安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 带全解全析

2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科） 命题：安庆市高考命题研究课题组 第 I 卷 一、 选择题：本 题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则下列判断正确的是 A. 的虚部为 B. C. D. 3. 设 ： ， ： ，则 是 成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 函数 的大致图象是 { }01>+= xxA { }0652 p q 1 sin)( 2 −= x xxxf5. 等比数列 的前 项和为 .若 ， ，则 A. B. C. D. 6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精 神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活 消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计 图. 对所列年份进行分析，则下列结论错误的是 A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增 长比率 7. 已知矩形 ， ， ， 分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折起,使 ，则过 ， ， ， ， ， 六点的球的表面 积为 A. B. C. D. 8. 已知函数 （ ）的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 （ ）个单位，所得图象关于 对称，则实数 的最小值为 A． B． C． D． { }na n nS 2 563 2aaa = 2 15 4 =S =+ 42 aa 2 3 2 5 32 40 ABCD 2 4AB AD= = E F AB CD AEFD EF 120=∠AEB A B C D E F 5 π2 5π 10π 20π xxf ω2sin2)( = 0ω > π x m 0>m π 3x = m π 4 π 3 3π 4 π9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所 示 是 判 断 2000 ～ 3000 （ 包 括 2000，但不包括 3000）年中哪些 年份是闰年的程序框图，那么由 框图可知，在 2000～3000 年中 年份是闰年的个数是 A.241 B.242 C.243 D.244[来源:学& 科&网 Z&X&X&K] 10. 已知抛物线 （ ）的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，过点 作圆 的切线，切点分别为 ， . 若 ，则 的值为 A. B. C. D. 11. 棱长为 1 的正方体 中， 分别为 的中点，现有下列结 论：① ；② 平面 ；③ 平 面 ；④四面体 的体积等于 .其中正确 的是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 12. 函数 恰有两个零点 ， ，且 . 则 所在区间为 A. B. C. D. 2: 2C y px= 0p > F x K K 2 2 2 2 4 p px y − + =   A B 3AB = p 1 3 2 3 1111 DCBAABCD − QP， BCDC ,11 1// BDPQ //PQ DDBB 11 ⊥PQ CAB1 PQBD −1 24 1 axxxf −= ln)( 1x 2x 1 2 F E F E 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 2 0y y ≠ AB x 3AB = E : 2l x a= x G B x l C AC FG21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （ ）. （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）当 时，对任意的 ， ，且 ，都有 ，求实数 的取值范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标 系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标 系中取相同的长度单位.已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）. （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点， ，且 ，求 的 值． 23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 ， ，且 (Ⅰ)若 对于任意的正数 , ,不等式 ≤ 恒成立，求实数 的取值范围； (Ⅱ)证明： . ( ) 21( ) ln 1 12f x a x a x= + − + Ra∈ ( )f x 1a = − 1x ( )2 0x ∈ + ∞， 21 xx ≠ 21 21 1221 )()( xmxxx xfxxfx >− − m x C 0sin4 =− θρ l 1 2 31 2 x t y t  =  = + t l C l C A B (0 1)M ， MBMA > MBMA 11 − 0a > 0b > .122 =+ ba a b 12 −x 22 11 ba + x 1))(11( 55 ≥baba ++ ，2020 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理科）参考答案 第 I 卷 二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A A B D D B C C C D 1.A.解析 ： ， ，所以 .故选 A. 【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元 二次不等式解集的计算方法. 2.C. 解 析 ： ， 其 虚 部 为 ， A 错 ； ， B 错 ； ，C 正确； ，D 错误.故选 C. 【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 3.A.解析： ： ， ： ，而 ，所以 是 成立的 充分不必要条件.故选 A. 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力. 4.A.解析：函数 的定义域为 ，且为偶函数，排除选择支 ；当 时， ，排除 B，故选 A. 【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力. 5.B.解析：设公比为 ，则 ，所以 ， ，解得 ， ， ， ，故选 B. 【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前 项和公式等基础知识，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力. 6.D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农 { }1−>= xxA { }16 m 1)22cos( +−−= mxy π 3x = 1)23 2πcos( ±=− m G O1 O2 C B D F E A O， ，由 ，实数 的最小值为 .选 B. 【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性） 的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换.考查考 生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力. 9.C.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能 被 400 整除．由 ，得 ，所以在 2000～3000 年中，年份能 被 4 整除个数是 250. 同理可得，在 2000～3000 年中，年份能被 100、400 整除个数分别是 10 和 3，所以闰年的个数为 ，故应选 C. 【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算 法思想. 10.C.解析：连接 ，因为 就是圆 的圆心， 所以 ，且 . 又 ，所以 °，那么 °， 所以△ 是等边三角形，所以 . 又 ，所以 .故应选 C. 【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思 维方法和考生对数量关系的分析能力. 11.C.解析：如图 1，取 中点 ，连接 与 ，则 ， 平面 ，则 与 异面，矛盾，故①错误；如图 2，取 中点 ，易得平面 Zkkm ∈=− π,23 π2 Zkkm ∈−= ,2 π 3 π 0>m m π 3 2000 ( 1) 4 3000n+ − × < 251n < 250 10 3 243− + = FA F 2 2 2 2 4 p px y − + =   FA KA⊥ 2 pFA = KF p= 30AKF∠ = 60AKB∠ = AKB 3 2AB AK p= = 3AB = 2p = AD M 1MD MQ 11// CDMQ B ⊄ 1 1MQC D PQ 1BD CD R //PQR平面 ，故②正确；若③正确，则 ,则 ，矛盾，故③错误； （另解：由结论 平面 和①知 不平行也可判断错误）. 如图 2， ，故④正确. （④也可以这样判断：如图 3，过点 作 的垂线，垂足为 ， ，因此， 平面 ， ， ， . 或者 ）.故选 C. 【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以 及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 12.D.解析：方法一：当 时，不符合题意；当 时，考查函数 与 图象易知， 与 图象在 区间 上必有一个交点，则在区间 上有且仅有一个公共点， 当 时， ， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，则只需 ，故 ，当 时， ，易知 ， ，可知 . 方法二：令 ， ，令 ，作出 图象如下，可知函数 在 上单调递增，在 单调递减，在 上单调递减，由题意可知， ， 而 ，故应选 D.[来 源:学科网 ZXXK] DDBB 11 CBPQ 1⊥ CBQC 11 ⊥ 1BD ⊥ CAB1 1PQ BD， 1 1 1 1 1 1 1 1( 1)3 2 2 2 24D PQB C PQB P C QBV V V− − −= = = × × × × =三棱锥 三棱锥 三棱锥 B 1C Q H 1 1BH C D⊥ BH⊥ 1DPQ 5 5BH= 1 5 2CQ= 11 1 1 1 1 5 5 1 3 3 2 2 2 5 24DPQD PQBV S BH∆− = ⋅ = × × × × =三棱锥 QBCPQBCDPQBD VVV 1111 −−− −= 三棱锥三棱锥三棱锥 24 1 2 1 4 1 3 1 3 1 11 =××=⋅= ∆ PDS QBC 0≤a 0>a xxg ln)( = axxh =)( )(xg )(xh )1,0( ),1( +∞ ),1( +∞∈x axxxf −= ln)( x axxf −= 1)(' )(xf )10( a ， )1( ∞+， a 11ln)1()]([ max −== aafxf 011ln =− a e 1=a )10( ，∈x xxxf e 1ln)( −−= 0e 11)e 1( 2 >−=f 0e 1)1( =    > g【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力 以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.3.解析：由于 ， ，所以 ，所以 . 【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻 辑思维能力和运算求解能力. 14.16. 解 析 ： 方 法 1 ： 设 公 差 为 ， 由 得 ， 故 ， ，即 ，所以 时， 取 得最大值. 方 法 2 ： 设 公 差 为 ， 由 得 ， 故 ， 且 ，又因为 ，其对应为二次函数 的图像开口向下，对称轴为 ，故 时， 取得最大值. 【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力. 15. . 解析：设 ，则 ， ，于是阴影部分的面积 为 ，于是所求概率为 . 【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解 能力以及分析问题和解决问题的能力. 16. .解析：延长 交直线 于 点 ,则由角平分线的性质可得 为 的中点， ，易得 ， 代入双曲线 2=a ( ) 160cos =−=−⋅ baabaa 1 2 =⋅− baa 3=⋅ba d 111162 32 aaaa