2020届高三数学4月大数据精选模拟卷04（北京卷 解析版）

1 2020 年 4 月高考大数据精选模拟卷 04 数学（北京卷） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设 U＝R，A＝ ，B＝ ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A＝ ， ， .故选:D 2．设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵复数 ，∴ ， ，则 2{ | 4 0}x x x− < { | 1}x x ≤ ( )UA C B∩ { }0 4x x< ≤ { }1 4x x≤ < { }0 4x x< < { }1 4x x< < 2{ | 4 0} { 0 4}x x x x x− < = < < U { 1}B x x= > U( ) { 1 4}A B x x∩ = < (5, )t 6 P Q、 2 2( 6) 1x y− + = PQ 21 1− 52 5 − 2 5 2 5 1− 2: 2 ( 0)C y px p= > x 2 px = − (5, )t 5 62 pd = + = 2p = 2 4y x= ( , )P x y 2 2:( 6) 1M x y− + = (6,1) 2 2 2 2( 6) ( 6) 4 ( 4) 20PM x y x x x= − + = − + = − + 4x = PQ 20 1 2 5 1− = − ( )f x R (0, )+∞ ( ) ( )0.6 3( 3) log 13 2f f f− < − < ( ) ( )0.6 3( 3) 2 log 13f f f− < < − ( ) ( )0.6 32 log 13 ( 3)f f f< − < − ( ) ( )0.6 32 ( 3) log 13f f f< − < − ( )f x R ( ) ( )3 3f f− = ( ) ( )3 3log 13 log 13f f− = 0.6 3 32 2 log 13 log 27 3< < < = ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )0.6 32 log 13 3f f f< − < − 1 02 1 x x − ≤+ 1 ,12  −   1 ,12  −   [ )1, 1,2  −∞ − ∪ +∞   [ )1, 1,2  −∞ − +∞   3 【答案】A 【解析】不等式 等价于 解得 ，所以选 A. 6． 展开式中 x2 的系数为( ) A．－1280 B．4864 C．－4864 D．1280 【答案】A 【解析】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出 项，第二个括号里出 项，或者第一个括号里出 ，第二个括号里出 ，具体为： 化简得到-1280 x2 故得到 答案为：A. 7．四棱锥 的底面 为正方形， 底面 ， ， ，若该四棱锥的所 有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示： 由图可知在长方体中的四棱锥 完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外 接球半径 ，故该球的表面积为 . 故选：B. 1 02 1 x x − ≤+ ( 1)(2 1) 0{2 1 0 x x x − + ≤ + ≠ 1 12 x− < ≤ 3 4 81(3 )(2 )x x x + − 33x 1 x 4x 2 1 x ( ) 2 3 1 7 4 2 6 8 8 1 13 2 2x C x Cx x      − + ⋅ −             P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2AB = 7 2PA = 81 2 π 81 4 π 65π 65 2 π P ABCD− 2 2 2 72 2 2 9 2 4R  + +   = = 2 814 4S R ππ= =4 8．若数列{xn}满足 lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且 x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则 lg(x101＋x102＋…＋ x200)的值为(　　) A．102 B．101 C．100 D．99 【答案】A 【解析】由 ，得 ，所以数列 是公比为 的等比数列， 又 ， 所以 ， 所以 ，故选 A． 9．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访 6 名外国游客，其中有 2 名游客来过洛阳，从这 6 人中任选 2 人进行采访，则这 2 人中至少有 1 人来过洛阳的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，从 名外国游客中选取 人进行采访，共有 种不同的选法， 其中这 人中至少有 人来过洛阳的共有 种不同选法，由古典概型的概率计算公式可 得 ，故选 C． 10．英国统计学家 辛普森 1951 年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖 论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被 上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）： 法官甲 终审结果 民事庭 行政庭 合计 1lg 1 lnn nx x+ = + 1 10n n x x + = { }nx 10 100 100 100 101 1 102 2 200 100, , ,x x q x x q x x q= ⋅ = ⋅ = ⋅ 100 100 102 101 102 200 1 2 100( ) 10 100 10x x x q x x x+ + + = + + + = ⋅ =  ( )101 102 200lg 102x x x+ + + = 1 15 2 3 3 5 4 5 6 2 2 6 15C = 2 1 1 1 2 2 4 2 8 1 9C C C+ = + = 9 3 15 5p = = . .E H5 维持 29 100 129 推翻 3 18 21 合计 32 118 150 法官乙 终审结果 民事庭 行政庭 合计 维持 90 20 110 推翻 10 5 15 合计 100 25 125 记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，记乙法官在民事庭、 行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，则下面说法正确的是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】D 【解析】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率 ，总体上维持原判的案件率为 ；法官乙民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率为 ，总体上维持原判的案件率为 ．所以 ， ， ．选 D． 第二部分（非选择题，共 110 分） 1x 2x x 1y 2y y 1 1x y< 2 2x y< x y> 1 1x y< 2 2x y< x y< 1 1x y> 2 2x y> x y> 1 1x y> 2 2x y> x y< 1 29 0.90632x = ≈ 2 100 0.847118x = ≈ 129 0.86150x = = 1 90 0.9100y = = 2 20 0.825y = = 110 0.88125y = = 1 1x y> 2 2x y> x yω ( ) ( )0 2f fα β= =， | |α β− 2 π ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x πω ω ω = + = +   ( ) 0f α = ( ) 2f β = | |α β− 2 π 2 π 1 4 2T π= 2T π= 2 2 12T π πω π= = = l ( )4y k x= + ( )2 22 4x y+ + = A B M AB M M 3 4 6 0x y+ − = ( ) ( )2 23 1 4x y x+ + = ≠ − ( )4y k x= + ( )4,− 0 ( )2 24 2 0 4− + + = ( )4,− 0 ( ),M x y ( )4,0−A ( )( )1 1 1, 4B x y x ≠ −7 因为 是 中点，所以 ，点 在圆上，故 ， 整理得， ，所以点 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆，不包含 ； 则点 到直线 距离的最小值为 到直线的距离减去半径，即 . 故答案为： ；2 14．已知奇函数 ，则函数 的值域为__________. 【答案】 【解析】 奇函数 的定义域为 ， ， ，即 ． ，解得 此时 ， ， 即 的值域为 故答案为： . 15．已知点 ， ， 在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则 的最大值为________. 【答案】10 【解析】根据题意， ，所以 为圆的直径，设 的中点即圆心为 ， ， 则 ，当且仅当 和 同向时取等号， 且当 取 时， 取最大值，此时 ，所以 ， M AB 1 1 4 2 2 xx yy − =  = ⇒ 1 1 2 4 2 x x y y = +  = B ( ) ( )2 22 4 2 2 4x y+ + + = ( ) ( )2 23 1 4x y x+ + = ≠ − M ( )3,0- ( )4,− 0 M 3 4 6 0x y+ − = ( )3,0- 3 2 3 3 6 1 2 3 4 − × − − = + ( ) ( )2 23 1 4x y x+ + = ≠ − ( ) ( )2 2 2 1 x x a af x x R ⋅ + −= ∈+ ( )f x ( )1,1−  ( )f x R ∴ ( ) ( )f x f x− = − ∴ ( ) ( )0 0f f− = − ( )0 0f = ∴ 2 2 02 a − = 1a = 2 1( ) 2 1 x xf x -= + 2 1 2( ) 12 1 2 1 x x xf x −= = −+ +  2 1 1x + > ∴ 20 22 1x < × × × ξ 2 24 2 8 7( 0) 69 CP C ξ = = = 1 1 8 16 24 2 32( 1) 69 C CP C ξ = = = 16 2 2 2 4 30 10( 2) 69 23 CP C ξ = = = = ξ ξ P 7 69 32 69 10 23 ξ 7 32 10 92( ) 0 1 269 69 23 69E ξ = × + × + × = ( ) 2 4−= m mf x x m Z∈ y ( ) ( )2 3f f> m ( )f x ( ) ( )2 1 2+ < −f a f a a 2m = ( ) 4f x x−= 1 1 1( , ) ( ,3)3 2 2 − 12 【解析】（1）由题意，函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 ， 所以在区间 为单调递减函数，所以 ，解得 ，又由 ，且函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，所以 为偶数，所以 ，所以 . （2）因为函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递减函数，所以不等式 ，等价于 且 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围是 . 20．（本小题 14 分） 已知点 是椭圆 的右焦点，点 ， 分别是 轴， 轴上的动点，且满 足 .若点 满足 （ 为坐标原点）． （Ⅰ）求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 ， 两点，直线 ， 与直线 分别交于点 ， ， 试判断以线段 为直径的圆是否经过点 ？请说明理由． 【答案】（1） （2）经过 【解析】（Ⅰ）∵椭圆 右焦点 的坐标为 ，∴ .∵ ， ∴由 ，得 .设点 的坐标为 ，由 ，有 ， ，代入 ，得 . 即点 的轨迹 的方程为 . ( ) 2 4−= m mf x x m Z∈ y ( ) ( )2 3f f> (0, )+∞ 2 4 0m m− < 0 4m< < m Z∈ ( ) 2 4−= m mf x x m Z∈ y 2 4m m− 2m = ( ) 4f x x−= ( ) 4f x x−= y (0, )+∞ ( ) ( )2 1 2+ < −f a f a 1 2 2a a− < + 1 2 0, 2 0a a− ≠ + ≠ 1 1 3 2a− < < 1 32 a< < a 1 1 1( , ) ( ,3)3 2 2 −  F 2 2 2 1( 0)1 x y aa + = >+ ( ,0)M m (0, )N n x y 0MN NF⋅ =  P 2OM ON PO= +   O P C F P A B OA OB x a= − S T ST F 2 4y ax= 2 2 2 1( 0)1 x y aa + = >+ F ( ),0a ( ),NF a n= − ( ),MN m n= − 0MN NF⋅ =  2 0n am+ = P ( ),x y 2OM ON PO= +   ( ) ( ) ( ),0 2 0, ,m n x y= + − − 2 m x yn = − = 2 0n am+ = 2 4y ax= P C 2 4y ax=13 （Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ， ， ， 则 ： ， ： .由 得 ，同理得 . ∴ ， ，则 . 由 得 ，∴ .则 . 因此，以线段 为直径的圆经过点 . 解法二：①当 时， ， ，则 ： ， ： . 由 ，得点 的坐标为 ，则 ， 由 ，得点 的坐标为 ，则 . ∴ . ②当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， ， ， 同解法一，得 .由 ，得 ，∴ . 则 .因此，以线段 为直径的圆经过点 . 21．（本小题 14 分） 若函数 对定义城内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使得 成立， AB x ty a= + 2 1 1,4 yA ya       2 2 2,4 yB ya       OAl 1 4ay xy = OBl 2 4ay xy = 1 4ay xy x a  =  = − 2 1 4, aS a y  − −    2 2 4, aT a y  − −    2 1 42 , aFS a y  = − −     2 2 42 , aFT a y  = − −     4 2 1 2 164 aFS FT a y y ⋅ = +  2 4 x ty a y ax = +  = 2 24 4 0y aty a− − = 2 1 2 4y y a= − ( ) 4 2 2 2 2 164 4 4 0 4 aFS FT a a a a ⋅ = + = − = −   ST F AB x⊥ ( ),2A a a ( ), 2B a a− OAl 2y x= OBl 2y x= − 2y x x a =  = − S ( ), 2S a a− − ( )2 , 2FS a a= − − 2y x x a = −  = − T ( ),2T a a− ( )2 ,2FT a a= − ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0FS FT a a a a⋅ = − × − + − × =  AB x AB ( )( )0y k x a k= − ≠ 2 1 1,4 yA ya       2 2 2,4 yB ya       4 2 1 2 164 aFS FT a y y ⋅ = +  ( ) 2 4 y k x a y ax  = −  = 2 24 4 0ky ay ka− − = 2 1 2 4y y a= − ( ) 4 2 2 2 2 164 4 4 0 4 aFS FT a a a a ⋅ = + = − = −   ST F ( )y f x= 1x 2x ( ) ( )1 2 0f x f x+ =14 则称该函数为“ 函数”. (1)判断函数 是否为“ 函数”，并说明理由； (2)若函数 在定义域 上为“ 函数”，求 的取值范围； (3)已知函数 在定义域 上为“ 函数”.若存在实数 ，使得对任 意的 ，不等式 都成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2） ；（3） 或 . 【解析】(1) 不是为“ 函数”.若 ，当 或 时，满足 ， 此时 不唯一，所以 不是为“ 函数”. (2)因为函数 在 为増函数，且在 上为“ 函数”，所以 ，即 . 又因为 ，所以 .所以 .令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，即 . (3)若 图像对称轴 ，设 ，且 ， 关于 对称， 此时， ，由条件可知，存在 ，使 ，这与“ 函数”定义矛盾. 所以 在 上单调，且 ，由 ，得 ，解得 或 .检验： 在 上单调，所以 .不等式即 ， Y ( ) sinf x x= Y ( ) 2logg x x= [ ],m n Y 2m n+ ( ) ( )2 22 1 4h x x b x b= − + + − [ ]1,2− Y [ ]1,2x∈ − t R∈ ( ) ( )2 5 4h x t p t x≥ − + − − + p 2 3m n+ > 13 4p ≥ 1 2p ≤ − ( ) sinf x x= Y 1 6x π= 2 6x π= − 2 7 6x π= ( ) ( )1 2 0f x f x+ = 2x ( ) sinf x x= Y ( ) 2logg x x= [ ],m n [ ],m n Y ( ) ( ) 0g m g n+ = 1mn = 0 m n< < 0 1m< < 22m n m m + = + ( ) 2F m m m = + ( ) 2 2 2 2 21 mF m m m −′ = − = 0 1m< < ( ) 0F m′ < ( )F m ( )0,1 ( ) ( )1 3F m F> = 2 3m n+ > ( )h x ( )2 1 1,22 bx += ∈ − ( )1 2, 1,2x x ∈ − 1x 2x 2 1 2 bx += ( ) ( )1 2h x h x= 3x ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 0 0 h x h x h x h x + = + = Y ( )h x [ ]1,2− ( ) ( )1 2 0h h− + = ( ) ( )1 2 0h h− + = 2 2 0b b− − = 2b = 1b = − ( )h x [ ]1,2− 2b = ( )2 25 5 4x x t p t x− ≥ − + − − +15 整理得 ，由题意知，上式对任意 恒成立.得 ， 整理得 ，由题意知，存在 使得上式成立，所以 或 .解得 或 . 2 2 4 0t xt x px+ + − − ≥ t R∈ ( )2 24 4 0x x px− − − ≤ 23 4 16 0x px− − ≥ [ ]1,2x∈ − 3 4 16 0p+ − ≥ 12 8 16 0p− − ≥ 13 4p ≥ 1 2p ≤ −