宁夏石嘴山市2020届高三数学（理）4月适应性（二模）试题（有答案扫描版）

2020 年石嘴山市高三年级适应性测试数学试卷 （理科答案） 一、单选题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A D B D C A C D B A C A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 80 14．126 15. 或 （本题答对一个方程给 3 分，两个都 答对给 5 分，答案中出现错误不得分） 16．5 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考 题，考生根据要求作答。 17．解析： 解：（1） 平面 ， 平面 ，故 . ， ，故 ，故 . ，故 平面 . ------------------------------------6 分 （2）如图所示：分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， . ----------8 分 4 0x + = 4 3 25 0x y+ + = 1AA ⊥ ABCD AB Ì ABCD 1AA AB⊥ 2AB AD= = 2 2BD = 2 2 2AB AD BD+ = AB AD⊥ 1AD AA A∩ = AB ⊥ 1 1ADD A 1, ,AB AD AA , ,x y z ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )1 2,0,2B ( )2,4,0C ( )1 0,2,2D设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 取 得到 ， ，设直线 与平面 所成角为 ---------------------------------------------10 分 故 .--------------------------------------------- -12 分 18 . 解析： 解： 因为 ． 由正弦定理得 ，从而可得 ， 又 C 为三角形的内角，所以 ，于是 ， 又 A 为三角形内角，因此 ------------------------------------6 分 设 的外接圆半径为 R，则 ， ， 由余弦定理得 ，即 ， 所以 ．所以 的面积为： -----------------------------------------12 分 19. 解析： （1）样本中女生英语成绩在 分以上的有 人，故人数为： 万人. -------------------------------------4 分 1 1B CD ( ), ,n x y z= 1 1 1 0 0 n B C n B D  ⋅ = ⋅ =   4 2 0 2 2 0 y z x y − = − + = 1x = ( )1,1,2n = ( )2,0,0AB = AB 1 1B CD θ 2 6sin cos , 62 6 n AB n AB n AB θ ⋅ = = = = ⋅       80 2 2 50 520 × =（2） 8 名男生中，测试成绩在 70 分以上的有 人， 的可能取值为： . ， ， . 故分布列为： . -------------------------------------8 分 （3）英语测试成绩在 70 分以上的概率为 ，故 ， 故 . 故 的最小值为 . -------------------------------------12 分 20．解析： （1） 焦点为 F（1，0），则 F1（1，0），F2（1，0）， ，解得 ， ＝1， ＝ 1-------------------------------------4 分 （2）由已知，可设直线 方程为 ， ， 联立 得 ，易知△＞0，则 3 X 0,1,2 ( ) 2 5 2 8 50 14 Cp X C = = = ( ) 1 1 5 3 2 8 151 28 C Cp X C = = = ( ) 2 3 2 8 33 28 Cp X C = = = X 0 1 2 p 5 14 15 28 3 28 ( ) 5 15 3 30 1 214 28 28 4E X = × + × + × = 10 1 20 2p = = 1 1 90%2 m  < −   4m≥ m 4 2 4y x＝ 1 22 PF + PF 2 2a＝ ＝ 2a = c b l 1x ty= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 1 3 x ty x y = +  + = 2 2( 1) 2 2 0t y ty+ + − = 1 2 2 1 2 2 2t t +1 2 t +1 y y y y  + = −  = −------------------------------------6 分 ＝ ＝ ＝ 因为 ，所以 ＝1，解得 ------------------------------8 分 联立 ，得 ，△＝8 ＞0 设 ，则 -----------------------------------10 分 ------------------------------------12 分 21．解析： （1）由题意，函数 的定义域为 ， -----------1 分 又由 ，且 是函数 的极值点， 所以 ，解得 ，------------------------------------3 分 又 时，在 上， 是增函数，且 ， 1 1F A F B⋅  11 2 2( 1)( 1)x x y y+ + + 1 2 1 2(ty +2)(ty +2)+y y 2 2 1 2 1 2 2 2- 2tt +1 y y + 2t y + y + 4 t +1 （ ） （ ） ＝ 1 1 1F A F B =⋅  2 2 2-2t t +1 2 1t 3 ＝ 2 2 1 12 x ty x y + + ＝ ＝ 2 2t +2 y +2ty-1 0（ ） ＝ 2t +1（ ） 3 3 4 4C , ), ( , )x y B x y（ 3 4 2 3 4 2 2ty +y t +2 1y y 2t −   − + ＝ ＝ 1 2 FCD 1 2 3 4 2 481 8 1+t 4 63S F F y -y 72 t +2 7 3 ∆ × ⋅ （ ）＝ ＝ ＝ ＝ ( )f x ( )0,+∞ ( ) 1xf x x ae x ′ = + − 1 2x = ( )f x 1 21 1 2 02 2f ae  = +′ − =   3 2 ea e = 0a > ( )0,+∞ ( )f x′ 1 02f   =  ′ 所以 ，得 ， ，得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . -------------------6 分 （2）由（1）知因为 ，在 上， 是增函数， 又 （且当自变量 逐渐趋向于 时， 趋向于 ）， 所以， ，使得 ， 所以 ，即 ， 在 上， ，函数 是减函数， 在 上， ，函数 是增函数， 所以，当 时， 取得极小值，也是最小值，-------------------9 分 所以 ， 令 ， 则 ， 当 时， ，函数 单调递减，所以 ， 即 成立， -------------------12 分 22．解析： （1）由 消去参数 得 的普通方程为： ；-------3 分 由 得 ，得 的直角坐标方程为： ， ( ) 0f x′ > 1 2x > ( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 1 ,2  +∞   10, 2      0a > ( )0,+∞ ( ) 1xf x x ae x ′ = + − ( )1 1 1 0f ae′ = + − > x 0 ( )f x′ −∞ ( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x′ = 0 0 0 1 0xx ae x + − = 0 0 0 1xae xx = − ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 0x x= ( )f x ( ) ( ) 02 2 0 0 0 0 0 0 0min 0 1 1 1ln ln ,(0 1)2 2 xf x f x x ae x x x x xx = = + − = + − − < < ( ) 21 1 ln ,(0 1)2g x x x x xx = + − − < < ( ) ( )2 2 1 1 11 1 xg x x xx x x += − − − = − −′ ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ) 11 2g x g> = ( ) ( )min 1 2f x f x≥ > cos 1 sin x y θ θ =  = + θ 2C 22 ( 1) 1yx + − = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 3C 2 2 4x y x+ =即 ． -------------5 分 (本题写对一个方程给 3 分，两个都答对给 5 分) （2） 的极坐标方程为： ， 的极坐标方程为： 将 分别代入 ， 的极坐标方程得： ， ， ．--------------10 分 23．解析： 因为 ，所以 ， 所以不等式 等价于 或 或 ， 解得 或 . 所以不等式 的解集为 或 . ---------5 分 （2）因为 ，所以 ， 根据函数的单调性可知函数 的最小值为 ， 因为 恒成立，所以 ，解得 . 所以实数 的取值范围是 .-------------------------------------------10 分 2 2( 2) 4x y− + = 1C θ α= 2C 2sinρ θ= θ α= 2C 3C 2sinA ρ α= 4cosB ρ α= | | | | | 2sin 4cos | | 2 5sin( ) | 2 5A BAB ρ ρ α α α ϕ∴ = − = − = +  1a = − ( ) 12, 2 13 4, 32 2, 3 x x f x x x x x  − −   ( ) 1 0f x + > 1 2 2 1 0 x x   1 32 3 4 1 0 x x  ≤ ≤  − + > 3 2 1 0 x x >  + + > 1x < − 1x > ( ) 1 0f x + > { | 1x x < − }1x > 0a > ( ) 3, 2 3 3, 32 3, 3 ax a x af x x a x x a x  − − − < − = + − − ≤ ≤  + + >  ( )f x 32 2 a af  − = − −   ( ) 3 2f x a+ > 3 3 22 a a− − + > 2a > a ( )2,+∞