐近线方程为 y＝±2x，则该
双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣ ＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣ ＝1 D．x2﹣2y2＝1
3. 已知命题 ：角 终边在直线 上，命题 ： ，那么 是
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知 是函数 的极小值点，则 （ ）
A. -4 B. -16 C. -2 D. 2
5. 曲线 过点 ，则该曲线在该点的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6.已知双曲线 ： ，当双曲线 的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛
物线 ： 的焦点、若 、 是抛物线 上两点， ，则
中点的横坐标为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
7. 已知函数 f（x）＝（x2﹣a）e﹣x 的图象过点（ ，0），若函数 f（x）在（m，m+1）上是
增函数，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
8. 等差数列的 公差 不为 0， 是其前 项和，给出下列命题：
的p α 3y x= q ( )
3k k Z
πα π= + ∈ p q
a 3( ) 12f x x x= − a =
12 2 += axy )3,( a
14 −−= xy 84 += xy 14 −= xy 444 −== xyxy 或
1C
2 2
2 11 4 2
x y
m m
− =+ − 1C
2C ( )2 2 0y px p= > A B 2C 8AF BF+ = AB
3
2
5
2
{ }na d nS n①若 ，且 ，则 和 都是 中的最大项；
②给定 ，对一切 ，都有 ；
③若 ，则 中一定有最小项；
④存在 ，使得 和 同号.
其中正确命题的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 已知函数 满足 ，且 ，则函数
零点的个数为（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 0 个
二．填空题（每小题 4 分，共 12 分）
10. 函数 y = 的导数为 。
11. 已知三棱锥 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 120°，若
三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ，PA＝PB＝AC＝BC，则球 O 的表面积为
12. 已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝2x 的焦点，直线 l：y＝m（2x﹣1）与抛物线 C 交
于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则 m 的值为
三．解答题
13.（10 分） 已知函数 f（x）＝|x+3|﹣2．
（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，求实数 t 的取值范围．
0d < 3 8S S= 5S 6S { }nS
n ( )*k N k n∈ < 2n k n k na a a− ++ =
0d > { }nS
*k N∈ 1k ka a +− 1k ka a −−
( )f x ( ) ( ) 1' xf x f x e
+ = ( )0 1f =
( ) ( ) ( )2 13 2g x f x f x= −
)32cos(
π−x14. （10 分）已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的菱形，且 BC＝BD，DD1⊥平面 ABCD，
AA1＝1，BE⊥CD 于点 E，点 F 是 A1B1 中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面 BEC1；
（Ⅱ）求平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐二面角的余弦值．
15. （10 分） 已知函数 f（x）＝（a﹣ ）x2+lnx（a∈R）
（1）当 a＝1 时，求 f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：当 时，在区间（1，+∞）上，不等式 f（x）＜2ax 恒成立．16. （10 分） 已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为 2c，直线 bx﹣y+
a＝0 过椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 bx﹣y+2c＝0 与 y 轴交于点 P，A，B 是椭圆 C 上的两个动点，∠APB 的平分
线在 y 轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过
定点，请说明理由．17. （12 分）设 f（x）＝xlnx+ax2，a 为常数．
（1）若曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线过点 A（0，﹣2），求实数 a 的值；
（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2 且 xl＜x2
①求证： ＜a＜0
②求证：f （x2）＞f （x1）＞ ．高二线上考试数学理试卷答案
1.
【分析】把已知代入 +i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵ ＝1﹣i，∴z＝1+i，
则 +i ＝ ＝1﹣i+1+i＝2．
故选：A．
2.
【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为 4x2﹣y2＝λ，λ≠0，把点的
坐标代入即可求出结果．
解：∵渐近线方程为 2x±y＝0，
设双曲线方程为 4x2﹣y2＝λ，λ≠0，
将 P（ ，2）的坐标代入方程得
4（ ）2﹣22＝λ，
求得λ＝4，
则该双曲线的方程为 x2﹣ ＝1，
故选：C．
3
【答案】C
【解析】
【分析】
对命题 根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.
【详解】角 的终边在直线 上 或
，故 是 的充分必要条件，
故选：C.
4.
p
α 3y x= ( )2 3k k
πα π⇔ = + ∈Z 2 3k
πα π π= + +
( ) ( )2 1 3k k
ππ= + + ∈Z ( )
3k k
πα π⇔ = + ∈Z p q【答案】D
【解析】
【分析】
求导并化简可得 ，列表即可求出极小值点，得解.
【详解】因为
所以可得 ， 和 如下表
-2 (-2，2) 2
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表知函数的极小值点为 2.
故选：D
5.
【答案】Ｃ； 由 得 ，再由 可得。
6.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数取得最小值的条件，求得 ，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐
标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答
案.
【详解】由题意可得 ，即有 ，
由 ，可得当 时，焦距 取得最小值，
2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + −
2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + −
x ( )f x′ ( )f x
x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞
( )f x′
( )f x
1)(23 2 += aa )(11 舍或 −== aa 4)1( =′f
1m =
4 2 0m− > 2m <
( )22 2 1 4 2 1 4c m m m= + + − = − + 1m = 2c所以双曲线的方程为 ，
于是 右焦点为 ，即抛物线 的焦点为 ，
所以 ， ，则抛物线 ： ，
准线方程 ，设 ， ，
∴ ，解得 ，
∴线段 的中点横坐标为 2.
故选：B
7.
【分析】根据题意可以得出 ，在对其进行求导求出其单调性即可求解；
解：∵f（x）＝（x2﹣a）e﹣x 的图象过点（ ，0），
∴a＝3；
∴ ，
∴ ；
令 f′（x）≥0，则﹣1≤x≤3；
∴f（x）的单调递增区间为[﹣1，3]，
∴ ；
∴﹣1≤m≤2
故选：A．
8.
【答案】B
【解析】
【分析】
①中 可推导 ，结合 ，可知数列前 5 项为正，第 6 项为 0，即可判断结论
2 2
12 2
x y− =
1C ( )2,0 2C ( )2,0
22
p = 4p = 2C 2 8y x=
2x = − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2| | | | 2 2 8AF BF x x+ = + + + = 1 2 4x x+ =
AB
3 8S S= 6 0a = 0d
{ }nS 1k ka a +− 1k ka a −−
,d d−
0d < 3 8S S= 1 5 0a d+ = 6 0a = 5S 6S { }nS
2
12 2n
d dS n a n = + − 1 0a ≥ 1S 1 0a < 12a dn d
− =
12 1a dn d
− = ± 1k ka a d+− = − 1k ka a d−− = 0d ≠ 1k ka a +−
1k ka a −−
( ) ( ) 1' xf x f x e
+ = ( ) ' 1xe f x = ( )xe f x x c= +
( ) 1
x
xf x e
+= ( ) 0g x = ( ) 0f x = ( ) 1
6f x =
( ) ( ) ( ) ( )1' ' 1x x
xf x f x e f x e f xe
+ = ⇔ + = ( ) ' 1xe f x ⇔ =
( )xe f x x c= + ( ) x
x cf x e
+= ( )0 1f = 1c = ( ) 1
x
xf x e
+=
( ) ( ) ( ) ( )2 13 0 02g x f x f x f x= − = ⇒ = ( ) 1
6f x =
( ) 10 0 1x
xf x xe
+= ⇒ = ⇒ = − ( ) ( )1 1 1 6 16 6
x
x
xf x e xe
+= ⇒ = ⇒ = +函数 与函数 的图像交点个数为 2 个，所以 的解得个数为 2 个；
综上，零点个数为 3 个，
故选：B
10.解析：
11.
【分析】根据题给信息，利用等腰三角形常作辅助线能够证出对棱垂直，再利用对棱垂直
时的体积公式进行求解．
解：设球半径为 r，则 OA＝OB＝OC＝OP＝r，所以 O 是 AB 的中点，
因为 PA＝PB，AC＝BC，所以 OP⊥AD，OC⊥AB，所以 AB⊥平面 OPC，
所以体积 ＝ ，所以 r＝2，
所以球的表面积 S＝4πr2＝16π．
故答案为：16π．
xy e= ( )6 1y x= + ( ) 1
6f x =
)πxcos(
)πxsin(
y
32
32
−
−
−=′12．
【分析】求得抛物线的焦点坐标，设 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0），联立
直线 l 的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 m 的值．
解：y2＝2x 的焦点 F（ ，0），
设 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0），
直线 l：y＝m（2x﹣1）（m＞0）与抛物线 y2＝2x 联立，可得 4m2x2﹣（2+4m2）x+m2＝0，
即有 x1x2＝ ①，x1+x2＝1+ ②，
由题意可得 ＝2 ，即为 ﹣x1＝2（x2﹣ ），即 x1+2x2＝ ③，
由①③可得 x1＝1，x2＝ （x1＝x2＝ 舍去），
代入②可得 1+ ＝1+ ，解得 m＝ （负的舍去），
故答案为： ．
13.
【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1 恒
成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所
求范围．
解：（Ⅰ）函数 f（x）＝|x+3|﹣2，
不等式|f（x）|＜4 即为﹣4＜f（x）＜4， （2 分）
即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6，
所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣9，3）； （5 分）
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，
可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1 恒成立，
由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4， （8 分）
可得﹣t2+4t+1≥4，即 t2﹣4t+3≤0，
解得 1≤t≤3．
则实数 t 的取值范围是[1，3]． （10 分）
14. 【分析】（Ⅰ）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行；
（Ⅱ）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：因为 BC＝BD，BE⊥CD，∴E 是 CD 的中点，
取 AB 中点 G，连 B1G，GE，则在菱形 ABCD 中，EG∥BC，EG＝BC，
因为 BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以 EG∥B1C1，EG＝B1C1，
∴四边形 B1C1EG 为平行四边形，所以 C1E∥B1G，
又 B1F∥GA，B1F＝GA，∴四边形 B1GAF 为平行四边形，
∴AF∥B1G，所以 AF∥C1E，
又 AF⊄平面 BEC1，C1E⊂平面 BEC1，∴AF∥平面 BEC1． （4 分）
（Ⅱ）解：以 D 为原点，以 DC，DG，DD1，分别为 x，y，z 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC＝BD，BC＝CD，
所以三角形 BCD 为等边三角形，
因为 BE⊥CD，所以点 E 是 CD 的中点，
故 点 ，
， ， （6
分）
设平面 ADF 的法向量 ， ，
由 ，得 ，
取 y＝1，得 ，故 ， 7 分
因为 ，
所以 ，所以 是平面 BEC1 的法向量， （8 分）
设平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐角为θ，则 ，
即平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐角的余弦值为 ． （10 分）
15.
【分析】（1）当 a＝1 时， ，利用导数研究函数
的单调性即可得出最值；
（2）令 ，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，
不等式 f（x）＜2ax 恒成立⇔g（x）＜0 在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数
的单调性即可得出 g（x）大值．
【解答】（1）解：当 a＝1 时， ，
对于 x∈[1，e]，有 f'（x）＞0，
∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴ ， ． （5 分）
（2）证明：令 ，x∈（1，+∞），
在区间（1，+∞）上，不等式 f（x）＜2ax 恒成立⇔g（x）max＜0，x∈（1，+∞）．
∵ ，
∴当 时，则有 2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有 g'（x）＜0，
从而 g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
∴g（x）＜g（1），又 ，
∴g（x）＜0，即 f（x）＜2ax 恒成立． （10 分）
16.
【分析】（Ⅰ）因为直线 bx﹣y+ a＝0 过椭圆的左焦点，故令 y＝0，得 x＝﹣ ＝﹣
c，又因为离心率为 ，从而求出 b＝2，又因为 a2＝b2+c2，求出 a 的值，从而求出椭圆 C
的标准方程；（Ⅱ）先求出点 P 的坐标，设直线 AB 的方程为 y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关
系，设 A（x1，y1），B（x2，y2），得到 k1+k2＝ ，又因为∠APB 的平分线在 y 轴
上，所以
k1+k2＝0，从而求出 m 的值，得到直线 AB 的方程为 y＝kx+1 过定点坐标．
解：（Ⅰ）因为直线 bx﹣y+ a＝0 过椭圆的左焦点，
故令 y＝0，得 x＝﹣ ＝﹣c，
∴ ＝ ＝ ，解得 b＝2，
又∵a2＝b2+c2＝b2+ ，解得 a＝2 ，
∴椭圆 C 的标准方程为： ； （4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 c＝ a＝2，
∴直线 bx﹣y+2c＝0 的方程为 2x﹣y+4＝0，令 x＝0 得，y＝4，即 P（0，4）， （5
分）
设直线 AB 的方程为 y＝kx+m，
联立方程组 ，消去 y 得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ， （6 分）
则直线 PA 的斜率 k1＝ ＝k+ ，
则直线 PB 的斜率 k2＝ ＝k+ ，
所 有 k1+k2 ＝ 2k+ ＝ 2k+ ＝ ，
（8 分）
∵∠APB 的平分线在 y 轴上，∴k1+k2＝0，即 ＝0，
又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，
∴直线 AB 的方程为 y＝kx+1，过定点（0，1）． （10 分）
17.
【分析】（1）求出函数 f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得
到 a＝1；
（2）①由题意可得 f′（x）＝0 有两个不等的实根 x1，x2，且 0＜x1＜x2，设 g（x）＝
lnx+1+2ax，求出导数，对 a 讨论，分 a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于
0，即可得到 a 的范围；
②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）＞f（x1），求出 x1∈（0，1），设 h
（x）＝ （xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范
围．
解：（1）f（x）＝xlnx+ax2 的导数为 f′（x）＝lnx+1+2ax，
在 x＝1 处的切线斜率为 k＝1+2a，切点为（1，a），
在 x＝1 处的切线过点 A（0，﹣2），则 k＝1+2a＝a+2，
解得 a＝1； （3 分）
（2）证明：①由题意可得 f′（x）＝0 有两个不等的实根 x1，x2，且 0＜x1＜x2，
设 g（x）＝lnx+1+2ax，g′（x）＝ +2a，x＞0．
当 a≥0，则 g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；
当 a＜0 时，g′（x）＞0 解得 x＜﹣ ，g′（x）＜0 解得 x＞﹣ ，
即有 g（x）在（0，﹣ ）递增，在（﹣ ，+∞）递减．
即有 g（﹣ ）＝ln（﹣ ）＞0，解得﹣ ＜a＜0； （7 分）
②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）＞f（x1），
f′（1）＝g（1）＝1+2a＞0，则 x1∈（0，1），由①可得 ax1＝ ，
即有 f（x1）＝x1lnx1+ax12＝ （x1lnx1﹣x1），
设 h（x）＝ （xlnx﹣x），0＜x＜1，h′（x）＝ lnx＜0 在（0，1）恒成立，
故 h（x）在（0，1）递减，故 h（x）＞h（1）＝﹣ ，
由此可得 f（x1）＞﹣ ，
综上可得，f （x2）＞f （x1）＞ ． （12 分）
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