河南省郑州市2020届高三数学（理）第二次质量预测试题（含答案Word版）

高三理科数学试题卷 第 1 页 （ 共 4 页 ） 2020 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本 大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 A = {x｜a +l≤x≤3a− 5} , B = {x|31; ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x2(x∈[0,1]) , 则Gini = 1 4; ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x3(x∈[0,1]),则Gini = 1 2 . 其中不正确的是： A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①② ④ 9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次 序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为 A. 96 B. 84 C. 120 D. 360 10. 已知等差数列{an} 的 公 差 d≠0 , 且 a1 , a3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, Sn 为数列{an }的前n项 和，则2Sn + 6 an + 3 的最小值为 A. 4 B. 3 C. 2 3 - 2 D.2 11. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马". 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 6π B. 2π C.6π D.24π 12.已知双曲线x2 a2 - y2 b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线y=- b ax和垂线，垂足为M,且 交双曲线的左支于N点，若 ，则该双曲线的离心率为 A. 3 B.2 C. 5 D. 7 二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分． 13. 二项式(x+ 2 x)6的展开式中的常数项为　　　　　． 14.已知函数f(x)＝− π 2x ，g ( x ) =x•cosx-sinx, 当x∈ [− 4π，4π]且x≠O 时，方程f ( x ) = g ( x) 根的个数是 . 15.已知四边形 ABCD 中，AD //BC, ∠BAD= 90°. AD=l ,BC=2 ,M是AB 边上的动点， 则｜｜｜ ｜的最小值为　　　　　　． 2FN FM=  MC MD+ 高三理科数学试题卷 第 3 页 （ 共 4 页 ） 16.设函数 的图象上存在两点 P，Q, 使得△POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围 是　　　　　　　　　　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. (12 分） 巳知数列{an}为公差不为零的等差数列，S7=77,且满足a112=a1•a61. (I) 求数列{ an} 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 { bn.}满足 , 且 ,求数列{bn}的前 n 项和Tn. 18. (1 2 分） 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同 举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过 投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方 面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学 生”。现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶 图，若规定票数在 65 票以 上（包括 65 票）定义为风华组．票 数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组． (I) 在这 30 名 学 生 中 ，青春组学生中有男生 7 人 ，风华组学生中有女生 12 人 ，试问 有 没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； ( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2 人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？ （III）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4 人，用ξ表示所选 4 人中青春组的人数，试写出ξ的 分 布列，并求出 ξ 的 数 学期 望． 19. (1 2 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将△ACD 折起，使得点 D 在平面ABC 内的 射影恰好落在边AB 上． 3 2 , ln , x x x e y x x em − + 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正 半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为 ( t 为参数）． (I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程， (II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点 ，且 |AB| ≥ 3 . 求实数 a 的取值范围． 23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分） 已知函数 f ( x) = lx + I l − a |x− 1 |. ( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若 f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值． 郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学 评分参考 一、选择题 BCCCA ABBBD CC ln 1( ) , ( ) ( 0)x xf x g x xa x += = > ( )f x x 1( ) ( )f x g x − 3 1, 4 3 x t y t = +  = +高三理科数学试题卷 第 5 页 （ 共 4 页 ） 二、填空题 13.160； 14.8； 15.3； 16. 三、解答题 17.(1)设等差数列 的公差为 ，则 ……………………3分 解得 ………………5分 (2)由 当 时， = …………………………8分 对 也适合， ………………………9分 …………………10分 12分 18. (I)作出 列联表： 青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 ………………………3分 由列联表数据代入公式得 ，…………………5分 因为1.83a ( ) 21 2 11 = + − +  k x x xa a a 41 ,a ∆ = − 0∆ ≤ 0 4< ≤a ( ) 0k x ≥ ( ) 0F x′ ≥ ( )F x ( )0,+∞ 0∆ > 4>a 21 2 11 0 + − + =  x xa a a 1 2x x< 1 20 1x x< < < 2 2 1 2 2 4 2 4,2 2  − − − − + −= =    a a a a a ax x ( )F x ( ) ( )1 20, , ,x x +∞ ( )1 2,x x 0a < ( )F x ( )0,+∞ 4>a ( )F x 2 22 4 2 4,2 2  − − − − + −    a a a a a a高三理科数学试题卷 第 8 页 （ 共 4 页 ） 单增区间是 当 时， 单增区间是 .………………………12分 22.（Ⅰ）C的直角坐标方程为 ， ………………………2分 消t得到 ………………………………………4分 （Ⅱ）要满足弦 及圆的半径为a可知只需圆心（0，a）到直线l的距离 即可。由点到直线 的距离公式有： …………7分 整理得： 即 解得： ， 故实数a的取值范围为 ……………………………………10分 23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝ ………………………3分 由f(x)的单调性及f(－4 3)＝f(2)＝5， 得f (x )＞5的解集为{x|x＜－4 3，或x＞2}．……………………………………5分 （Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分 由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1| 得 ≤1 2，得a≥1 2． 故a的最小值为1 2． ………………………………10分 2 22 4 2 40, , ,2 2    − − − − + − +∞          a a a a a a 0 4a< ≤ ( )F x ( )0, + ∞ 22 2( )y ax a+ =− 4 3 5 0x y− + = 3AB a≥ 1 2d a≤ 22 3 5 1 2( 3)4 a a − + ≤ + − 211 120 100 0,a a− + ≤ (11 10)( 10) 0a a− − ≤ 10 1011 a≤ ≤ 10 1011 a≤ ≤ 1 3 , 1, 3 , 1 1, 3 1, 1. x x x x x x − < −  − − ≤ ≤  − > | 1 | ,| 1 | | 3 | x x x + − + + | 1 | | 1 | | 3 | x x x + − + +