八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．使二次根式 有意义的 a 的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≠5 C．a≥5 D．a≤5
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3 ﹣ ＝3 B．2+ ＝2 C． ＝﹣2 D． ＝2
4．直角三角形两边长分别为为 3 和 5，则另一边长为（ ）
A．4 B． C． 或 4 D．不确定
5．下列四组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，15.17
6．下列条件中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
7．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的面积相等
B．相等的两个实数的平方也相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．直角都相等
8．如图，菱形 ABCD 的一边中点 M 到对角线交点 O 的距离为 5cm，则菱形 ABCD 的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）
，把一根长为 2017 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在 A 处，并
按 A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（
）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
10．已知菱形 ABCD 中，∠ADC＝120°，N 为 DB 延长线上一点，E 为 DA 延长线上一点，且 BN＝
DE，连 CN、EN，点 O 为 BD 的中点，过 O 作 OM⊥AB 交 EN 于 M，若 OM＝ ，AE＝1，
则 AB 的长度为（ ）
A． B．2 C． D． +3
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．计算： ＝ ．
12．如图，一根 16 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 两点，PQ＝8 厘米，且 RP⊥PQ，
则 RQ＝ 厘米．
13．若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得四边形为矩形，则四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 之间
的关系为 ．
14．对于两个实数 a、b，定义运算@如下：a@b＝ ，例如 3@4＝ ．那么 15@x2＝4，则 x
等于 ．
15．平行四边形 ABCD 中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形 ABCD 的面积为 48，则对角线 BD 的长
为 ．
16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以 AB、BC、AC 为边作正方 ABED
、BCFK、ACGH，再作 Rt△PQR，使∠R＝90°，点 H 在边 QR 上，点 D、E 在边 PR 上，点 G、
F 在边 PQ 上，则 PQ 的长为 ．
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（8 分）计算：
（1）（4 ﹣3 ）
（2） +6
18．（8 分）已知 a＝ +2，b＝2﹣ ，求下列各式的值：
（1）a2+2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
19．（8 分）已知：如图，A、C 是平行四边形 DEBF 的对角线 EF 所在直线上的两点，且 AE＝CF．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
20．（8 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形 ABCD
的面积．
21．（8 分）在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AB、CD 于 M，N．
（1）求证：AM+DN＝AD；
（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2 ，BD＝2 ，求 MN 的长度．
22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm
，点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B
运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒．
（1）当 t＝4.8 秒时，四边形 PQCD 是怎样的四边形？说明理由；
（2）当 PQ＝17 时，求 t 的值．
23．（10 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ADE，使 AE
＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图 1，当点 E 落在 AC 上时，求∠ADE 的度数（用 α 表示）；
（2）如图 2，以 AB，AE 为边作平行四边形 ABFE，若点 F 恰好落在 ED 的延长线上，EF 交 AC 于
点 H，求 的值；
（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接 CE，则 CE＝ ．
24．（12 分）已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为直线 BC 上一点．
（1）如图 1，当 E 在线段 BC 上，且 DE＝AD 时，求 BE 的长；
（2）如图 2，点 E 为 BC 边延长线上一点，若 BD＝BE，连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 AM、CM
，求证：AM⊥CM；
（3）如图 3，在（2）的条件下，P、Q 为 AD 边上两个动点，且 PQ＝ ，连接 P、B、M、Q，则四
边形 PBMQ 周长的最小值为 ．
2016-2017 学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．使二次根式 有意义的 a 的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≠5 C．a≥5 D．a≤5
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于 0 列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，5﹣a≥0，
解得 a≤5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式
无意义．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、 ＝2 ，故不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 ，是最简二次根式，符合题意；
C、 ＝|a|，故不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 ＝ ，故不是最简二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3 ﹣ ＝3 B．2+ ＝2 C． ＝﹣2 D． ＝2
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．
【解答】解：A、3 ﹣ ＝2 ，故此选项错误；
B、2+ 无法计算，故此选项错误；
C、 ＝2，故此选项错误；
D、 ＝2 ，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的 hi 额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．直角三角形两边长分别为为 3 和 5，则另一边长为（ ）
A．4 B． C． 或 4 D．不确定
【分析】由于此题没有明确斜边，应考虑两种情况：5 是直角边或 5 是斜边，根据勾股定理进行计
算．
【解答】解：5 是直角边时，则第三边＝ ＝ ，
5 是斜边时，则第三边＝ ＝4，
故有两种情况 或 4．
故选：C．
【点评】此题关键是要考虑两种情况，熟练运用勾股定理．
5．下列四组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，15.17
【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数
的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数的一组；
B、22+32≠42，不是勾股数的一组；
C、52+122＝132，是勾股数的一组；
D、82+152＝172，是勾股数的一组．
故选：B．
【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
6．下列条件中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对
边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即
可．
【解答】解：
A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A++∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠B+2∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误；
B、根据 AB＝AD，CB＝CD 不能推出四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项正确；
D、由 AB∥CD，AD＝BC 也可以推出四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理和等腰梯形的判定的应用，注意：平行四边形的判定
定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平
行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，等腰梯形的定义是两腰相等的梯形．
7．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的面积相等
B．相等的两个实数的平方也相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．直角都相等
【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定
义分别对各逆命题进行判断．
【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以 A 选项
错误；
B、相等的两个实数的平方也相等的逆命题为平方相等的两个实数相等或相反，所以 B 选项错误；
C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以 C 选项正确；
D、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以 D 选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称
为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
8．如图，菱形 ABCD 的一边中点 M 到对角线交点 O 的距离为 5cm，则菱形 ABCD 的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【分析】根据菱形的性质得出 AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，根据三角形的中位线求出 BC，即可
得出答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，
∵AM＝BM，
∴BC＝2MO＝2×5cm＝10cm，
即 AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，
即菱形 ABCD 的周长为 40cm，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出 AO＝OC 是解此题
的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）
，把一根长为 2017 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在 A 处，并
按 A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（
）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【分析】根据点 A、B、C、D 的坐标可得出 AB、BC 的长度以及四边形 ABCD 为矩形，进而可求出
矩形 ABCD 的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置，此题
得解．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，且四边形 ABCD 为矩形，
∴矩形 ABCD 的周长 C 矩形 ABCD＝2（AB+BC）＝10．
∵2017＝201×10+7，AB+BC+CD＝7，
∴细线的另一端落在点 D 上，即（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标、矩形的判定以及矩形的周长，根据矩形的周长结合细线的
长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．
10．已知菱形 ABCD 中，∠ADC＝120°，N 为 DB 延长线上一点，E 为 DA 延长线上一点，且 BN＝
DE，连 CN、EN，点 O 为 BD 的中点，过 O 作 OM⊥AB 交 EN 于 M，若 OM＝ ，AE＝1，
则 AB 的长度为（ ）
A． B．2 C． D． +3
【分析】解法 1：连接 CM，CO，CE，判定△EDC≌△NBC，即可得到∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，
进而得出△ECN 为等边三角形，依据∠CMO＝∠CED，∠CDE＝∠COM＝120°，可得△CDE∽△
COM，再根据相似三角形的性质，即可得到 AD，AB 的长．
解法 2：延长 BD 至 F，使得 DF＝BN＝DE，连接 EF，延长 CD 交 EF 于 G，利用三角形中位线定理
可得 EF 的长，依据等腰三角形的性质，即可得到 EG 的长，再根据∠DEG＝30°，即可得到 DE
的长，进而得出 AD 的长．
【解答】解：如图，连接 CM，CO，CE，
∵菱形 ABCD 中，∠ADC＝120°，N 为 DB 延长线上一点，
∴∠ADC＝∠NBC＝120°，CD＝CB，而 DE＝BN，
∴△EDC≌△NBC（SAS），
∴∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，
又∵∠DCE+∠ECB＝60°，
∴∠BCN+∠ECB＝60°，
∴∠ECN＝60°，
∴△ECN 为等边三角形，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNM+∠COM＝180°，
∴M，N，O，C 四点共圆，
∴∠CNB＝∠CMO，
又∵∠CNB＝∠CED，
∴∠CMO＝∠CED，
又∵∠CDE＝∠COM＝120°，
∴△CDE∽△COM，
∴ ，即 ，
解得 DE＝1+ ，
又∵AE＝1，
∴AD＝ ＝AB，
解法 2：如图，延长 BD 至 F，使得 DF＝BN＝DE，连接 EF，延长 CD 交 EF 于 G，则
∠EDG＝180°﹣120°＝60°，∠FDG＝∠CDB＝60°，
∴DG 平分∠EDF，
∴DG⊥EF，
∵OM⊥AB，EF⊥CD，AB∥CD，
∴OM∥EF，
又∵O 是 BD 的中点，DF＝BN，
∴O 是 FN 的中点，
∴M 是 EN 的中点，
∴FE＝2OM＝3+ ，
∴GE＝ ，
又∵∠DEG＝30°，
∴Rt△DEG 中，DE＝ ＝ +1，
∴AD＝DE﹣AE＝ ，
∴AB＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
以及菱形的性质的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，
必要时添加适当辅助线构造三角形．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．计算： ＝ ．
【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
12．如图，一根 16 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 两点，PQ＝8 厘米，且 RP⊥PQ，
则 RQ＝ 10 厘米．
【分析】根据题意可知△PRQ 为直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：设 RQ＝x，则 RP＝16﹣x，
∵RP⊥PQ
∴△PRQ 为直角三角形
因为 PQ＝8 厘米，RQ＝x，RP＝16﹣x，
由勾股定理得 PQ2+RP2＝RQ2
即 82+（16﹣x）2＝x2
解得 x＝10，
即 RQ＝10 厘米．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．
13．若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得四边形为矩形，则四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 之间
的关系为 AC⊥BD ．
【分析】这个四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的
图形，如图所示，由四边形 EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又 EF
为三角形 ABD 的中位线，根据中位线定理得到 EF 与 DB 平行，根据两直线平行，同旁内角互补
得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到 EH 与 AC 平行，再根据两直线平行，同旁
内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到 AC 与 BD 垂直．
【解答】证明：∵四边形 EFGH 是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵点 E、F、分别是 AD、AB、各边的中点，
∴EF 是三角形 ABD 的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点 E、H 分别是 AD、CD 各边的中点，
∴EH 是三角形 ACD 的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即 AC⊥BD．
故答案为：AC⊥BD．
【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：
借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题
设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“
逼出来”．
14．对于两个实数 a、b，定义运算@如下：a@b＝ ，例如 3@4＝ ．那么 15@x2＝4，则 x
等于 ±4 ．
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵15@x2＝4，
∴ ＝4，
则 ＝4，
解得：x＝±4．
故答案为：±4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．
15．平行四边形 ABCD 中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形 ABCD 的面积为 48，则对角线 BD 的长
为 2 ．
【分析】连接AC、BD 交于点 O，作 AH⊥BC 与 H．首先证明点 H 与点 C 重合，再利用勾股定理求
出 OB 即可．
【解答】解：连接 AC、BD 交于点 O，作 AH⊥BC 与 H．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD＝8OA＝OC，OB＝OD，
∵S 平行四边形 ABCD＝48，
∴BC•AH＝48，
∴AH＝6，
∴BH＝ ＝8
∴BC＝BH，
∴点 H 与点 C 重合，
∴OC＝OA＝3，
OB＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以 AB、BC、AC 为边作正方 ABED
、BCFK、ACGH，再作 Rt△PQR，使∠R＝90°，点 H 在边 QR 上，点 D、E 在边 PR 上，点 G、
F 在边 PQ 上，则 PQ 的长为 2 +7 ．
【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF＝∠BAC＝30°，
在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角
函数就可求得 QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函数即可得到 RP、进而可求出 PQ 的长．
【解答】解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP．
在△ABC 和△GFC 中
，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF＝∠BAC＝30°，
∴∠HGQ＝60°，
∵∠HAC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAH＝180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH＝180°，
∴∠RHA＝∠BAC＝30°，
∴∠QHG＝60°，
∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，
∴△QHG 是等边三角形．
AC＝BC•tan60°＝ ，
则 QH＝HA＝HG＝AC＝ ，
在直角△HMA 中，HM＝AH•sin60°＝ × ＝ ，AM＝HA•cos60°＝ ，
在直角△AMR 中，MR＝AD＝AB＝2．
∴QR＝ + +2＝ + ，
∴QP＝2QR＝2 +7．
故答案为：2 +7．
【点评】本题考查了勾股定理和含30 度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合
性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（8 分）计算：
（1）（4 ﹣3 ）
（2） +6
【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣ ；
（2）原式＝2 +3
＝5 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根
式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式
的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（8 分）已知 a＝ +2，b＝2﹣ ，求下列各式的值：
（1）a2+2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】根据 a，b 的值求出 a+b 和 a﹣b 的值，（1）根据完全平方公式和（2）根据平方差公式对
要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵a＝ +2，b＝2﹣ ，
∴a+b＝4，a﹣b＝2 ，
（1）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2 ＝8 ．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，根据a，b
的值求出 a+b 和 a﹣b 的值是解题的关键．
19．（8 分）已知：如图，A、C 是平行四边形 DEBF 的对角线 EF 所在直线上的两点，且 AE＝CF．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【分析】连接BD，交 AC 于点 O，欲证明证明四边形 ABCD 是平行四边形，只需证得 AO＝CO，DO
＝BO．
【解答】证明：如图，连接 BD，交 AC 于点 O．
∵四边形 DEBF 是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF．
又∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，即 OA＝OC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
【点评】本题考查了平行四边的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握平行四
边形的判定方法，属于中考常考题型．
20．（8 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形 ABCD
的面积．
【分析】连接 AC，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，在 Rt△ACD 中根据勾股定理求出 AC 的长，由等腰
三角形的性质得出 AE＝BE＝ AB，在 Rt△CAE 中根据勾股定理求出 CE 的长，再由 S 四边形 ABCD
＝S△DAC+S△ABC 即可得出结论．
【解答】解：连接 AC，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E．
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°．
在 Rt△ACD 中，AD＝5，CD＝12，
AC＝ ＝ ＝13．
∵BC＝13，
∴AC＝BC．
∵CE⊥AB，AB＝10，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×10＝5．
在 Rt△CAE 中，
CE＝ ＝ ＝12．
∴S 四边形 ABCD＝S△DAC+S△ABC＝ ×5×12+ ×10×12＝30+60＝90．
【点评】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅
助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（8 分）在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 MN 分别交 AB、CD 于 M，N．
（1）求证：AM+DN＝AD；
（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2 ，BD＝2 ，求 MN 的长度．
【分析】（1）证明△AOM≌△CON，可得结论；
（2）证明△AOM∽△ABO，列比例式： ，可得 OM 的长，由（1）中的全等可得：MN＝2OM
，代入可得 MN 的长．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO＝OC，AB∥CD，AD＝CD，
∴∠MAC＝∠NCA，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴AM＝CN，
∴DC＝DN+CN＝DN+AM，
∴AD＝AM+DN；
（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABO＝∠OBC，AC⊥BD
∵AC＝2 ，BD＝2 ，
∴AO＝ ，OB＝ ，
由勾股定理得：AB＝ ＝3，
∵∠AOM＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠AOM，
∵∠BAO＝∠MAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴ ，
∴ ，
∴OM＝ ，
∴MN＝2OM＝2 ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定
与性质的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得
到线段的长．
22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm
，点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B
运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒．
（1）当 t＝4.8 秒时，四边形 PQCD 是怎样的四边形？说明理由；
（2）当 PQ＝17 时，求 t 的值．
【分析】（1）分别根据时间和速度得 PD 和 CQ 的长，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）先计算 t 的时间：0≤t≤ ，分两种情况：图 1 和图 2，根据勾股定理可计算 t 的值．
【解答】解：（1）四边形 PQCD 为平行四边形，理由是：
根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则 PD＝AD﹣PA＝24﹣2t．
当 t＝4.8 时，PD＝24﹣2×4.8＝14.4，CQ＝3t＝3×4.8＝14.4，
∴PD＝CQ，
∵AD∥BC，
即 PQ∥CD，
∴四边形 PQCD 为平行四边形；
（2）有两种情况：
①如图 1，过 A 作 AE∥PQ，交 BC 于 E，
∵AP∥EQ，
∴四边形 AEQP 是平行四边形，
∴AP＝EQ＝2t，
∴BE＝26﹣5t，
Rt△ABE 中，AB2+BE2＝AE2，
82+BE2＝172，
∴BE＝15，
即 26﹣5t＝15，
解得：t＝
②如图 2，过 B 作 BE∥PQ，交 AD 于 E，
同理得 AE＝15，即 2t﹣（26﹣3t）＝15，t＝ ，
∵P 运动的总时间为 24÷2＝12，Q 运动的总时间为：26÷3＝ ＞ ，
∴0≤t≤ ，
综上，当 PQ＝17 时，t 的值为 秒或 秒．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、勾股定理及动点运动问题，本题难度适
中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．（10 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ADE，使 AE
＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图 1，当点 E 落在 AC 上时，求∠ADE 的度数（用 α 表示）；
（2）如图 2，以 AB，AE 为边作平行四边形 ABFE，若点 F 恰好落在 ED 的延长线上，EF 交 AC 于
点 H，求 的值；
（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接 CE，则 CE＝ 6 ．
【分析】（1）由在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°﹣2α，又由 AE＝AD，∠
DAE+∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE 的度数；
（2）由四边形 ABFE 是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90
°，证得 AD⊥BC，又由 AB＝AC，根据三线合一的性质知 BD＝CD，从而知 DH 是三角形的中
位线，即 DH＝HC＝ AB，结合 HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣ AB＝ AB 可得答案；
（3）由∠ADE＝45°知∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°、∠BAC＝∠DAE＝90°，从而得∠BAD
＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE 即可得．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠B＝∠C＝α，
则∠BAC＝180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2a，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝ ＝90°﹣α；
（2）∵四边形 ABFE 是平行四边形，
∴EF∥AB、EF＝AB，
∴∠HDC＝∠B＝∠C＝α，
∴HC＝HD，
∵∠ADE＝90°﹣α，
∴∠ADC＝∠ADE+∠HDC＝90°，即 AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
由 DH∥AB 知 DH 是△CAB 的中位线，
∴DH＝ AB，
∴HC＝ AB，
则 HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣ AB＝ AB，
∴HC＝HE+DF，
∴ ＝1；
（3）当∠ADE＝45°，即 90°﹣α＝45°时，α＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行四边形的性
质、全等三角形的判定与性质等知识点．
24．（12 分）已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为直线 BC 上一点．
（1）如图 1，当 E 在线段 BC 上，且 DE＝AD 时，求 BE 的长；
（2）如图 2，点 E 为 BC 边延长线上一点，若 BD＝BE，连接 DE，M 为 DE 的中点，连接 AM、CM
，求证：AM⊥CM；
（3）如图 3，在（2）的条件下，P、Q 为 AD 边上两个动点，且 PQ＝ ，连接 P、B、M、Q，则四
边形 PBMQ 周长的最小值为 ＝ ．
【分析】（1）先求出 DE＝AD＝4，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）先判断出∠BMD＝90°，再判断出△ADM≌△BCM 得出∠AMD＝∠BMC，即可得出结论；
（3）由于 BM 和 PQ 是定值，只要 BP+QM 最小，利用对称确定出 MG'就是 BP+QM 的最小值，最
后利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，
∴DE＝AD＝4，
在 Rt△CDE 中，CE＝ ＝ ，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣ ；
（2）如图 2，连接 BM，
∵点 M 是 DE 的中点，
∴DM＝EM，
∵BD＝BE，
∴BM⊥DE，
∴∠BMD＝90°，
∵点 M 是 Rt△CDE 的斜边的中点，
∴DM＝CM，
∴∠CDM＝∠DCM，
∴∠ADM＝∠BCM
在△ADM 和△BCM 中， ，
∴△ADM≌△BCM．
∴∠AMD＝∠BMC，
∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，
∴AM⊥CM；
（3）如图，
过点 Q 作 QG∥BP 交 BC 于 G，作点 G 关于 AD 的对称点 G'，连接 QG'，当点 G'，Q，M 在同一条
线上时，
QM+BP 最小，而 PQ 和 BM 是定值，
∴此时，四边形 PBMQ 周长最小，
∵QG∥PB，PQ∥BG，
∴四边形 BPQG 是平行四边形，
∴QG＝BP，BG＝PQ＝ ，
∴CG＝
如图 2，在 Rt△BCD 中，CD＝3，BC＝4，
∴BD＝5，
∴BE＝5，
∴BG＝BE﹣BG＝ ，CE＝BE﹣BC＝1，
∴HM＝ + ＝2，HG＝ CD＝ ，
在 Rt△MHG'中，HG'＝3+ ＝ ，HM＝4，
∴MG'＝ ＝ ，
在 Rt△CDE 中，DE＝ ＝ ，
∴ME＝ ，
在 Rt△BME 中，BM＝ ＝ ，
∴四边形 PBMQ 周长最小值为 BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+PM＝ + +
＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等
腰三角形的性质，对称性，确定出 BP+QM 的最小值是解本题的关键．
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