和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共 45 分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式：
如果事件 A，B 互斥,那么 如果事件 A，B 相互独立,那么
.
柱体的体积公式 . 锥体的体积公式 .
其中 表示柱体的底面积, 其中 表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{ ∈R|－1 5}，则(A∪B)∩C=（ ）
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{ ∈R|－1 5}
(2)设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
(3)已知过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
(4)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 （万元） 1 2 4 5
销售额 （万元） 10 26 35 49
x x
x x
x
y
• •
)()()( BPAPBAP += )()()( BPAPABP =
• ShV = • ShV 3
1=
S S
h h
≤ ≤
≤ ≤
Ra∈ 11 ≤−a 032 ≥+− aa
)2,2(P 5)1( 22 =+− yx 01=+− yax
a
2
1− 1 2 2
1根据上表可得回归方程 的 约等于 9，据此模型预报广告费用为 6 万元时，销
售额约为（ ）
A．54 万元 B．55 万元 C．56 万元 D．57 万元
(5)设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
(6)著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休”．如函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
(7)已知双曲线 (a>0，b>0)的左顶点与抛物线 的焦点的距离
为 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，则双曲线的焦
距为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
(8)已知函数 ，那么下列说法错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在 上恰有一个零点
C． 是周期函数 D． 在 上是增函数
(9)已知函数 ， ，设 为实数，若存在实数
，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
y b x a= ⋅ + b
2
| 1|, 7 0( )
ln ,
x xf x
x e x e−
+ − ≤ ≤= ≤ = ppxy
4 )1,2( −−
5 3 3 5
( ) cos | sin |f x x x= −
( )f x ( )f x [ ,0]π−
( )f x ( )f x [ ,0]π−第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共 11 小题，共 105 分。
二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上.
(10)设复数 满足 ，则 ______．
(11)二项式 的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）
(12) 在 直 三 棱 柱 中 ， 若 四 边 形 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 且
， 是 的中点，则三棱锥 的体积为______ ．
(13)一个口袋中装有大小相同的 2 个黑球和 3 个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑
球的概率是_____；若 X 表示摸出黑球的个数，则 E(X)＝______.
(14)已知 ， ，当 取得最小值为 _____ 时， ______．
(15)如图，在等腰 中， ,
与 分别是 的三等分点，且
, ,
.
三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(16) (本小题满分 14 分)
已知函数 f (x)＝
3
2 sin2x－cos2x－
1
2．
(Ⅰ)求 f (x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合；
(Ⅱ)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c＝ 3，f (C )＝0，
若 sinB＝2sinA，求 a，b 的值．
ABC△ 3AB AC= =
,D E ,M N ,AB AC
z ( )1 i 3 iz+ = − z =
8
3
12x
x
−
111 CBAABC − CCAA 11
5,3 == BCAB M 1AA 11 MBCA −
0a > 0b > ( )2 14a b ab
+ + =+ ba
1−=⋅MEDN =Atan则
=⋅ BCAB N
MD
E
CB
A
（第 15 题）（17）(本小题满分 14 分)
如图，在三棱柱 中，已知 ， 侧面
（Ⅰ）求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值；
（Ⅱ）在棱 （不包含端点 上确定一
点 的位置，使得 (要求说明理由).
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 ，求
二面角 的大小．
（18）(本小题满分 15 分)
已知点 是离心率为 的椭圆 ： 上的一点．斜率为
的直线 交椭圆 于 、 两点，且 、 、 三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求证：直线 、 的斜率之和为定值．
（Ⅲ） 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
（19）(本小题满分 16 分)
已知正项等比数列 满足 ， ，数列 满足 .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若 ，且对所有的正整数 都有 成立，求 的取值范围.
(20)(本小题满分 16 分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）当 时，设函数 ，若存在区间 ，使得函数
在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
1 1 1ABC A B C− 11, 2,BC BB= = AB ⊥ 1 1BB C C
1CC 1, )C C
E 1EA EB⊥
2AB =
1 1A EB A− −
0
1 90BCC∠ =
)2,1(A 2
2 C )0(12
2
2
2
>>=+ baa
y
b
x
2 BD C B D A B D
C
AB AD
ABD∆
{ }na 1 2a = 2 4 32a a a= − { }nb 21 2logn nb a= +
{ }na { }nb
n n nc a b= ⋅ { }nc n nS
0λ > n 22 2 n
n
bk a
λ λ− + > k
( ) ( ) ( )21 1 ln2 ax af x x x a R= − + + − ∈
0a = ( )f x
0a > ( )f x
0a = ( ) ( )g x xf x= [ ] 1, ,2m n ⊆ +∞
( )g x
[ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + − k
E C1
B1
A1
C
B
A和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷参考答案
一、选择题：(本题满分 45 分)
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C
二、填空题：(本题满分 30 分)
三、解答题：(本题满分 75 分)
(16) (本小题满分 14 分)
解: (Ⅰ)f (x) ＝ 3
2 sin2x－1＋cos2x
2 －1
2 ……………… (1 分)
＝ 3
2 sin2x－cos2x
2 －1……………… (2 分)
＝ ……………… (4 分)
当 2x－π
6＝2kπ－π
2，即 x＝kπ－π
6(k∈Z)时，f (x)的最小值为－2，…… (6 分)
此时自变量 x 的集合为：
． ……… (7 分)
(Ⅱ) ∵f (C)＝0，∴ ……………… (8 分)
又∵0+−=∆ m 2222 2q = 1
1 2n n
na a q −∴ = =
2 21 2log 1 2log 2 2 1n
n nb a n= + = + = +
( )2 1 2n
n n nc a b n= ⋅ = + ⋅
( )1 2 33 2 5 2 7 2 2 1 2n
nS n∴ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅
( ) ( )2 3 12 3 2 5 2 2 1 2 2 1 2n n
nS n n += ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + + ⋅
( )1 2 3 13 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n
nS n +− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − + ⋅
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 18 1 2
6 2 1 2 6 2 2 8 2 1 2 2 2 1 21 2
n
n n n nn n n
−
+ + + +
−
= + − + ⋅ = + ⋅ − − + ⋅ =− − − ⋅−
( ) 12 1 2 2n
nS n += − ⋅ +
( ) ( )1
1 1 1
1
2 3 4 22 3 2 1 1 2
2 2 2 2
n n
n n n n
n n
n nb b n n n
a a
+
+ + +
+
+ − ++ + −∴ − = − = =
1≥n 1 2 0n∴ − < 1
1
1
1 2 02
n n
n
n n
b b n
a a
+
+
+
−− = < 1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
<
n
n
b
a
n
n
b
a
1
1
3
2
b
a
=
λ 2 32 2 2kλ λ− + > 0λ >
12 2k λ λ∴ < +
1 12 2 2 22 2
λ λλ λ+ ≥ ⋅ = 1
2
λ =
2k∴ <
k ( ),2−∞
0a = ( ) ( )ln 0f x x x x= − > ( ) 1' 1f x x
= −
( )' 0f x = 11 0x
− = 1x =
( )' 0f x > 1x > ( )' 0f x < 0 1x< <
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )min 1 1f x f= =
0a > ( ) ( )21 1 ln2 ax xf xx a− + + −=
( ) ( )( )1 111' x axax a xf x x
− −= − + + − = −
……………………( 7 分)若 时， ， 单调递减，…………………( 6 分)
若 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
即 在区间 ， 上单调递减，在区间 上单调递增.……………( 8 分)
若 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
即 在区间 ， 上单调递减，在区间 上单调递增.……………(10 分)
综上，
时，函数 的减区间为 ，无增区间；
时，函数 的减区间为 ， ，增区间为 ；
时，函数 的减区间为 ， ，增区间为
（Ⅲ）当 时，设函数 .
令 ， ，
当 时， ， 为增函数，…………………( 11 分)
， 为增函数，…………………(12 分)
在区间 上递增，
∵ 在 上的值域是 ，
所以 在 上至少有两个不同
的正根 ， ，……………( 13 分)
令 ，求导 ，
令 ，
1a = ( )' 0f x ≤ ( )f x
1a > 1 1a
<
1x > 10 x a
< < ( )' 0f x < 1 1xa
< < ( )' 0f x >
( )f x 10, a
( )1,+∞ 1 ,1a
0 1a< < 1 1a
>
1x a
> 0 1x< < ( )' 0f x < 11 x a
< < ( )' 0f x >
( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
11, a
1a = ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, a
( )1,+∞ 1 ,1a
0 1a< < ( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
1 ,1a
0a = ( ) ( ) 2 lng x xf x x x x= = −
( )' 2 ln 1g x x x= − − ( ) ( )1 2 1'' 2 0xg x xx x
−= − = >
1
2x ≥ ( )'' 0g x ≥ ( )'g x
( ) 1' ' ln 2 02g x g ≥ = >
( )g x
( )g x [ ] 1, ,2m n ⊆ +∞
( )g x [ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + −
( ) ( )2 2g x k x= + − 1 ,2
+∞
1, 2m n m n > ≥
( ) 2
2
g xk x
+= +
( ) 2 ln 2
2
x x x
xF x = − +
+
( ) ( )
2
2
3 2ln
2
' 4x x x
x
F x
+ − −=
+
( ) 2 13 2ln 4 2G x x x x x = + − − ≥ 则 ，
所以 在 递增， ， ，
当 ， ，∴
当 ， ，∴ ，
所以 在 上递减，在 上递增，……………( 14 分)
∴ ， …………………………………( 15 分)
∴ .…………………………………………(16 分)
( ) ( )( )2 1' 22 12 3 2
x xx xx xG x
− + = + − = ≥
( )G x 1 ,2
+∞
1 02G
( )F x 1 ,12
[ )1,+∞
( ) 1
21F k F < ≤
9 ln 41, 10k
+ ∈
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