河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第二次考试数学（理）试题 带解析

天一大联考 “顶尖计划”2020 届高中毕业班第二次考试 理科数学 考生注意： 1.答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 为虚数单位， 为复数，若 为实数 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 4.一个陶瓷圆盘的半径为 ，中间有一个边长为 的正方形花纹，向盘中投入 1000 粒米后，发现落在 正方形花纹上的米共有 51 粒，据此估计圆周率的值为（精确到 0.001）（ ） A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.147 5 将 3 个黑球、3 个白球和 1 个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不 相邻的排法共有（ ） A.14 种 B.15 种 C.16 种 D.18 种 { }2| 4A x x= < 3| 01 xB x x − = ≤ −  ( )R B A = ( )1,2 [ )1,2 ( ]2,1− ( )2,1− i z | |z iz + m m = 1− 0 1 2 1 2n = m 3 2 2 5 2 3 10cm 4cm 6.已知三棱锥 的外接球半径为 2，且球心为线段 的中点，则三棱锥 的体积的最大值为 （ ） A. B. C. D. 7.已知 分别为圆 与 的直径，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.如图所示的“数字塔有以下规律：每一层最左与最右的数字均为 2，除此之外每个数字均为其两肩的数字 之积，则该“数字塔”前 10 层的所有数字之积最接近（ （ ） A. B. C. D. 9.过抛物线 的焦点 作直线与抛物线在第一象限交于点 ，与准线在第三象限交于点 ， 过点 作准线的垂线，垂足为 .若 ，则 （ ） A. B. C. D. 10.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作一条直线与双曲线右支交于 ， 两点，坐标原点为 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.记 个两两无交集的区间的并集为 阶区间，如 为 2 阶区间.设函数 ，则 不等式 的解集为（ ） A.2 阶区间 B.3 阶区间 C.4 阶区间 D.5 阶区间 12.在正方体 中，球 同时与以 为公共顶点的三个面相切，球 同时与以 为公共顶点 的三个面相切，且两球相切于点 .若以 为焦点， 为准线的抛物线经过 ，设球 的半径分 别为 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 是偶函数，则 的最小值为____________. D ABC− BC D ABC− 2 3 4 3 8 3 16 3 AM BN， 2 2 1 :( 1) 1O x y+ + = 2 2 2 :( 2) 4O x y− + = AB MN⋅  [0,8] [ ]0,9 [ ]1,8 [ ]1,9 ( )lg2 0.3≈ 30010 40010 50010 60010 ( )2 2 0y px p= > F A B A H tan 2AFH∠ = | | | | AF BF = 5 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 2F A B O 2 2 2| |OA a b= + 1 5BF a= 15 2 10 2 15 3 10 3 n n ( ,1] [2,3]−∞  ( ) ln | | xf x x = [ ( )] 3 0f f x +  1 1 1 1ABCD A B C D− 1O A 2O 1C F F 1AB 1 2O O， 1 2O O， 1 2,r r 1 2 r r = 5 1 2 − 3 2− 21 2 − 2 3− ( ) x axf x e e= + ( )f x 14.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为 ，函数 的图象经过该三角形的三个顶点，则 的解析式为 ___________. 15. 数 列 满 足 递 推 公 式 ， 且 ， ， 则 ___________. 16.若存在实数 使得不等式 在某区间上恒成立，则称 与 为该区间上的对“分 离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有_____________.（填上所有正确答案的序号） ① ； ② ， ， ； ③ ， ， ； ④ ， ， . 三、解答题共 70 分.解答应写出文字说明证明，过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.如图，在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，线段 的中点为 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）已知 ，求 的大小. 18.如图,在直三棱柱 中， ， ，点 分别为 和 的中点. （Ⅰ）棱 上是否存在点 使得平面 平面 ？若存在，写出 的长并证明你的结论；若不存 在，请说明理由. （Ⅱ）求二面角 的余弦值. ( ) ( )1,1 2,2， ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0,0 ,| |2 2A π πω ϕ > < < 2 ( ) ln ( 1)2 xf x x x a x= + − − ( )f x ,2 a +∞   a a∈Z ( ) 0f x > a 1 2 1.6e ≈ xOy 1l cos sin x t y t ϕ ϕ =  = t 1l ，（ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方 程为 . （Ⅰ）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 分别交 于 两点（与原点 不重合），求 的最小值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知 . （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）若 的最小值为 1，求 的最小值. 天一大联考 “顶尖计划”2020 届高中毕业班第二次考试 理科数学·答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.【答案】C 【命题意图】本题考查解二次不等式、分式不等式、集合的运算 【解析】由题意知 ， ， ，则 . 2.【答案】B 【命题意图】本题考查复数的运算. 【解析】设 则 . 由题意有 ，所以 . 3.【答案】C 【命题意图】本题考查程序框图. 【解析】程序的运行过程为 cos 2 sin 2 x t y t π ϕ π ϕ   = −      = −    t x C 2sin cosρ θ θ= 1 2,l l C 1 2,l l C A B， O | | | |OA OB⋅ ( ) | | | | ( 0, 0)f x x a x b a b= − + + > > 1a b= = 2( ) 8f x x≤ − ( )f x 1 1 1 2a b ++ ( 2,2)A = − (1,3]B = ( ,1] (3, )R B = −∞ +∞ ( ) ( 2,1]R B A = − ( , R)z a bi a b= + ∈ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | ( ) ( )z a b a b a bi a a b b ii i iz a bi a b a b + + − + + −+ = + = + =+ + + 2 2 0 0a b b a+ − = ⇒ = 0m = n 1 2 1 3 2 2 5 2 a 5 2 2 3 2 1 1 2 时， ； 时， ，此时输出 . 4.【答案】B 【命题意图】本题考査几何概型. 【解析】 . 5.【答案】D 【命题意图】本题考查排列组合、分类讨论思想. 【解析】首先将黑球和白球排列好，再插入红球. 情况 1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6 个球组 成的 7 个空中即可，因此共有 2×7=14 种； 情况 2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑 白”、 白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4 种. 综上所述，共有 14+4=18 种. 6.【答案】C 【命题意图】本题考査空间几何体的结构特征. 【解析】由已知可得， 和 都是直角三角形，则当它们都是等腰直角三角形且平面 平 面 时，三棱锥 的体积最大，最大值为 . 7.【答案】A 【命题意图】本题考查向量分解、向量的数量积. 【 解 析 】 如 图 ， 其中 ， 所以 . b 1ln 2 0 3ln 2 ln 2 5ln 2 2n = 1 ln 2> 5 2n = 1 5ln2 2 < 5 2n = 2 2 4 51 3.13710 1000 ππ ≈ ⇒ ≈⋅ ABC△ BCD△ ABC ⊥ BCD D ABC− 1 1 84 2 23 2 3 × × × × = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )]AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B⋅ = + + ⋅ + + = + + ⋅ − +              2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 9 | |O O AO O B AO O B= − + = − +     1 2| | [2 1,2 1] [1,3]AO O B+ ∈ − + =  2 29 3 ,9 1 [0,8]AB MN  ⋅ ∈ − − =   8.【答案】A 【命题意图】本题考查排列组合的应用、等比数列求和. 【解析】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10 层的指数之和 为 ，所以原数字塔中前 10 层所有数字之积为 . 9.【答案】C 【命题意图】本题考查抛物线的定义. 【解析】如图，设准线与 轴的交点为 ，过点 作 .由抛物线定义知 ， 所以 ， ， ， ， 所以 . 10.【答案】B 【命题意图】本题考查利用双曲线的定义和勾股定理求离心率. 【解析】如图，因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 在 中， ，即 ， 得 ，则 . 在 中，由 ，得 . 2 9 101 2 2 2 2 1 1023+ + + + = − = 21023 10231 3002 10 10z= ≈ x M F FC AH⊥ | | | |AF AH= AHF AFH α∠ = ∠ = 2FAH OFBπ α∠ = − = ∠ | || | cos( 2 ) cos( 2 ) MF pBF π α π α= =− − | | | | tan tan| | sin( 2 ) sin( 2 ) sin( 2 ) CF CH pAF α α π α π α π α= = =− − − 2| | tan tan tan 1 3 | | tan( 2 ) tan 2 2 2 AF BF α α α π α α −= = = =− − 1 5BF a= 2 5 2 3BF a a a= − = 1 2 1| | 2OA c F F= = 1 2 90F AF∠ = ° 1Rt AF B△ 2 22 1 1| |AF AB BF+ = ( ) ( )2 2 2 2 22 3 (5 )AF a AF a a+ + + = 2AF a= 1 2 3AF a a a= + = 1 2Rt AF F△ 2 2 2(3 ) (2 )a a c+ = 10 2 ce a = = 11.【答案】D 【命题意图】本题考查导数与函数的单调性与极值、复合函数不等式、新定义题型. 【解析】当 且 时， .令 得 ，可得 和 的变化情况如下表： 令 ，则原不等式变为 ，由图象知 的解集为 ，再次 由图象得到 的解集由 5 段分离的部分组成，所以解集为 5 阶区间. 12.【答案】D 【命题意图】本题考查抛物线的定义、内切球问题. 【解析】根据抛物线的定义，点 到点 的距离与到直线 的距离相等，其中点 到点 的距离即半径 ，也即点 到面 的距离，点 到直线 的距离即点 到面 的距离，因此球 内切于正 方体.不妨设 ，两个球心 和两球的切点 均在体对角线 上，两个球在平面 处的截面 如图所示则 ，所以 . 又因为 ， 因此 ，得 ，所以 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 0x > 1x ≠ 2 ln 1( ) (ln ) xf x x −′ = ( ) 0f x = x e= ( )f x′ ( )f x x 0x → ( )0,1 ( )1,e e ( ),e +∞ ( )f x′ / − − 0 + ( )f x ( ) 0f x →   e  ( )f x t= ( ) 3f t ≤ − ( ) 3f t ≤ − ( ] [ ) [ )1 2 3, , 1 ,1t t t t∈ −∞ −  ( ] [ ) [ )1 2 3( ) , , 1 ,1f x t t t∈ −∞ −  2O F 1AB 2O F 2r 2O 1 1CDD C 2O 1AB 2O 1 1ABB A 2O 2 1r = 1 2O O， F 1AC 1 1AB C D 1 2 2 21, 32 ACO F r AO= = = = 2 2 3 1AF AO O F= − = − 1 1 1 13AF AO O F r r= + = + 1( 3 1) 3 1r+ = − 1 2 3r = − 1 2 2 3r r = − 3.【答案】2 【命题意图】本题考查函数的奇偶性、基本不等式. 【解析】令 得 ，所以 .当且仅当 时取等号. 14.【答案】 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质. 【解析】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点 ，其中点 与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点 ，则点 与点 的中间位置的点的纵坐标必然大于 或 小 于 ， 不 可 能 为 ， 因 此 点 也 舍 去 ， 只 有 点 满 足 题 意 . 此 时 点 为 最 大 值 点 ， 所 以 ，又 ，则 ，所以点 之间的图象单调，将 代入 的表达式有 ， 由 知 ，因此 . 15.【答案】2020 【命题意图】本题考查累加法求数列的前 项和. 【解析】 左右两端同乘以 有 ，从而 ， ，将以上式子累加得 .由 ， 得 .令 ，有 . 16.【答案】①②④ 【命题意图】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图象. 【解析】① 时，令 ，则 单调递增， ，即 .令 ，则 单调递减， (1) ( 1)f f= − 1a = − ( ) e e 2 e e 2x x x xf x − −= + ⋅ = 0x = 2sin 3 6x π π −   A B C D E F， ， ， ， ， A B C D， ， ， E E ( )2,2 2 2− ( )1,1 E F ( )2,2 ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0 2 πω< < 14 2 T π ω= > ( ) ( )1,1 2,2， ( ) ( )1,1 2,2， ( )f x 1 2 ,sin( ) , 362 sin(2 ) 1 2 ,2 2 62 k k kk ππ ωω ϕ πω ϕ ππω ϕ ϕ πω ϕ π    =+ = +  + =  ⇒ ⇒     + = = − + ∈+ = +    Z | | 2 πϕ < 6 πϕ = − ( ) 2sin 3 6f x x π π = −   n 1 2n n na a a+ += − 1na + 2 1 1 2 1n n n n na a a a a+ + + += − 2 1 1n n n n na a a a a+ −= − 2 2 1 1 2 1 2 2 3 1 2, ,n n n n na a a a a a a a a a− − − −= − = − 2 2 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a++ + + = − 1 2a a= 2 2 2 2 1 2 3 1n n na a a a a a ++ + + + = 2019n = 2 2 2 1 2 2019 2019 2020 2020a a a a a+ + + = ⋅ = 0, 2x π ∈   0 ( ) sinf x x x= − 0 ( ) 1 cos 0f x x′ = −  0 ( ) ( ) 0f x f x = sinx x≥ 0 ( ) tang x x x= − 0 2 1( ) 1 0cosg x x ′ = −  ，即 ，因此 ，满足题意. ② 时，易知 ，满足题意. ③注意到 ，因此如果存在直线 ，只有可能是 （或 ）在 处的切线， ， ，因此切线为 ，易知 ， ，因此不存在直线 满足题意. ④ 时，注意到 ，因此如果存在直线 ，只有可能是 （或 ）在 处的切线， ， ，因此切线为 . 令 ，则 ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 . 令 ，则 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 . 因此 ，满足题意. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 . 而 . 由以上两式得 ，即 . 由于 ，所以 . 又由于 ，得 . （Ⅱ）设 ，在 中，由正弦定理有 . 由余弦定理有 ，整理得 ， 由于 ，所以 ， . 在 中，由余弦定理有 . 所以 ，所以 . 18.【命题意图】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值. 0 ( ) ( ) 0g x g x = tanx x≤ sin tanx x x≤ ≤ ,[ )1x∈ +∞ 2 21 1x x x+ > > − ( ) ( )0 0 2f g= = y kx b= + ( )f x ( )g x 0x = ( ) 2f x x′ = (0) 0f ′ = 2y = ( ) 2 e e 2x xg x −⋅ = ( ) 2f x  y kx b= + ,( )0x∈ +∞ ( ) ( )1 1 0f g= = y kx b= + ( )g x ( )f x 1x = ( ) 2ln 2g x x′ = + (1) 2g′ = 2 2y x= − 0 1( ) (2 2)f x x xx = − − − 0 2 1( ) 1f x x ′ = − ( )0f x ( )0,1 (1, )+∞ 0 0( ) (1) 0f x f = 1 2 2x xx − ≤ − 0 ( ) 2 ln (2 2)g x x x x= − − 0 ( ) 2lng x x′ = 0 ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ 0 0( ) (1) 0g x g = 2 ln 2 2x x x − 1 2 2 2 lnx x x xx − −  sin sin sin cos sinA B B A C+ = sin sin( ) sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B A Bπ= − − = + = + sin sin sin cosA B A B= sin (sin cos ) 0A B B− = sin 0A > sin cosB B= (0, )B π∈ 4B π= 1c = ABC△ 5sin sin c b bC B = ⇒ = 2 2 22 cosa c ac B b+ − = ( 2 2)( 2) 0a a− + = 0a > 2 2a = 22 aBD = = ABD△ 2 21 ( 2) 2 2 cos 14AD π= + − = 2 2 2AB AD BD+ = ,2 4BAD ADB π π∠ = ∠ = 【解析】（Ⅰ）存在点 满足题意，且 . 证明如下： 取 的中点为 ，连接 . 则 ，所以 平面 . 因为 ， 是 的中点，所以 . 在直三棱柱 中，平面 平面 ，且交线为 ， 所以 平面 ，所以 在平面 内， ， ， 所以 ，从而可得 . 又因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅱ）如图所示，以 为坐标原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系. 易知 ， ， ， ， 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则有 ，取 ，得 . 同理可求得平面 的法向量为 . 则 . 由图可知二面角 为锐角，所以其余弦值为 . 19.【命题意图】本题考查正态分布、二项分布. P 3 4PA = 1 1AC F EF AF DF， ， 1 1EF A B AB∥ ∥ AF ⊂ ABE AB BC= D AC BD AC⊥ 1 1 1ABC A B C− ABC ⊥ 1ACC AC BD ⊥ 1ACC BD AF⊥ 1ACC 3 2 AP AD AD DF = = 90PAD ADF∠ = ∠ = ° Rt PAD Rt ADF△ ∽ △ AF PD⊥ PD BD D= AF ⊥ PBD AF ⊂ ABE PBD ⊥ ABE D DB DC DF， ， x y z， ， (0,0,0)D 1 ,0,02B     30, ,02A  −    1 3, ,14 4E       1 3, ,14 4BE  = −     1 3, ,02 2AB  =      1 ,0,02DB  =     ABE ( , , )m x y z= 1 3 04 4 1 3 02 2 m BE x y z m AB x y  ⋅ = − + + =  ⋅ = + =     2y = ( 2 3,2, 3)m = − − BDE (0,4, 3)n = − 8 3 11cos , 19| || | 12 4 3 16 3 m nm n m n ⋅ +〈 〉 = = = + + ⋅ +      A BE D− − 11 19 【解析】（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为 . 因为 种蜻蜓和 种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是 种还是 种的可能性是相等的. 所以 . （ Ⅱ ） 由 于 两 种 蜻 蜓 的 个 体 数 量 相 等 ， 的 方 差 也 相 等 根 据 正 态 曲 线 的 对 称 性 ， 可 知 . 由（Ⅰ）可知 ，得 . （Ⅲ）设蜻蜓的翼长为 ，则 . 由题有 ，所以 . 因此 的分布列为 . 20.【命题意图】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题. 【解析】（Ⅰ） ， 所以点 的轨迹是一个椭圆，且长轴长 ，半焦距 ， 所以 ，轨迹 的方程为 . （Ⅱ）当直线 的斜率为 0 时，与曲线 无交点. 当直线 的斜率不为 0 时，设过点 的直线方程为 ，点 坐标分别为 . 直线与椭圆方程联立得 ，消去 ，得 . 则 ， . t A B A B 1 1(45 55) (45 55) (45 55)2 2P t P X P Y= × + ×      1 1(45 45 2 5) (55 2 5 55)2 2P X P Y= × + × + × − ×    1 0.9546 1 0.9546 0.47732 2 2 2 = × + × = X Y， 0 45 55 50.02 µ += = 0 0 0 045 0.64 ,55 0.64µ σ µ σ= − = + 0 5 7.80.64 σ = ≈ T (42.2 57.8) ( ) 0.6827P T P Tµ σ µ σ= − + =    ~ (3,0.6827)W B 3 3( ) C 0.6827 0.3173k k kP W k −= = × × W W 0 1 2 3 P 0 3 3 0.3173C 1 1 2 3 0.6827 0.3173C ⋅ 2 2 1 3 0.6827 0.3173C ⋅ 3 3 3 0.6827C ( ) 3 0.6827 2.0481E W = × = 1 2 2 2 1| | 2 2PO PO PR PO RO QO+ = + = = = P 2 2 2a = 1c = 2 2 2 1b a c= − = C 2 2 1( 0)2 x y y+ = ≠ AB C AB 2O 1x my= + A B， ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y 2 2 1 12 x my x y = + + = x ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = 1 2 2 2 2 my y m −+ = + 1 2 2 1 2y y m −= + 直线 的方程为 . 令 ，得 . 同理可得 . 所以 ， 所以 的中点为 . 不妨设 点在 点的上方， 则 . 21.【命题意图】本题考查导数的计算，利用导数研究函数的性质. 【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， . 易知 单调递增，由题意有 . 令 ，则 . 令 ，得 》 所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 所以 ，而又有 ，因此 ，所以 . （Ⅱ）由 ，知 ，又由于 ，则 . 下面证明 符合条件. 若 .所以 . 易知 单调递增，而 ， ， 因此必存在 使得 ，即 . KA ( )1 1 11 22 yy xx −− = −− 0x = 1 1 ( 2) 1 1M m yy my − += − 2 2 ( 2) 1 1N m yy my − += − [ ]( ) [ ]( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 2 ( 2) 1 1 ( 2) 1 1 2 1 1 M N m y my m y myy y my my − + − + − + −+ = − − ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( 2) 1 1 m m y y y y m y y m y y − + + −= − + + ( )2 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2 m m m m m m m − − − − + = − + + + 1= − MN ( )0, 1− M N [ ]1 | | 2 | | 2 ( 1) 2 (1 1) 42KMV MS MN MN y= ⋅ = = − − × + =△  ( )f x (0, )+∞ ( ) ln 1f x x x a′ = + + − ( )f x′ ln 1 02 2 2 a a af  ′ = − +    ( ) ln 12 2 a ag a = − + 2( ) 2 ag a a −′ = ( ) 0g a′ = 2a = 0 2a< < ( ) 0g a′ > ( )g a 2a > ( ) 0g a′ < ( )g a ( ) ( )2 0g a g≤ = ( ) 0g a ≥ ( ) 0g a = 2a = ( )2 2ln 2 2 0f a= + − > 2ln 2 2 4a < + < Za∈ max 3a = 3a = 2 3, ( ) ln 3( 1)2 xa f x x x x= = + − − ( ) ln 2f x x x′ = + − ( )f x (1) 1 0f ′ = − < (1.6) 0.5 1.6 2 0.1 0f ′ ≈ + − = > ( )0 1,1.6x ∈ ( )0 0f x′ = 0 0ln 2x x= − 且当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 则 . 综上， 得最大值为 3. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中 的几何意义. 【解析】（Ⅰ）直线 的极坐标方程为 . 直线 的极坐标方程为 。 由曲线 的极坐标方程得 ， 所以 的直角坐标方程为 . （Ⅱ） 与 的极坐标方程联立得 ，所以 . 与 的极坐标方程联立得 ，所以 . 所以 . 所以当 ， 取最小值 2. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式、基本不等式. 【解析】（Ⅰ） ， 令 作出它们的大致图象如下： 由 或 （舍），得点 横坐标为 ，由对称性知，点 横坐标为 ， ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )2 0 min 0 0 0 0( ) ln 3 12 xf x f x x x x= = + − − ( ) ( )2 2 0 0 0 0 0 02 3 1 32 2 x xx x x x= − + − − = − − 21.63 1.6 0.12 02 > − − = > a p 1l ( R)θ ϕ ρ= ∈ 2l ( R)2 πθ ϕ ρ= − ∈ C 2 2sin cosρ θ ρ θ= C 2y x= 1l C 2sin cos θ ϕ ρ θ θ =  = 2 cos sinA ϕρ ϕ= 2l C 2 2 sin cos πθ ϕ ρ θ θ  = −  = 2 sin cosB ϕρ ϕ= 2 2 | cos | | sin | 1 2| | | | sin cos | sin cos | | sin 2 |A BOA OB ϕ ϕρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = = ⋅ = = ( Z)4 2 k k π πϕ = + ∈ | | | |OA OB⋅ 2 ( 1) ( ) | 1| | 1| 2( 1 1) 2 ( 1) x x f x x x x x x > = − + + = − ≤ ≤ − < − 2( ) 8g x x= − 28 2 2x x x− = ⇒ = 4x = − B 2 A 2− 因此不等式 的解集为 . （Ⅱ） . . 取等号的条件为 ，即 ，联立 ， 得 ， 因此 的最小值为 . ( ) 28f x x≤ − [ ]2,2− ( ) | | | | | ( ) ( ) | | | 1f x x a x b x b x a a b a b= − + + + − − = + = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2[( 1) ] 1 21 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 4 2 b aa ba b a b a b +     + = + + + = + + + + = +     + + +      1 1 2 b a a b +=+ 1 2a b+ = 1a b+ = 3 2 2 2 2 2 a b  = − = − 1 1 1 2a b ++ 3 2 4 2 +