____________________________________________________________________________________________
高 2020 届春期高三复学联合诊断性考试
数学（理科）试卷
注意事项：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上.
4.考试结束后,将答题卷交回.
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、 选择题(本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)
1．已知集合 ,则 （ ）
A． B．
C．[ ， D．
2．已知 ,则“实数 均不为零”是“实数 成等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如果向量 与 共线且方向相反,那么实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 (其中 ,且 )可化为 ,则
应满足条件（ ）
A． B．
C． D．
2 2{ | 2}, { | 0}1
xA x x B x x
−= < = ≤+
tan b
a
ϕ =
2 2
cos a
a b
ϕ =
+
tan a
b
ϕ =
2 2
sin b
a b
ϕ =
+____________________________________________________________________________________________
5．已知 满足 ,则实数 a,b,c 满足（ ）
A． B． C．
D．
6．函数 是 上的偶函数,且 ,若 在 上单调递减,则函数 在
上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数
7．已知函数 的图像与直线 的某两个交点的横坐标分
别为 ,若 的最小值为 ,且将函数 的图象向右平移个单位后得到的函数
为奇函数,则函数 的一个递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为 上的可导函数,且有 ,则对于任意的 ,
当 时,有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示,正方体 中,点 分别为边 , 的
中点,过点 作一平面与线段 所在直线有一交点 ,若正方体边长为 ,则多面体
的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．设点 是以 为左、右焦点的双曲线 右支上一点,且满足
,直线 与圆 有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C． D．
12．已知函数 ,方程 有四个不相等实根,则 的取
32
3
64
3
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2
2 2
4
ax y+ =
3
2
3 2
4
10
4
10
2
2
3
4
3
2 2
3
2
3
Q
P
B1
C1D1
A1
CD
BA____________________________________________________________________________________________
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答；第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)
13．已知复数 满足 ,则 ________.
14．二项式 的展开式中，常数项为________.
15 ． 在 中 , 已 知 , , , 点 满 足 , 其 中
,则 的最小值为________.
16 ． 已 知 数 列 满 足 ： 对 任 意 , 且 , 其 中
,则使得 成立的最小正整数 为________.
三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分)
17．（12 分）已知函数
（1）求函数 的最小正周期;
（2）当 时,求函数 的最大值与最小值.
18 ．（12 分）如图所示, 平
2
2( ,1)e e
e e
−
+
2
2
1( , )e e
e e
− + +∞+
2
2( , )e e
e e
− +∞+
F
E
CD
B
A____________________________________________________________________________________________
面 ,
（1）求证： 平面 ;
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
19．（12 分）新型冠状病毒属于 β 属的冠状病毒，人群普遍易感, 病毒感染者一般有发热咳
嗽等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病
毒潜伏期一般为 1-14 天，大多数为 3-7 天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新
型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行
检查.某地区对与确诊患者有接触史的 1000 名人员进行检查,检查结果统计如下:
发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽
确诊患病 200 150 80 30
确诊未患病 150 150 120 120
（1）能否在犯错率不超过 0.001 的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊
患病有关。
临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.645 7.879 10.828
（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好
控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但
核酸检测或血清特异性免疫球蛋白 M 抗体检测阳性者）。根据防控要求，无症状感染
者虽然还没有最终确诊患 2019 新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医
学观察 14 天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未
有 临 床 症 状 ， 若 该 人 员 居 家 隔 离 第 天 出 现 临 床 症 状 的 概 率 为 ，
，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立
刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若 14 天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，
E BD F− −
( )2P K k>
k
k
101
2
k−
( )11,12,13,14k =____________________________________________________________________________________________
求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天） 的分布列以及数学期望值。
（保留小数点后两位）
20．（12 分）已知函数 在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求 的取值范围;
（2）设两个极值点分别为 ,且 ，证明：
21．（12 分）已知 为抛物线 上的一点， 为抛物线上异于点 的两
点，且直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数.
（1）求直线 的斜率;
ξ
1 2x x＜____________________________________________________________________________________________
（2）设直线过点 并交抛物线于 两点，且 ，直线 与 轴
交于点 ，试探究 与 的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说
明理由.____________________________________________________________________________________________
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10 分）在平面直角坐标系 中,已知曲线 的参数方程为： ( 为参数),
直线 ,以坐标原点 为极点, 轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线 的极坐标方程;
（2）若直线与曲线 交于 两点,求 的取值范围.
23．（10 分）已知已知函数
（1）求不等式 恒成立,求 的范围;
（2）若 ,且对 ,总存在 ,使得 ,求实数 的取值
范围.
a____________________________________________________________________________________________
参考答案：
一、选择题：
1——5： BAACA 6——10：DCBAD 11——12： CC
二、填空题：
13、 14、 15、 16、298
三、解答题：
17、（1）解：由题有， 4 分
故函数 的最小正周期 6 分
（2）当 时， 12 分
18、（1）证明：∵ 面
∴ 面 2 分
同理： 面
又 面 面
故面 面 4 分
且 面
故 面 6 分
（2）解：由题可知， 两两互相垂直，故可以以 为 轴， 为 轴，
为 轴建立空间直角坐标系，且
若设平面 的法向量为 ，则由 可得： 8 分
同理：若设平面 的法向量为 ，则由 可得： 10 分
1 2
5
i+− 40 2 3 5
5
( )
2
1 32 sin cos cos2 2
sin cos 3 cos
1 cos2 1sin 2 32 2
3sin 2 3 2
f x x x x
x x x
xx
x
π
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
+= + ⋅
= + +
( )f x T π=
,4 4x
π π ∈ −
( )max
31 2f x = + ( )min
3 1
2f x
−=
CF AE∥ CF ⊄ ADE
CF∥ ADE
BC∥ ADE
CF BC C= CF ⊂ BCF BC ⊂ BCF
BCF∥ ADE
BF ⊂ BCF
BF∥ ADE
, ,AB AD AE AB x AD y
AE z ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,2 , 0,1,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 1,2,1E D B C F
EDB u 0
0
u ED
u EB
⋅ = ⋅ =
( )= 2,2,1u
FDB v 0
0
v FD
v FB
⋅ = ⋅ =
( )= 1,1, 2v −____________________________________________________________________________________________
所以 11 分
即二面角 的余弦值为 12 分
19、（1）由表可得，患者有发热症状与确诊的 2╳2 列联表如下：
发热 不发热 合计
确诊 350 110 460
未确诊 300 240 540
合计 650 350 1000
（这里可以酌情考虑给分，3 分，主要是把发热归为一类）
由公式可得：
4 分
故在犯错率不超过 0.001 的情况下,有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热
症状与最终确诊患病有关。 5 分
（2）由题可知，随机变量 可以取值：11,12,13,14 6 分
其分布列为：
11 12 13 14
一个一分 11 分
其数学期望为： 12 分
20、（1）由题意可知， 的定义域为
且 1 分
令
则函数 在定义域内有两个不同的极值点等价于 在区间 内至少
有两个不同的零点
由 可知，
当 时， 恒成立，即函数 在 上单调，不符合题意，舍
6cos , 9u v =
E BD F− − 6
9
( )2
2 1000 350 240 300 110= 460 540 650 350K
× × − ×
× × ×
10404000
226044
= ≈ 46.02 10.828>
ξ
ξ
P 1
2
1 1 1
2 4 8
× = 1 3 1 3=2 4 8 64
× × 1 3 7 21
2 4 8 64
× × =
( ) 781= 12.2064E ξ ≈
( )f x ( )0 + ∞，
( ) ln 2f x a x x′ = −
( ) ( )ln 2 0g x a x x x= − >
( )f x ( )g x ( )0 + ∞，
( ) 2a xg x x
−′ =
0a ≤ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0 + ∞，____________________________________________________________________________________________
去。 3 分
当 时，由 得， ，即函数 在区间 上单调递增；
由 得， ，即函数 在区间 上单调递减；
故要满足题意，必有 解得： 6 分
（2）证明：由（1）可知，
故要证：
只需证明： 9 分
即证： 不妨设 ，即证
构造函数： 其中
由 ， 所 以 函 数 在 区 间 内 单 调 递 减 ， 所 以
得证 11 分
即证： 12 分
或者（2）证明：由（1）可知，
故要证：
只需证明： 9 分
而由（1）可知
故上式 成立 11 分
即证： 12 分
0a > ( ) 0g x′ > 0 2
ax< < ( )g x 0 2
a
，
( ) 0g x′ <
2
ax > ( )g x ,2
a +∞
ln 02 2
a ag a a = − > 2a e>
1 1
2 2
ln 2
ln 2
a x x
a x x
=
=
( ) ( ) 2 2
1 2 1 22f x f x x x+ < − +
( )2
1 1 22
ax x x< +
2 2
2 2 1
1
2
1
ln
x xx x
x
−< 1 20 x x< <
2
2 2
1 1
ln 1x x
x x
< −
( ) ( )2ln 1 1h t t t t= − + > 2
1
xt x
=
( ) 21 2 0th t t
−′ = < ( )h t ( )1 + ∞，
( ) ( )1 0h t h< =
( ) ( ) 2 2
1 2 1 22f x f x x x+ < − +
1 1
2 2
ln 2
ln 2
a x x
a x x
=
=
( ) ( ) 2 2
1 2 1 22f x f x x x+ < − +
( )2
1 1 22
ax x x< +
10 2
ax< <
( ) ( ) 2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 12
a x x x x x x x x x+ > + = + >
( ) ( ) 2 2
1 2 1 22f x f x x x+ < − +____________________________________________________________________________________________
21、已知 为抛物线 上的一点， 为抛物线上异于点 的两点，
且直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数。
（1）求直线 的斜率；
（2）设直线 过点 并交抛物线于 两点，且 ，直线
与 轴交于点 ，试探究 与 的夹角是否为定值，若是则求出定值。
解析：（1）设
因为点 为抛物线 上的一点，所以 1 分
同时，有
3 分
因为直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数
即 即 4 分
故 5 分
（2）设直线 的方程为
代入 得
所以 6 分
因为 ，且
所以 7 分
由题可知，
( )1,2A ( )2 2 0y px p= > ,E F A
AE AF
EF
l ( ),0M m ,P Q ( )0PM MQλ λ= >
x m= − x N NM NP NQλ−
( ) ( )1 1 2 2, , ,E x y F x y
( )1,2A ( )2 2 0y px p= > 2 4y x=
2
1 14y x= 2
2 24y x=
1
1 1
2 4
1 2AE
yk x y
−= =− +
2
2 2
2 4
1 2AF
yk x y
−= =− +
AE AF
1 2
4 4
2 2y y
= −+ + 1 2 4y y+ = −
2 1
2 1 2 1
4 1EF
y yk x x y y
−= = = −− +
l :l x ty m= + ( ) ( ) ( )3 3 4 4, , , , ,0P x y Q x y N m−
2 4y x= 2 4 4 0y ty m− − =
3 4 3 44 , 4y y t y y m+ = = −
( ) ( )3 3 4 4, , ,PM m x y MQ x m y= − − = − ( )0PM MQλ λ= >
3
3 4
4
, yy y y
λ λ− = = −
( ) ( )
( )( )
3 3 4 4
3 4 3 4
2 2
3 4
3 4
, ,
,
= ,4 4
NP NQ x m y x m y
x m x m y y
y ym m y y
λ λ
λ λ
λ λ
− = + − +
= + − + −
+ − + −
____________________________________________________________________________________________
又
所以
又 所以
所以 即 与 的夹角为 12 分
22、（1）解：由曲线 的普通方程为：
得曲线 的极坐标方程为： 5 分
（2）解：由直线 可得其极坐标方程：
代入曲线 的极坐标方程得： 6 分
可得：
故
8 分
故 10 分
23、（1）由题可知， 2 分
故 解之得： 5 分
（2）由题可知，函数 的值域包含 的值域，
即 7 分
解得： 10 分
( )
2 22 2
3 3 34 4
4
2
3 3 4 3
4
2
3 4 3
4
3 3 4
4
=4 4 4 4
4 4
4
4
4 04
y y yy ym m m my
y y y ym m y
y y my m my
y y y m
y
λ + − + + + +
= + + +
+= + −
+= =
( )3 40,NP NQ y yλ λ− = −
( )= 2 ,0NM m ( ) 0NM NP NQλ⋅ − =
( )NM NP NQλ⊥ − NM NP NQλ−
2
π
C ( )2 21 4x y− + =
C 2 2cos 3 0ρ θρ− − =
( )0y kx k= > = 0 2 R
πθ α α ρ ∈ ∈
， ， ，
C 2 2cos 3 0ρ αρ− − =
1 2= =OA OBρ ρ，
( ) ( )2
1 2 1 2= + = 2cos 4 3OA OB ρ ρ ρ ρ α+ − = − × −
24cos 12 2cos2 14α α= + = +
( )2 3,4OA OB+ ∈
1+a≥
1 3a+ ≥ 4 2a a≤ − ≥或
( )g x ( )f x
2
1+ 1 4
aa ≥ −
2 2 3 0a a≤ − ≥或
微信/支付宝扫码支付